一、应用场景-背包问题

背包问题:有一个背包，容量为 4 磅，现有如下物品
在这里插入图片描述

要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
要求装入的物品不能重复

二、动态规划算法介绍

动态规划(DynamicProgramming)算法的核心思想是:将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

三、动态规划算法最佳实践-背包问题

背包问题:有一个背包，容量为 4 磅，现有如下物品
在这里插入图片描述

要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
要求装入的物品不能重复

思路分析和图解

背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是:每种物品都有无限件可用)
这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令 v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果:

(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示填入表第一行和第一列是 0
(2) 当 w[i]> j 时:v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
(3) 当 j>=w[i]时: v[i][j]=max{ v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
// 装入的方式:
v[i-1][j]: 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] : 装入 i-1 商品，到剩余空间 j-w[i]的最大值
当 j>=w[i]时: v[i][j]=max{ v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :
图解的分析

四、代码

package dynamic;
/** * @program: text * @description: 动态规划 * @author: min * @create: 2019-10-01 17:53 **/
public class KnapsackProblem { 
    public static void main(String[] args) { 
        int[] w = { 1, 4, 3};//物品的重量
        int[] val = { 1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里 val[i] 就是前面讲的 v[i]
        int m = 4; //背包的容量
        int n = val.length; //物品的个数
        //创建二维数组，
        //v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值
        int[][] v = new int[n + 1][m + 1]; //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
        int[][] path = new int[n + 1][m + 1];
        //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是 0
        for (int i = 0; i < v.length; i++) { 
            v[i][0] = 0; //将第一列设置为 0
        }
        for (int i = 0; i < v[0].length; i++) { 
            v[0][i] = 0; //将第一行设置 0
        }
        //根据前面得到公式来动态规划处理
        for (int i = 1; i < v.length; i++) {  //不处理第一行 i 是从 1 开始的
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { //不处理第一列, j 是从 1 开始的
                // 公式
                if (w[i - 1] > j) {  // 因为我们程序 i 是从 1 开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
                    v[i][j]=v[i-1][j];
                } else { 
                    //说明:
                    //因为我们的 i 从 1 开始的， 因此公式需要调整成
                    //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                    //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
                    //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用 if-else 来体现公式
                    if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) { 
                        v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]; //把当前的情况记录到 path
                        path[i][j] = 1;
                    } else { 
                        v[i][j] = v[i - 1][j];
                    }
                }
            }
        }
        //输出一下 v 看看目前的情况
        for (int i = 0; i < v.length; i++) { 
            for (int j = 0; j < v[i].length; j++) { 
                System.out.print(v[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("============================");
        //输出最后我们是放入的哪些商品
        //遍历 path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入
        /*for (int i = 0; i < path.length; i++) { for (int j = 0; j < path[i].length; j++) { if (path[i][j] == 1) { System.out.printf("第%d 个商品放入到背包\n", i); } } }*/
        //动脑筋
        int i = path.length - 1; //行的最大下标
        int j = path[0].length - 1; //列的最大下标
        while (i > 0 && j > 0) {  //从 path 的最后开始找
            if (path[i][j] == 1) { 
                System.out.printf("第%d 个商品放入到背包\n", i);
                j -= w[i - 1]; //w[i-1]
            }
            i--;
        }
    }
}