直线和圆锥曲线的位置关系

矫情吗；* 2023-08-17 17:31 104阅读 0赞

## 前言 ##

> 圆锥曲线一般指椭圆、双曲线、抛物线；但由于圆和椭圆有近亲关系，都是封闭曲线，且椭圆的两个焦点合二为一时，椭圆就变成了圆；双曲线和抛物线都是非封闭曲线，这两个和前两个的区别就挺大了。

## 基础知识 ##

>  *  直线\$l\$和圆锥曲线\$C\$的位置关系

1、从几何角度看，直线\$l\$和圆锥曲线\$C\$的位置关系可以分为三类：①无公共点；②仅有一个公共点；③有两个相异的公共点；

2、从数的角度看，可以通过代入法用代数的方法求解判断。通常是将直线\$l\$的方程\$Ax+By+C=0(A^2+B^2\\neq 0\$，或者说\$A\$，\$B\$不同时为\$0\$)，代入圆锥曲线\$C\$的方程\$F(x，y)=0\$中，消去\$y\$(或者\$x\$)得到一个关于变量\$x\$(或者变量\$y\$)的一元方程(仿二次方程)，即由\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{Ax+By+C=0\}\\\\\{F(x，y)=0\}\\end\{array\}\\right.\$，消去\$y\$得到\$ax^2+bx+c=0\$；

（1）当\$a\\neq 0\$时，设一元二次方程\$ax^2+bx+c=0\$的判别式为\$\\Delta\$，则有

\$\\Delta >0\$ \$\\Leftrightarrow\$ 直线\$l\$与圆锥曲线\$C\$相交于不同的两点；

\$\\Delta =0\$ \$\\Leftrightarrow\$ 直线\$l\$与圆锥曲线\$C\$相切；

\$\\Delta <0\$ \$\\Leftrightarrow\$ 直线\$l\$与圆锥曲线\$C\$相离，无公共点；

（2）当\$a=0\$，\$b\\neq 0\$时，即得到一个一次方程，则直线\$l\$与圆锥曲线相交，且只有一个交点；此时

若\$C\$为双曲线，则直线\$l\$与双曲线\$C\$的渐近线的位置关系是平行；

若\$C\$为抛物线，则直线\$l\$与抛物线\$C\$的对称轴的位置关系是平行或者重合；

## 典例剖析 ##

例1【教材改编】曲线\$x^2+\\lambda y^2=1(\\lambda\\neq 0)\$恒过定点\_\_\_\_\_\_\_\_\_。\$(\\pm 1，0)\$

法1：从数的角度思考分析，类比\$y=kx+1\$恒过定点\$(0，1)\$的方法思路，令\$y=0\$，得到\$x^2=1\$，故上述曲线恒过定点\$(\\pm 1，0)\$;

法2：从形的角度思考分析，变形得到\$\\cfrac\{x^2\}\{1\}+\\cfrac\{y^2\}\{\\frac\{1\}\{\\lambda\}\}=1\$，用动态的观点思考，当\$\\lambda\$变化时，椭圆或者双曲线与\$x\$轴的交点坐标\$(-1，0)\$和\$(1，0)\$始终不变，故曲线恒过定点\$(\\pm 1，0)\$;

例2【教材改编】过点\$(4，0)\$的直线交抛物线\$y^2=4x\$于\$A\$、\$B\$两点，\$O\$为坐标原点，则\$\\angle AOB\$的值等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。\$\\cfrac\{\\pi\}\{2\}\$

法1：常规方法求解，\$\\angle AOB=\\cfrac\{\\pi\}\{2\}\$

法2：特殊化策略思考，当我们将直线由一般的有斜率的情形特殊化为无斜率的情形时，应该没有改变题目中的已知条件，故可以思考用特殊化策略，此时能轻松得到\$\\angle AOB=\\cfrac\{\\pi\}\{2\}\$；

例3【教材改编】点\$M(x，y)\$在椭圆\$\\cfrac\{x^2\}\{5\}+y^2=1\$上，则\$x+y\$的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。\$\[-\\sqrt\{6\}，\\sqrt\{6\}\]\$;

分析：椭圆上任意一点的坐标的参数方程为\$(\\sqrt\{5\}cos\\theta，sin\\theta)\$，\$\\theta\\in \[0，2\\pi)\$，

则\$x+y=\\sqrt\{5\}cos\\theta+sin\\theta=\\sqrt\{6\}sin(\\theta+\\phi)\$，故\$x+y\\in \[-\\sqrt\{6\}，\\sqrt\{6\}\]\$;

解后反思：椭圆的参数方程的优越性；变量集中；三角函数；求值域中的三角换元；知一求二类\[(\$sinx+cosx\$，\$sinx-cosx\$，\$sinx\\cdot cosx\$)(奇偶性，周期性，对称性)\]

例4【教材改编】直线\$y=kx-k+1\$与椭圆\$\\cfrac\{x^2\}\{9\}+\\cfrac\{y^2\}\{4\}=1\$的位置关系为【】

$A.相交$ $B.相切$ $C.相离$ $D.不确定$

法一：从数的角度思考，常规方法，将直线\$y=kx-k+1\$代入椭圆\$\\cfrac\{x^2\}\{9\}+\\cfrac\{y^2\}\{4\}=1\$中，\[注意运算技巧\]

化简整理为\$(9k^2+4)x^2+18k(1-k)x+9(1-k^2)=0\$，\$\\Delta =\\cdots=1152k^2+288k+4\\times 108>0\$，

则直线和椭圆相交，故选\$A\$。

法2：从形的角度思考，将直线变形为\$y-1=k(x-1)\$，则可知其恒过定点\$(1，1)\$，

将\$(1，1)\$代入\$\\cfrac\{x^2\}\{9\}+\\cfrac\{y^2\}\{4\}\$，得到\$\\cfrac\{1^2\}\{9\}+\\cfrac\{1^2\}\{4\}<1\$，即点\$(1，1)\$在椭圆内，

则直线和椭圆必然相交，故选\$A\$。

相关阅读： 1、[曲线或函数恒过定点][Link 1]；

例5【教材改编】点\$M\$在椭圆\$\\cfrac\{x^2\}\{4\}+\\cfrac\{y^2\}\{3\}=1\$，\$F\_1\$、\$F\_2\$为其焦点，则\$\\angle F\_1MF\_2\$的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_。

分析：特殊化策略，当点\$M\$位于椭圆的上下顶点位置时，\$\\angle F\_1MF\_2\$最大，最大值为\$\\cfrac\{\\pi\}\{3\}\$。

>  *  直线与曲线交于一点的误区：

例6【教材改编】过点\$(0，1)\$作直线，使它与抛物线\$y^2=4x\$仅有一个公共点，这样的直线有\_\_\_\_\_\_\_\_\_条。

分析：如图所示，过点\$(0，1)\$做直线，和抛物线仅有一个公共点时，这样的直线有切线和非切线两种情形：

![992978-20190729201239371-412764748.png][]

当为切线时，其一为直线\$x=0\$，此时直线无斜率；其二为\$y=kx+1\$，设切点为\$(x\_0，y\_0)\$，则

\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{y\_0=kx\_0+1\}\\\\\{y\_0^2=4x\_0\}\\\\\{k=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{x\_0\}\}\}\\end\{array\}\\right.\$，解得\$x\_0=\\cfrac\{1\}\{2\}\$，\$y\_0=\\sqrt\{2\}\$，\$k=2(\\sqrt\{2\}-1)\$，

故另一条切线为\$y=(2\\sqrt\{2\}-1)x+1\$；

当为非切线时，直线为\$y=1\$，故这样的直线分别为\$x=0\$，\$y=1\$，\$y=(2\\sqrt\{2\}-1)x+1\$；

例7【教材改编】直线\$y=-\\cfrac\{3\}\{2\}x+2\$与双曲线\$\\cfrac\{x^2\}\{4\}-\\cfrac\{y^2\}\{9\}=1\$有\_\_\_\_\_\_\_个交点；

分析：由于直线和渐近线平行，故只能有一个交点。

例8直线\$y=kx+m\$与椭圆\$\\cfrac\{x^2\}\{2\}+\\cfrac\{y^2\}\{3\}=1\$只有一个公共点，则\$k\$与\$m\$的关系式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。\$m^2=2k^2+3\$

法1：判别式法，利用\$\\Delta=0\$，得到\$m^2=2k^2+3\$；

法2：平行线法。

例2设抛物线\$C：y^2=3x\$的焦点，过\$F\$且倾斜角为\$30^\{\\circ\}\$的直线交\$C\$于\$A\$，\$B\$两点，则\$|AB|\$等于（）

$A.\\cfrac\{\\sqrt\{30\}\}\{3\}$ $B.6$ $C.12$ $D.7\\sqrt\{3\}$

【法1】：常规方法，利用两点间距离公式，由于\$2p=3\$，则\$\\cfrac\{p\}\{2\}=\\cfrac\{3\}\{4\}\$，故焦点\$F(\\cfrac\{3\}\{4\}，0)\$，又斜率为\$k=\\cfrac\{\\sqrt\{3\}\}\{3\}\$，

则直线\$AB\$的方程为\$y=\\cfrac\{\\sqrt\{3\}\}\{3\}(x-\\cfrac\{3\}\{4\})\$，

联立直线\$AB\$和抛物线方程，得到\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{y^2=3x\}\\\\\{y=\\cfrac\{\\sqrt\{3\}\}\{3\}(x-\\cfrac\{3\}\{4\})\}\\end\{array\}\\right.\$，

![992978-20171106194108216-1343612812.png][]

消\$y\$得到\$16x^2-24\\times7x+9=0\$，设点\$A(x\_1，y\_1)\$，点\$B(x\_2，y\_2)\$，

则\$x\_1+x\_2=\\cfrac\{24\\times7\}\{16\}=\\cfrac\{21\}\{2\}\$，\$x\_1x\_2=\\cfrac\{9\}\{16\}\$，

故\$|AB|=\\sqrt\{1+k^2\}\\cdot |x\_1-x\_2|\$

\$=\\sqrt\{1+k^2\}\\cdot\\sqrt\{(x\_1+x\_2)^2-4x\_1x\_2\}=12\$。

【法2】：利用直线\$AB\$的参数方程的参数的几何意义，

直线\$AB\$的参数方程为\$\\begin\{cases\}x=\\cfrac\{3\}\{4\}+\\cfrac\{\\sqrt\{3\}\}\{2\}t\\\\y=0+\\cfrac\{1\}\{2\}t\\end\{cases\}(t为参数)\$，将其代入\$y^2=3x\$中，

整理得到\$t^2-6\\sqrt\{3\}t-9=0\$，设\$A\$，\$B\$对应的参数分别为\$t\_1\$，\$t\_2\$，

则\$\\Delta>0\$，且有\$t\_1+t\_2=6\\sqrt\{3\}\$，\$t\_1t\_2=-9\$，

故\$|AB|=|t\_1-t\_2|=\\sqrt\{(t\_1+t\_2)^2-4t\_1t\_2\}=\\sqrt\{36\\times3-4\\times(-9)\}=12\$。

【法3】：利用抛物线的定义可知，\$|AB|=|AF|+|BF|=|AN|+|BO|=x\_1+\\cfrac\{p\}\{2\}+x\_2+\\cfrac\{p\}\{2\}=x\_1+x\_2+p\$，

![992978-20171106194108216-1343612812.png][]

故由法1中，得到\$x\_1+x\_2=\\cfrac\{24\\times7\}\{16\}=\\cfrac\{21\}\{2\}\$，\$p=\\cfrac\{3\}\{2\}\$，即\$|AB|=x\_1+x\_2+p=12\$。

法4：利用抛物线的焦点弦长公式：\$|AB|=\\frac\{2p\}\{sin^2\\alpha\}\$，则\$|AB|=\\cfrac\{2\\times \\frac\{3\}\{2\}\}\{(\\frac\{1\}\{2\})^2\}=12\$。

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11265541.html

[Link 1]: https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9137942.html%20
[992978-20190729201239371-412764748.png]: /images/20230808/8651babcb2b740a689e1dce517165e82.png
[992978-20171106194108216-1343612812.png]: /images/20230808/1a910cd6e24845868c5f4b55452f43ea.png