直线的倾斜角斜率和直线方程

女爷i 2023-08-17 17:32 150阅读 0赞

## 前言 ##

*  更新时间：2019-08-05

## 倾斜角斜率 ##

直线的倾斜角的范围\$\\theta\\in \[0，\\pi)\$；

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## 直线方程 ##

## 典例剖析 ##

> 直线的方向向量

例1与直线\$3x+4y+5=0\$的方向向量共线的一个单位向量是【】

$A.(3，4)$ $B.(4，-3)$ $C.(\\cfrac\{3\}\{5\}，\\cfrac\{4\}\{5\})$ $D.(\\cfrac\{4\}\{5\}，-\\cfrac\{3\}\{5\})$

*  预备知识：经过两点\$P\_1(x\_1，y\_1)\$、\$P\_2(x\_2，y\_2)\$的直线的方向向量的坐标可以记为\$(x\_2-x\_1，y\_2-y\_1)\$，当直线的斜率\$k\$存在时，方向向量的坐标可以记为\$(1，k)\$，\[即\$(1，k)=(1，\\cfrac\{y\_2-y\_1\}\{x\_2-x\_1\})\$\]；

同理，斜截式直线方程\$y=kx+b\$的一个方向向量可以取为\$(1，k)\$，或\$(-1，-k)\$或\$(2，2k)\$等；

一般式直线方程\$Ax+By+C=0\$的一个方向向量可以取为\$(1，k)\$，或\$(1，-\\cfrac\{A\}\{B\})\$或\$(B，-A)\$或\$(-B，A)\$等；

分析：直线\$3x+4y+5=0\$的一个方向向量可以取为\$(4，-3)\$，将其单位化为\$(\\cfrac\{4\}\{5\}，-\\cfrac\{3\}\{5\})\$，故选\$D\$。

例1-1已知\$\\vec\{a\}=(6，2)\$，\$\\vec\{b\}=(-4，\\cfrac\{1\}\{2\})\$，直线\$l\$经过点\$A(3，-1)\$，且与向量\$\\vec\{a\}+2\\vec\{b\}\$垂直，则直线\$l\$的一般方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

分析：\$\\vec\{a\}+2\\vec\{b\}=(-2，3)\$，设直线\$l\$的方向向量为\$(1，k)\$，则由直线\$l\$与向量\$\\vec\{a\}+2\\vec\{b\}\$垂直，得到\$-2+3k=0\$，即\$k=\\cfrac\{2\}\{3\}\$，

即直线\$l\$的斜率为\$k=\\cfrac\{2\}\{3\}\$，又过点\$A(3，-1)\$，则方程为\$y+1=\\cfrac\{2\}\{3\}(x-3)\$，

整理得到一般式方程为\$2x-3y-9=0\$.

> 直线的旋转和平移

例2将直线\$y=3x\$绕原点逆时针旋转\$90^\{\\circ\}\$，再向右平移\$1\$个单位，所得到的直线为【】

$A.y=-\\cfrac\{1\}\{3\}x+\\cfrac\{1\}\{3\}$ $B.y=-\\cfrac\{1\}\{3\}x+1$ $C.y=3x-3$ $D.y=\\cfrac\{1\}\{3\}x+1$

分析：将直线\$y=3x\$绕原点逆时针旋转\$90^\{\\circ\}\$，得到\$y=-\\cfrac\{1\}\{3\}x\$，再用\$x-1\$替换\$x\$，整理得到\$y=-\\cfrac\{1\}\{3\}x+\\cfrac\{1\}\{3\}\$，故选\$A\$；

> 直线的截距式方程应用

例3与直线\$3x+4y+12=0\$平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是\$24\$的直线\$l\$的方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

分析：设与直线\$3x+4y+12=0\$平行的直线系方程为\$3x+4y=\\lambda\$，

变形整理为直线的截距式方程为\$\\cfrac\{x\}\{\\frac\{\\lambda\}\{3\}\}+\\cfrac\{y\}\{\\frac\{\\lambda\}\{4\}\}=1\$，则得到三角形的两直角边长为\$|\\cfrac\{\\lambda\}\{3\}|\$和\$|\\cfrac\{\\lambda\}\{4\}|\$，

由\$\\cfrac\{1\}\{2\}\\times |\\cfrac\{\\lambda\}\{3\}|\\times |\\cfrac\{\\lambda\}\{4\}|=24\$，解得\$\\lambda=\\pm 24\$，

即所求直线\$l\$的方程是\$3x+4y\\pm 24=0\$。

> 求直线的倾斜角取值范围，本质是解正切型三角不等式。

直线的倾斜角的范围\$\\theta\\in \[0，\\pi)\$；

例4直线\$2xcos\\alpha-y-3=0(\\alpha\\in \[\\cfrac\{\\pi\}\{6\}，\\cfrac\{\\pi\}\{3\}\])\$的倾斜角的变化范围是【】

$A.\[\\cfrac\{\\pi\}\{6\}，\\cfrac\{\\pi\}\{3\}\]$ $B.\[\\cfrac\{\\pi\}\{4\}，\\cfrac\{\\pi\}\{3\}\]$ $C.\[\\cfrac\{\\pi\}\{4\}，\\cfrac\{\\pi\}\{2\})$ $D.\[\\cfrac\{\\pi\}\{4\}，\\cfrac\{2\\pi\}\{3\}\]$

分析：设直线的倾斜角为\$\\theta\$，则\$k=tan\\theta=2cos\\alpha\$，由于\$\\alpha\\in \[\\cfrac\{\\pi\}\{6\}，\\cfrac\{\\pi\}\{3\}\]\$，则\$2cos\\alpha\\in \[1，\\sqrt\{3\}\]\$，

即\$k=tan\\theta\\in \[1，\\sqrt\{3\}\]\$，故\$\\theta\\in \[\\cfrac\{\\pi\}\{4\}，\\cfrac\{\\pi\}\{3\}\]\$，故选\$B\$.

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例5直线\$xsin\\alpha-y+1=0\$的倾斜角的变化范围是【】

$A.(0，\\cfrac\{\\pi\}\{2\})$ $B.(0，\\pi)$ $C.\[-\\cfrac\{\\pi\}\{4\}，\\cfrac\{\\pi\}\{4\}\]$ $D.\[0，\\cfrac\{\\pi\}\{4\}\]\\cup\[\\cfrac\{3\\pi\}\{4\}，\\pi)$

分析：设直线的倾斜角为\$\\theta\$，则\$k=tan\\theta=sin\\alpha\\in \[-1，1\]\$，又由于\$\\theta\\in \[0，\\pi)\$，

则\$\\theta\\in \[0，\\cfrac\{\\pi\}\{4\}\]\\cup\[\\cfrac\{3\\pi\}\{4\}，\\pi)\$，故选\$D\$.

例6【2014黄冈模拟】直线\$l\$经过\$A(2，1)\$、\$B(1，m^2)(m\\in R)\$两点，那么直线\$l\$的倾斜角的取值范围为【】

$A.\[0，\\pi)$ $B.\[0，\\cfrac\{\\pi\}\{4\}\]\\cup\[\\cfrac\{3\\pi\}\{4\}，\\pi)$ $C.\[0，\\cfrac\{\\pi\}\{4\}\]$ $D.\[0，\\cfrac\{\\pi\}\{4\}\]\\cup(\\cfrac\{\\pi\}\{2\}，\\pi)$

分析：由点\$A(2，1)\$、\$B(1，m^2)\$得到，\$k=tan\\theta=\\cfrac\{m^2-1\}\{1-2\}=1-m^2\\leqslant 1\$，故\$\\theta\\in \[0，\\cfrac\{\\pi\}\{4\}\]\\cup(\\cfrac\{\\pi\}\{2\}，\\pi)\$，故选\$D\$.

## 高阶例题 ##

例1过点\$P(2，1)\$作直线\$l\$，分别交\$x\$轴、\$y\$轴正半轴于\$A\$、\$B\$两点，\$O\$为坐标原点，

（1）当\$\\triangle AOB\$的面积最小时，求直线\$l\$的方程；

分析：过点\$P\$的直线\$l\$与\$x\$轴、\$y\$轴正半轴于\$A\$、\$B\$两点，

则直线\$l\$的斜率\$k\$一定存在且小于零，故设为\$y-1=k(x-2)\$，

则点\$A(2-\\cfrac\{1\}\{k\}，0)\$，\$B(0，1-2k)\$，\$k<0\$；

则\$S\_\{\\triangle AOB\}=\\cfrac\{1\}\{2\}|OA|\\cdot |OB|=\\cfrac\{1\}\{2\}(2-\\cfrac\{1\}\{k\})(1-2k)\$\$=\\cfrac\{1\}\{2\}(4-4k-\\cfrac\{1\}\{k\})\$

\$=\\cfrac\{1\}\{2\}\[4-(4k+\\cfrac\{1\}\{k\})\]\$\$=\\cfrac\{1\}\{2\}\[4+(-4k)+\\cfrac\{1\}\{(-k)\}\]\$\$\\geqslant \\cfrac\{1\}\{2\}\\left \[4+2\\sqrt\{(-4k)\\cdot \\cfrac\{1\}\{(-k)\}\}\\;\\;\\right \]=4\$

当且仅当\$-4k=-\\cfrac\{1\}\{k\}\$，即\$k=-\\cfrac\{1\}\{2\}\$时等号成立，

故所求直线\$l\$的方程为\$x+2y-4=0\$.

（2）当\$|PA|\\cdot |PB|\$取最小值时，求直线\$l\$的方程；

分析：\$|PA|\\cdot |PB|=\\sqrt\{(2-2+\\frac\{1\}\{k\})^2+(1-0)^2\}\\cdot \\sqrt\{(2-0)^2+(1-1+2k)^2\}\$\$=\\sqrt\{(\\frac\{1\}\{k\})^2+1\}\\cdot \\sqrt\{4+4k^2\}\$\$=\\sqrt\{\\frac\{4\}\{k^2\}+4k^2+8\}\$\$\\geqslant \\sqrt\{8+2\\sqrt\{4k^2\\times \\frac\{4\}\{k^2\}\}\}=\\sqrt\{8+8\}=4\$

当且仅当\$\\cfrac\{4\}\{k^2\}=4k^2\$，又由于\$k<0\$，即\$k=-1\$时取到等号，

故所求直线\$l\$的方程为\$x+y-3=0\$.

练1过点\$P(1，4)\$作直线\$l\$，分别交\$x\$轴、\$y\$轴正半轴于\$A\$、\$B\$两点，\$O\$为坐标原点，

（1）当\$|PA|\\cdot |PB|\$取最小值时，求直线\$l\$的方程；

提示：仿上例(2)完成，\$x+y-5=0\$；

（2）当\$|OA|+|OB|\$最小时，求直线\$l\$的方程；

分析：过点\$P\$的直线\$l\$与\$x\$轴、\$y\$轴正半轴于\$A\$、\$B\$两点，

则直线\$l\$的斜率\$k\$一定存在且小于零，故设为\$y-4=k(x-1)\$，

则点\$A(\\cfrac\{k-4\}\{k\}，0)\$，\$B(0，4-k)\$，\$k<0\$；

则\$|OA|+|OB|=|\\cfrac\{k-4\}\{k\}|+|4-k|=\\cfrac\{k-4\}\{k\}+4-k\$\$=\\cfrac\{-k^2+5k-4\}\{k\}\$\$=-k-\\cfrac\{4\}\{k\}+5\$\$=5+\[(-k)+(\\cfrac\{4\}\{-k\})\]\$\$\\geqslant 5+2\\sqrt\{(-k)\\times \\frac\{4\}\{-k\}\}=5+2\\sqrt\{4\}=9\$

当且仅当\$-k=\\cfrac\{4\}\{-k\}\$，即\$k=-2\$时取到等号；

故所求直线\$l\$的方程为\$2x+y-6=0\$.

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11304356.html

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