十字相乘法

客官°小女子只卖身不卖艺 2023-08-17 17:31 31阅读 0赞

## 前言 ##

## 案例解释 ##

以二次三项式\\(2x^2+3x-2\\)的分解为例，先将二次项的系数\\(2\\)进行分解\\(2\\times 1\\)，再将常数项\\(-2\\)进行分解\\(-2\\times 1\\)，然后分别竖行书写，交叉相乘再相加，若其和等于一次项的系数，则分解成功；若其和不等于一次项的系数，则分解不成功，需要调整前边的分解位置。具体解释如下：

比如书写为\\(\_1^2\\) \\(\\times\\) \\(\_\{\\;\\;1\}^\{-2\}\\)，验证，\\(2\\times1+1\\times(-2)=0\\neq 3\\)，故分解失败，需要调整，如下再试，

\\(\_2^1\\) \\(\\times\\) \\(\_\{\\;\\;1\}^\{-2\}\\)，验证，\\(1\\times1+2\\times(-2)=-3\\neq 3\\)，故分解失败，需要调整，如下再试，

\\(\_2^1\\) \\(\\times\\) \\(\_\{-1\}^\{\\;\\;2\}\\)，验证，\\(1\\times(-1)+2\\times 2=3\\)，分解成功，这样就能直接写出两个因式，将左式改写为

\\(\_\{2\\cdot x\}^\{1\\cdot x\}\\) \\(\\times\\) \\(\_\{-1\}^\{+2\}\\)，然后横行写出即可，\\((1x+2)(2x-1)\\)；

故\\(2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)\\)。

> 十字相乘法的使用往往不是一次就能恰巧分解成功的，需要多次尝试，以及一定的口算心算能力。

## 难点破解 ##

在具体的教学实践中，数字系数的十字相乘分解基本不成问题，难在字母系数的分解；

比如，\\(x^2-(m+4)x+m+3<0\\)，系数分解为\\(\_1^1\\) \\(\\times\\) \\(\_\{\\;\\;-1\}^\{-(m+3)\}\\)，即可以分解为\\((x-1)\[x-(m+3)\]<0\\)；

再比如，\\(x^2-(a+a^2)x+a^3\\leq 0\\)，系数分解为\\(\_1^1\\) \\(\\times\\) \\(\_\{-a\}^\{-a^2\}\\)，即可以分解为即\\((x-a)(x-a^2)\\leq 0\\)；

## 常用分解 ##

①\\(x^2-5\\sqrt\{2\}x+8\\ge 0\\)，即\\((x-\\sqrt\{2\})(x-4\\sqrt\{2\})\\ge 0\\)；