【Java数据结构和算法】010-递归：迷宫问题、八皇后问题(回溯算法)

柔情只为你懂 2023-10-05 13:43 15阅读 0赞

# **目录** #

0、警醒自己

一、递归应用场景和调用机制

1、简介

2、两个案例

打印问题：

打印结果：

执行分析图：

阶乘问题：

运行结果：

阶乘逻辑解析：

二、递归能解决的问题和规则

1、额递能解决什么问题

2、递归调用规则

三、迷宫问题

1、问题描述

2、代码实现

3、运行结果

4、问题回顾

5、代码实现

6、运行结果

7、思考：最短路径问题

四、八皇后问题

1、问题描述

2、思路分析

说明：

3、代码实现

4、运行结果

--------------------

# 0、警醒自己 #

**1、学习不用心，骗人又骗己；**

**2、学习不刻苦，纸上画老虎；**

**3、学习不惜时，终得人耻笑；**

**4、学习不复习，不如不学习；**

**5、学习不休息，毁眼伤身体；**

**7、狗才等着别人喂，狼都是自己寻找食物；**

# 一、递归应用场景和调用机制 #

## 1、简介 ##

简单的说：递归就是**方法自己调用自己**，每次调用时传入不同的变量。递归有助于编程者解决复杂的问题，同时可以让代码变得简洁。

## 2、两个案例 ##

### 打印问题： ###

package com.zb.ds;
    
    //递归
    public class Recursion {
        public static void main(String[] args) {
            test(4);
        }
        public static void test(int n) {
            if (n > 2) {
                test(n - 1);
            }
            System.out.println("n=" + n);
        }
    
    }

### 打印结果： ###

n=2
    n=3
    n=4

### 执行分析图： ###

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

### 阶乘问题： ###

package com.zb.ds;
    
    //递归
    public class Recursion {
        public static void main(String[] args) {
            test(4);
    
            System.out.println(test1(5));
        }
        //打印问题
        public static void test(int n) {
            if (n > 2) {
                test(n - 1);
            }
            System.out.println("n=" + n);
        }
        //阶乘问题
        public static int test1(int n){
            if(n==1){
                return 1;
            }else {
                return test1(n-1) * n;
            }
        }
    }

### 运行结果： ###

n=2
    n=3
    n=4
    120

### 阶乘逻辑解析： ###

test1(4)\*5 —— test1(3)\*4\*5 —— test1(2)\*3\*4\*5 —— test1(1)\*2\*3\*4\*5 —— 1\*2\*3\*4\*5

# 二、递归能解决的问题和规则 #

## 1、额递能解决什么问题 ##

各种数学问题如：8皇后问题、汉诺塔、阶乘问题、迷宫问题、球和篮子的问题(google编程大赛)；

各种算法中也会使用到递归，比如快排，归并排序，二分查找，分治算法等；

将用栈解决的问题-->递归代码比较简洁；

## 2、递归调用规则 ##

①当程序执行到一个方法时，就会开辟一个独立的空间（栈）；

②每个空间的数据（局部变量）是相互独立的；

③如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组)，就会共享该引用类型的数据；

④递归必须向退出递归的条件逼近，否则就是无限递归,出现StackOverflowError，**死龟**了。。。

⑤当一个方法执行完毕，或者遇到return，就会返回，遵守谁调用，就将结果返回给谁，同时当方法执行完毕或者返回时，该方法也就执行完毕；

# 三、迷宫问题 #

## 1、问题描述 ##

①小球得到的路径，和程序员设置的找路策略有关即：找路的上下左右的顺序相关；

②再得到小球路径时，可以先使用(下右上左)，再改成(上右下左)，看看路径是不是有变化；

③测试回溯现象；

④思考: 如何求出最短路径?

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

## 2、代码实现 ##

package com.zb.ds;
    
    //递归：迷宫问题
    public class MiGong {
        public static void main(String[] args) {
            //创建一个二维数组，模拟迷宫
            //地图
            int[][] map = new int[8][7];
            //使用1表示墙
            //上下全部置为1
            for (int i = 0; i < 7; i++) {
                map[0][i] = 1;
                map[7][i] = 1;
            }
            //左右全部置为1
            for (int i = 0; i < 8; i++) {
                map[i][0] = 1;
                map[i][6] = 1;
            }
            //挡板
            map[3][1] = 1;
            map[3][2] = 1;
            //输出地图
            for (int i = 0; i < 8; i++) {
                for (int j = 0; j < 7; j++) {
                    System.out.print(map[i][j] +" ");
                }
                System.out.println();
            }
            //找路
            if(findWay(map, 1, 1)){
                System.out.println("找到路了！");
            }else {
                System.out.println("没找到路！");
            }
            //输出地图
            for (int i = 0; i < 8; i++) {
                for (int j = 0; j < 7; j++) {
                    System.out.print(map[i][j] +" ");
                }
                System.out.println();
            }
        }
        /**
         * 使用递归回溯，给小球找路
         * 说明：
         * 1、map是地图；
         * 2、i、j表示从哪个位置出发(1,1)
         * 3、如果小球能到map的(6,5)，说明找到路
         * 4、约定：当地图map[i][j]为0时，表示未测试过（未走过），当为1时为墙，2为通路，3表示该位置已经走过但无法走通；
         * 5、确定一个走迷宫探路的策略：先走下边、下边走不通走右边，以此类推顺序为“下——右——上——左”，如果走不通再回溯
         * @param map 地图
         * @param i 从哪个位置开始找
         * @param j 从哪个位置开始找
         * @return  找到路返回true，否则返回false
         */
        public static boolean findWay(int[][] map,int i,int j){
            if(map[6][5]==2){
                return true;
            }else {
                if(map[i][j]==0){
                    //没走过，按策略走：下——右——上——左
                    map[i][j] = 2;//假定此点可以走通
                    if(findWay(map,i+1,j)){
                        //向下走
                        return true;
                    }else if(findWay(map,i,j+1)){
                        //向右走
                        return true;
                    }else if(findWay(map,i-1,j)){
                        //向上走
                        return true;
                    }else if(findWay(map,i,j-1)){
                        //向左走
                        return true;
                    }else {
                        map[i][j] = 3;
                        return false;
                    }
                }else{//如果map[i][j]!=0，可能是1，2，3
                    return false;
                }
            }
        }
    }

## 3、运行结果 ##

（找到路了，2是路线，这个算法真是太强大了）

1 1 1 1 1 1 1 
    1 0 0 0 0 0 1 
    1 0 0 0 0 0 1 
    1 1 1 0 0 0 1 
    1 0 0 0 0 0 1 
    1 0 0 0 0 0 1 
    1 0 0 0 0 0 1 
    1 1 1 1 1 1 1 
    找到路了！
    1 1 1 1 1 1 1 
    1 2 0 0 0 0 1 
    1 2 2 2 0 0 1 
    1 1 1 2 0 0 1 
    1 0 0 2 0 0 1 
    1 0 0 2 0 0 1 
    1 0 0 2 2 2 1 
    1 1 1 1 1 1 1

## 4、问题回顾 ##

我们可以知道，小球得到的路径和程序员设置的找路策略有很大关系，我们来讲原来的(下右上左)改成(上右下左)，进行测试，看结果如何；

## 5、代码实现 ##

（说明：只需要将i的+1和-1呼唤即可）

package com.zb.ds;
    
    //递归：迷宫问题
    public class MiGong {
        public static void main(String[] args) {
            //创建一个二维数组，模拟迷宫
            //地图
            int[][] map = new int[8][7];
            //使用1表示墙
            //上下全部置为1
            for (int i = 0; i < 7; i++) {
                map[0][i] = 1;
                map[7][i] = 1;
            }
            //左右全部置为1
            for (int i = 0; i < 8; i++) {
                map[i][0] = 1;
                map[i][6] = 1;
            }
            //挡板
            map[3][1] = 1;
            map[3][2] = 1;
            //输出地图
            for (int i = 0; i < 8; i++) {
                for (int j = 0; j < 7; j++) {
                    System.out.print(map[i][j] +" ");
                }
                System.out.println();
            }
            //找路
            if(findWay(map, 1, 1)){
                System.out.println("找到路了！");
            }else {
                System.out.println("没找到路！");
            }
            //输出地图
            for (int i = 0; i < 8; i++) {
                for (int j = 0; j < 7; j++) {
                    System.out.print(map[i][j] +" ");
                }
                System.out.println();
            }
        }
        /**
         * 使用递归回溯，给小球找路
         * 说明：
         * 1、map是地图；
         * 2、i、j表示从哪个位置出发(1,1)
         * 3、如果小球能到map的(6,5)，说明找到路
         * 4、约定：当地图map[i][j]为0时，表示未测试过（未走过），当为1时为墙，2为通路，3表示该位置已经走过但无法走通；
         * 5、确定一个走迷宫探路的策略：先走下边、下边走不通走右边，以此类推顺序为“下——右——上——左”，如果走不通再回溯
         * @param map 地图
         * @param i 从哪个位置开始找
         * @param j 从哪个位置开始找
         * @return  找到路返回true，否则返回false
         */
        public static boolean findWay(int[][] map,int i,int j){
            if(map[6][5]==2){
                return true;
            }else {
                if(map[i][j]==0){
                    //没走过，按策略走：下——右——上——左
                    //更改策略为：上——右——下——左
                    //说明：只需要将+1和-1呼唤即可
                    map[i][j] = 2;//假定此点可以走通
                    if(findWay(map,i-1,j)){
                        //向下走
                        return true;
                    }else if(findWay(map,i,j+1)){
                        //向右走
                        return true;
                    }else if(findWay(map,i+1,j)){
                        //向上走
                        return true;
                    }else if(findWay(map,i,j-1)){
                        //向左走
                        return true;
                    }else {
                        map[i][j] = 3;
                        return false;
                    }
                }else{//如果map[i][j]!=0，可能是1，2，3
                    return false;
                }
            }
        }
    }

## 6、运行结果 ##

1 1 1 1 1 1 1 
    1 0 0 0 0 0 1 
    1 0 0 0 0 0 1 
    1 1 1 0 0 0 1 
    1 0 0 0 0 0 1 
    1 0 0 0 0 0 1 
    1 0 0 0 0 0 1 
    1 1 1 1 1 1 1 
    找到路了！
    1 1 1 1 1 1 1 
    1 2 2 2 2 2 1 
    1 0 0 0 0 2 1 
    1 1 1 0 0 2 1 
    1 0 0 0 0 2 1 
    1 0 0 0 0 2 1 
    1 0 0 0 0 2 1 
    1 1 1 1 1 1 1

## 7、思考：最短路径问题 ##

（搁置，我自己的想法还不够成熟，暂时不做实现！）

# 四、八皇后问题 #

## 1、问题描述 ##

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，**即：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法？【92种】**

![20201120090548586.png][]

## 2、思路分析 ##

①第一个皇后先放第一行第一列；

②第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否OK（是否冲突）， 如果不OK，继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一个合适；

③继续第三个皇后，还是第一列、第二列……直到第8个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确解；

④当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列的所有正确解，全部得到；

⑤然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行①②③④的步骤；

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

### 说明： ###

理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘，但是实际上可以通过算法，用一个一维数组即可解决问题. arr\[8\] = \{0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3\} //对应arr 下标 表示第几行，即第几个皇后，arr\[i\] = val , val 表示第i+1个皇后，放在第i+1行的第val+1列；

## 3、代码实现 ##

package com.zb.ds;
    
    //递归：八皇后问题（回溯算法）
    public class EightQueen {
        //定义一个max表示有多少个皇后
        int max = 8;
        int count = 0;
        //定义一个数组array，保存皇后放置位置的结果，比如：arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
        int[] array = new int[max];
        public static void main(String[] args) {
            //测试八皇后
            new EightQueen().check(0);
        }
    
        //编写一个方法，放置第n个皇后
        //每一次递归都有一套for循环，所有也有了从后往前回溯，成立的话摆下一个皇后，不成立的话将当前皇后摆到下一列继续判断，
        // 假如当前行都不成立，回到上一行进行如此循环的判断，直到全部走通，简直amazing
        private void check(int n){
            if (n==max){//n==8，已经放了8个皇后
                print();
                return;
            }
            //依次放入皇后，并判断是否冲突
            for (int i = 0; i < max; i++) {
                //先把当前皇后n，放到改行的第1列
                array[n] = i;
                //判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突
                if(judge(n)){//不冲突
                    //接着放n+1和皇后，开始递归
                    check(n+1);
                }
                //如果冲突就继续执行循环，放到下一列
            }
        }
    
        //当我们放置第n个皇后去检测是否与前面摆放的皇后有冲突
        //n表示第n个皇后，i表示n前面的某个皇后，array[n]表示第n个皇后的位置，array[i]表示n前面的某个皇后的位置
        private boolean judge(int n){
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if(array[i] == array[n] || Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i])){
                    //在同一列或者在同一斜线上
                    //在同一斜线上：Math.abs(n-i)表示相差的列数，Math.abs(array[n] - array[i])表示相差的行数，如果二者相等，说明在一条斜线上
                    return false;
                }
            }
            return true;
        }
    
        //写一个方法，可以讲皇后摆放的位置打印出来
        private void print(){
            count++;
            System.out.print("第" + count + "种解法：");
            for (int value : array) {
                System.out.print(value + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

## 4、运行结果 ##

第1种解法：0 4 7 5 2 6 1 3 
    第2种解法：0 5 7 2 6 3 1 4 
    第3种解法：0 6 3 5 7 1 4 2 
    第4种解法：0 6 4 7 1 3 5 2 
    第5种解法：1 3 5 7 2 0 6 4 
    第6种解法：1 4 6 0 2 7 5 3 
    第7种解法：1 4 6 3 0 7 5 2 
    第8种解法：1 5 0 6 3 7 2 4 
    第9种解法：1 5 7 2 0 3 6 4 
    第10种解法：1 6 2 5 7 4 0 3 
    第11种解法：1 6 4 7 0 3 5 2 
    第12种解法：1 7 5 0 2 4 6 3 
    第13种解法：2 0 6 4 7 1 3 5 
    第14种解法：2 4 1 7 0 6 3 5 
    第15种解法：2 4 1 7 5 3 6 0 
    第16种解法：2 4 6 0 3 1 7 5 
    第17种解法：2 4 7 3 0 6 1 5 
    第18种解法：2 5 1 4 7 0 6 3 
    第19种解法：2 5 1 6 0 3 7 4 
    第20种解法：2 5 1 6 4 0 7 3 
    第21种解法：2 5 3 0 7 4 6 1 
    第22种解法：2 5 3 1 7 4 6 0 
    第23种解法：2 5 7 0 3 6 4 1 
    第24种解法：2 5 7 0 4 6 1 3 
    第25种解法：2 5 7 1 3 0 6 4 
    第26种解法：2 6 1 7 4 0 3 5 
    第27种解法：2 6 1 7 5 3 0 4 
    第28种解法：2 7 3 6 0 5 1 4 
    第29种解法：3 0 4 7 1 6 2 5 
    第30种解法：3 0 4 7 5 2 6 1 
    第31种解法：3 1 4 7 5 0 2 6 
    第32种解法：3 1 6 2 5 7 0 4 
    第33种解法：3 1 6 2 5 7 4 0 
    第34种解法：3 1 6 4 0 7 5 2 
    第35种解法：3 1 7 4 6 0 2 5 
    第36种解法：3 1 7 5 0 2 4 6 
    第37种解法：3 5 0 4 1 7 2 6 
    第38种解法：3 5 7 1 6 0 2 4 
    第39种解法：3 5 7 2 0 6 4 1 
    第40种解法：3 6 0 7 4 1 5 2 
    第41种解法：3 6 2 7 1 4 0 5 
    第42种解法：3 6 4 1 5 0 2 7 
    第43种解法：3 6 4 2 0 5 7 1 
    第44种解法：3 7 0 2 5 1 6 4 
    第45种解法：3 7 0 4 6 1 5 2 
    第46种解法：3 7 4 2 0 6 1 5 
    第47种解法：4 0 3 5 7 1 6 2 
    第48种解法：4 0 7 3 1 6 2 5 
    第49种解法：4 0 7 5 2 6 1 3 
    第50种解法：4 1 3 5 7 2 0 6 
    第51种解法：4 1 3 6 2 7 5 0 
    第52种解法：4 1 5 0 6 3 7 2 
    第53种解法：4 1 7 0 3 6 2 5 
    第54种解法：4 2 0 5 7 1 3 6 
    第55种解法：4 2 0 6 1 7 5 3 
    第56种解法：4 2 7 3 6 0 5 1 
    第57种解法：4 6 0 2 7 5 3 1 
    第58种解法：4 6 0 3 1 7 5 2 
    第59种解法：4 6 1 3 7 0 2 5 
    第60种解法：4 6 1 5 2 0 3 7 
    第61种解法：4 6 1 5 2 0 7 3 
    第62种解法：4 6 3 0 2 7 5 1 
    第63种解法：4 7 3 0 2 5 1 6 
    第64种解法：4 7 3 0 6 1 5 2 
    第65种解法：5 0 4 1 7 2 6 3 
    第66种解法：5 1 6 0 2 4 7 3 
    第67种解法：5 1 6 0 3 7 4 2 
    第68种解法：5 2 0 6 4 7 1 3 
    第69种解法：5 2 0 7 3 1 6 4 
    第70种解法：5 2 0 7 4 1 3 6 
    第71种解法：5 2 4 6 0 3 1 7 
    第72种解法：5 2 4 7 0 3 1 6 
    第73种解法：5 2 6 1 3 7 0 4 
    第74种解法：5 2 6 1 7 4 0 3 
    第75种解法：5 2 6 3 0 7 1 4 
    第76种解法：5 3 0 4 7 1 6 2 
    第77种解法：5 3 1 7 4 6 0 2 
    第78种解法：5 3 6 0 2 4 1 7 
    第79种解法：5 3 6 0 7 1 4 2 
    第80种解法：5 7 1 3 0 6 4 2 
    第81种解法：6 0 2 7 5 3 1 4 
    第82种解法：6 1 3 0 7 4 2 5 
    第83种解法：6 1 5 2 0 3 7 4 
    第84种解法：6 2 0 5 7 4 1 3 
    第85种解法：6 2 7 1 4 0 5 3 
    第86种解法：6 3 1 4 7 0 2 5 
    第87种解法：6 3 1 7 5 0 2 4 
    第88种解法：6 4 2 0 5 7 1 3 
    第89种解法：7 1 3 0 6 4 2 5 
    第90种解法：7 1 4 2 0 6 3 5 
    第91种解法：7 2 0 5 1 4 6 3 
    第92种解法：7 3 0 2 5 1 6 4

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