7-18 二分法求多项式单根 (20 分)

水深无声 2023-10-11 16:06 40阅读 0赞

### 二分法求多项式单根 (20 分) ###

二分法求函数根的原理为：如果连续函数f(x)在区间\[a,b\]的两个端点取值异号，即f(a)f(b)<0，则它在这个区间内至少存在1个根r，即f(r)=0。

二分法的步骤为：

*  检查区间长度，如果小于给定阈值，则停止，输出区间中点(a+b)/2；否则
 *  如果f(a)f(b)<0，则计算中点的值f((a+b)/2)；
 *  如果f((a+b)/2)正好为0，则(a+b)/2就是要求的根；否则
 *  如果f((a+b)/2)与f(a)同号，则说明根在区间\[(a+b)/2,b\]，令a=(a+b)/2，重复循环；
 *  如果f((a+b)/2)与f(b)同号，则说明根在区间\[a,(a+b)/2\]，令b=(a+b)/2，重复循环。

本题目要求编写程序，计算给定3阶多项式f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0在给定区间\[a,b\]内的根。

#### 输入格式： ####

输入在第1行中顺序给出多项式的4个系数a3、a2、a1、a0，在第2行中顺序给出区间端点a和b。题目保证多项式在给定区间内存在唯一单根。

#### 输出格式： ####

在一行中输出该多项式在该区间内的根，精确到小数点后2位。

#### 输入样例： ####

3 -1 -3 1
    -0.5 0.5

#### 输出样例： ####

0.33

**分析：**本题的关键是题目说了一定会有一个实根，还有一个**特别注意的点就是阈值，题干中隐约的点出来了，就是保留两位数字，那么阈值就是0.001或者0.0001**，但是有的时候阈值较小会超时。本题使用函数和循环是比较合适的，因为我们要不断判断f(x)的大小，重复的操作我们可以写在函数里面，调用即可。

**C语言代码实现：**

#include<stdio.h>
    double a3=0,a2=0,a1=0,a0=0;
    double f(double);
    int main()
    {
    	
    	double a=0,b=0,mid=0;
    	scanf("%lf%lf%lf%lf\n",&a3,&a2,&a1,&a0);
    	scanf("%lf%lf",&a,&b);
    	while(b-a>=0.001&&f(a)*f(b)<=0){
    		if(f(a)==0){
    			mid=a;
    			break;
    		}
    		else if(f(b)==0){
    			mid=b;
    			break;
    		}
    		mid=(a+b)/2;
    		if(f(mid)==0){
    			break;
    		}
    		else{
    			if(f(a)*f(mid)>=0){
    				a=mid;
    			}
    			else{
    				b=mid;
    			}
    		}
    	}
    	printf("%.2lf",mid);
    	return 0;
    }
    
    double f(double x){
    	double sum=0;
    	sum=a3*x*x*x+a2*x*x+a1*x+a0;
    	return sum;
    }

**java代码实现：**

import java.util.Scanner;
    public class Main {
        static double[]A=new double[4];
        public static void main(String[] args) {
            Scanner in=new Scanner(System.in);
            for(int i=3;i>=0;i--){
                A[i]= in.nextDouble();
            }
            double a= in.nextDouble();
            double b= in.nextDouble();
            double mid=0;
            while(b-a>=0.001&&f(a)*f(b)<=0){
                if(f(a)==0){
                    mid=a;
                    break;
                }
                else if(f(b)==0){
                    mid=b;
                    break;
                }
                mid=(a+b)/2;
                if(f(mid)==0){
                    break;
                }
                else
                {
                    if(f(a)*f(mid)>=0){
                        a=mid;
                    }
                    else{
                        b=mid;
                    }
                }
            }
            System.out.printf("%.2f",mid);
        }
        public static double f(double x){
            double sum=0;
            sum=A[3]*x*x*x+A[2]*x*x+A[1]*x+A[0];
            return sum;
        }
    }

**其实不难发现，只要你能使用一种语言写对，其他语言都不是什么难事，语法都是相通的，所以告诫大家一定要学会一门语言，再去看其他的语言都会事半功倍。**