Java实现之动态规划算法

缺乏、安全感 2024-04-01 01:36 118阅读 0赞

## 一.动态规划的基本介绍 ##

### 1.问题引出 ###

背包问题:有一个背包，容量为4磅，现有如下物品

![addac98d57db4e04b76249bb7ae3e71c.png][]

1)要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出背包容量

2)要求装入的物品不能重复

### 2.算法介绍 ###

1)动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是:将大问题划分为小问题进  
行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

2)动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子  
问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

3) 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不  
是互相独立的。(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解)

4)动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

### 3.思路分析和图解 ###

背包问题主要是指一个给定容量的背包、若千具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是:每种物品都有无限件可用)  
这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。

**算法的主要思想**，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w\[i\]和v\[i\]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v\[i\]、w\[i\]分别为第i个物品的价值和重量，c为背包的容量。**再令v\[i\]\[i\]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值**。则我们有下面的结果:

**背包填表的过程**

![85c4ef6295f147d59a83544bf437c130.png][]

## (1) v\[i\]\[0\]=v\[0\]\[j\]=0; ##

## 表示填入表的第一行和第一列为0   (2)当w\[i\]>j时:v\[i\]\[ji\]=v\[i-1\]\[j\] ##

## 当准备加入新增的商品的容量大于当前的背包的容量时,就直接使用上一个单元格的装入策略   (3)当j>=w\[i\]时:v\[i\]\[j\]=max\{v\[i-1\]\[i\],v\[i\]+v\[i-1\]\[j-w\[i\]\]\} ##

## 当准备加入新增的商品的容量小于等于当前的背包的容量时, ##

v\[i-1\]\[i\]为上一个单元格的装入策略

v\[i\]当前商品的价值

v\[i-1\]\[j-w\[i\]\]:装入i-1个商品到 剩余空间的 :j-w\[i\]

## 二.代码实现 ##

public class Knapsack {
        public static void main(String[] args) {
            int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
            int[] val = {1500, 3000, 2000};//物品的价值
            int capacity = 4;
            int number = w.length;
            //v[i][j]表示在前i个物品中能装入容量为j的背包中的最大价值
            int[][] v = new int[number + 1][capacity + 1];
            //为了记录放入商品的情况,我们定义一个二维数组
            int[][] path = new int[number + 1][capacity + 1];
    
            //初始化第一行第一列
            for (int i = 0; i < number; ++i) {
                v[i][0] = 0;//将第一列设置为0
            }
            for (int i = 0; i < capacity; ++i) {
                v[0][i] = 0;//将第一行设置为0
            }
            //动态规划处理
            for (int i = 1; i <= number; ++i) {
                for (int j = 1; j <= capacity; ++j) {
                    if (w[i - 1] > j) {//但准备要添加的物品重量大于背包的容量时
                        v[i][j] = v[i - 1][j];
                    } else {
                        //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j],val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                        //为了记录商品存放到背包的情况,我们不能简单的使用上面的公式,if-else才行
                        if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
                            v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                            //把当前情况记录到path
                            path[i][j] = 1;
                        } else {
                            v[i][j] = v[i - 1][j];
                        }
    
                    }
                }
    
            }
            for (int[] ints : v) {
                System.out.println(Arrays.toString(ints));
            }
            int i = path.length - 1;
            int j = path[0].length - 1;
            while (i > 0 && j > 0) {
                if (path[i][j] == 1) {
                    System.out.println("第" + i + "个商品放入背包");
                    j -= w[i - 1];
                }
                i--;
    
    
            }
    
        }
    }

## 三.动态规划五步 ##

1.dp数组以及下标的含义

2.递推公式

3.dp数组如何初始化

4.遍历顺序

5.打印dp数组

## 四.斐波那契数 ##

### 1.问题分析 ###

**斐波那契数** （通常用 `F(n)` 表示）形成的序列称为 **斐波那契数列** 。该数列由 `0` 和 `1` 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

>     F(0) = 0，F(1) = 1
>     F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

**1.dp数组以及下标的含义**

dp\[i\]为第i个斐波那契数的值

**2.递推公式**

dp\[n\]= dp\[n - 1\] +dp\[n - 2\]

**3.dp数组如何初始化**

dp\[0\]=0,dp\[1\]=1

**4.遍历顺序**

从前向后遍历

5.打印dp数组

### 2.代码实现 ###

public class Fib {
        public static void main(String[] args) {
            System.out.println(fib(5));
        }
        public static int fib(int n) {
            if (n == 0)
                return 0;
            if (n == 1)
                return 1;
            int[] dp=new int[n+1];
            dp[0]=1;
            dp[1]=1;
            for(int i=2;i<=n;i++){
                dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
            }
            return dp[n];
            
        }
    }

因为求出的只取决于上面两次的状态,所以可以用三个变量来实现

public class Fib {
        public static void main(String[] args) {
            System.out.println(fib(5));
        }
        public static int fib(int n) {
            if (n == 0)
                return 0;
            if (n == 1)
                return 1;
            int a = 0;
            int b = 1;
            int c;
            for (int i = 2; i <= n; i++) {
                c = a + b;
                a = b;
                b = c;
            }
            return b;
    
    
        }
    }

## 四.爬楼梯 ##

### 1.问题分析 ###

假设你正在爬楼梯。需要 `n` 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 `1` 或 `2` 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

**1.dp数组以及下标的含义**

dp\[i\]达到第i阶有dp\[i\]种方法

**2.递推公式**

dp\[i\] = dp\[i - 1\] +dp\[i - 2\]

**3.dp数组如何初始化**

dp\[0\]=0,dp\[1\]=1

**4.遍历顺序**

从前向后遍历

5.打印dp数组

### 2.代码实现 ###

public class ClimbStairs {
        public static void main(String[] args) {
            System.out.println(climbStairs(4));
        }
        public static int climbStairs(int n) {
            if(n==1)
                return 1;
            if(n==2)
                return 2;
           int[] dp=new int[n+1];
           dp[1]=1;
           dp[2]=2;
           for(int i=3;i<=n;i++){
               dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
           }
           return dp[n];
        }
    }

## 五.使用最小花费爬楼梯 ##

### 1.问题分析 ###

给你一个整数数组 `cost` ，其中 `cost[i]` 是从楼梯第 `i` 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 `0` 或下标为 `1` 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

**1.dp数组以及下标的含义**

dp\[i\]达到第i位置的花费

**2.递推公式**

dp\[i\] = min(dp\[i-1\]+cost\[i-1\],dp\[i-2\]+cost\[i-2\])

**3.dp数组如何初始化**

dp\[0\]=0,dp\[1\]=0

**4.遍历顺序**

从前向后遍历

**5.打印dp数组**

### 2.代码实现 ###

public class MinCostClimbingStairs {
        public static void main(String[] args) {
            int[] costs={1,100,1,1,1,100,1,1,100,1};
            System.out.println(minCostClimbingStairs(costs));
        }
    
        public static int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
            if(cost.length==1)
                return 0;
            int[] dp=new int[cost.length+1];
            dp[0]=0;
            dp[1]=0;
            for(int i=2;i<=cost.length;i++){
                dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
            }
            return dp[cost.length];
    
    
        }
    }

## 五.不同路径 ##

### 1.问题分析 ###

一个机器人位于一个 `m x n`网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

![6ae3cd839d7a418ea5d0b1f97277a0f1.png][]

**1.dp数组以及下标的含义**

dp\[i\]\[j\]为机器人走到(i,j)位置有多少种不同的走法

**2.递推公式**

dp\[i\]\[j\]=dp\[i\]\[j-1\]+dp\[i-1\]\[j\]

**3.dp数组如何初始化**

>     for(int i=0;i<n;i++){
>         dp[0][i]=1;
>     }
>     for(int i=1;i<m;i++){
>         dp[i][0]=1;
>     }

**4.遍历顺序**

从前向后遍历

**5.打印dp数组**

### **2.代码实现** ###

public class UniquePaths {
        public static void main(String[] args) {
            System.out.println(uniquePaths(3, 7));
        }
        public static int uniquePaths(int m, int n) {
            int[][] dp=new int[m][n];
            for(int i=0;i<n;i++){
                dp[0][i]=1;
            }
            for(int i=1;i<m;i++){
                dp[i][0]=1;
            }
            for(int i=1;i<m;i++){
                for(int j=1;j<n;j++){
                    dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j];
                }
            }
            return dp[m-1][n-1];
    
        }
    }

## 五.不同路径II ##

### 1.问题分析 ###

一个机器人位于一个 `m x n` 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 `1` 和 `0` 来表示。

![be02355876f54c88a78d8bb9e2dfb86c.png][]

**1.dp数组以及下标的含义**

dp\[i\]\[j\]为机器人走到(i,j)位置有多少种不同的走法

**2.递推公式**

if(obstacleGrid\[i\]\[j\]==0)

dp\[i\]\[j\]=dp\[i\]\[j-1\]+dp\[i-1\]\[j\]

**3.dp数组如何初始化**

>     for (int i = 0; i < n; i++) {
>         if (obstacleGrid[0][i] == 1)
>             break;
>         dp[0][i] = 1;
>     }
>     for (int i = 1; i < m; i++) {
>         if (obstacleGrid[i][0] == 1)
>             break;
>         dp[i][0] = 1;
>     }

**4.遍历顺序**

从前向后遍历

**5.打印dp数组**

[addac98d57db4e04b76249bb7ae3e71c.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/01/e872f82b952d41e8bfa19dd7d13f432c.png
[85c4ef6295f147d59a83544bf437c130.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/01/0df0f564fa6a4cc28cda655b41146afa.png
[6ae3cd839d7a418ea5d0b1f97277a0f1.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/01/e90d7a8d58604e1888a67e2ab33f8d19.png
[be02355876f54c88a78d8bb9e2dfb86c.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/01/7838ab6f4101467789f122b68a22f189.png