【计算机组成原理】运算方法和运算器

逃离我推掉我的手 2023-07-14 05:56 1阅读 0赞

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## 真值和机器数的互换 ##

\[原码，补码，反码，移码\]

*  **原码**：符号位+绝对值的二进制。
 *  **补码**：正数：补码等于原码；负数：除符号位外，各位取反末位加1
 *  **反码**：正数：反码等于原码；负数：除符号位外，各位取反
 *  **移码**：补码符号位取反
 *  **8421BCD码**：每四位二进制表示一位十进制数，范围是\[0,9\]。
 *  **余三码**：8421的基础上加3.  
    8421BCD码和余三码一般用于表示字符串，不用于计算

## 校验码 ##

数据再计算机传输过程中会出现错误，错误会引起歧义，所以需要校验码。  
码距是指两个码组对应位上数字的不同位数称为码组的距离，又称为汉明距离。码距为1时不具备校验能力。  
通信双方的大工程某种共识：校验方法、校验位数、校验位置  
**1.奇偶校验码**  
以奇校验码为例：  
最高位为校验位，最高位补0或1是校验码中1的个数为奇数。

数据：01010101
    发送方：奇校验  1 01010101（1的个数右奇数个）
    接收方：
    没错：101010101----01010101（去掉校验位）
    1位错:（1） 1 11010101
         （2） 0 01010101（1的个数为偶数了，可以检验到错误）
    2位错： 1 10010101（此时1的个数为奇数，不能检验到错误）

**优点**：简单，传输效率高  
**缺点**：只能发现错误，不能修改错误；只有当奇数个位数出错时才能被发现。

**2.Hamming校验码**  
发送方：  
1、校验位的位数  
（1）仅能发现并修正一位错  
假设数据位D（d位），校验位R（r位）  
2r>=d+r+1  
（2）发现修正一位错，并发现两位错  
2r-1>=d+r  
2.校验位的位置  
海明码的下标为2i的位置上，或者海明码最高位  
设数据位d=8，推出r=4

H13 H12 H11 H10 H9 H8 H7 H6 H5 H4 H3 H2 H1
    R5  D8  D7  D6  D5 R4 D4 D3 D2 R3 D1 R2 R1

3.校验位的值  
（1）确定校验关系：数据位在海明码中的下标=参与校验的校验位的下标和

D1（3=2+1）  R2  R1
    D2  (5=4+1）  R3 R1
    D3 (6=4+2）  R3  R2
    D4  :R3  R2  R1
    D5:  R4  R1
    D6:R4  R2
    D7 :R4  R2  R1
    D8:R4 R3

2）确定校验位的值=它参与校验的数据位的抑或

R1=D1^D2^D4^D5^D7
    R2：D1^D3^D4^D6^D7
    R3：D2^D3^D4^D8
    R4：D5^D6^D7^D8
    R5：(D1^...^D8)^(R1^...^R5)

接收方：

S1=R1'^（D1'^D2’^D4’^D5‘^D7’）
    S2=R2‘^（D1’^D3‘^D4’^D6‘^D7’）
    S3=R3'^（D2‘^D3’^D4‘^D8’）
    S4=R4'^（D5‘^D6’^D7‘^D8’）
    S5=R5^（D1^...^D8）（R1^...^R5）

（1）没有错误 S5=0 S4S3S2S1=0000  
（2）发生一位错  
I.D2出错 S5 =1 S4S3S2S1=0101=5->H5,即出错位置在汉明码的下标  
II. D5出错 S5 =1 S4S3S2S1=1001  
III.校验位R1出错 S5 =1 S4S3S2S1=0001  
(3) 发生两位错：  
设数据位D1和D3出错：S5 =0 S4S3S2S1=0101

**3.CRC 循环冗余校验码**  
模2运算  
（1）模2加减运算—异或运算

eg:1010-1101=1010+1101=1010^1101

（2）模2除法运算：依托模2减法。根据被除数或者余数的最高位决定是否做模2减法，如果最高位1则做模2减法，否则不做减法  
生成多项式 G ( x ) = a X 3 + b X 2 + c X + d G(x)=aX^3+bX^2+cX+d G(x)=aX3\+bX2\+cX\+d  
生成多项式是一串二进制编码，G。  
假设数据位为D(位数为d)，G位数为r+1位  
发送方：  
1.将D左移r位，低位补0，形成d+r位信息位M  
2.M模2除G，得到商和r位余数  
3.生成CRC编码=M+余数  
接收方：  
CRC编码模2除G=（M’+余数‘）/G  
没有错误：余数为0,M’=M 余数’=余数  
（M’+余数‘）/G=（M+余数）/G=M/G+余数/G=商+余数/G+余数/G=商+（余数+余数）/G=商  
如果出错：根据余数情况修改或者判断错误

## 定点数的表示 ##

定点数：小数点固定的数，纯小数或者纯整数  
**1.N位二进制数原码的表示范围：**  
整数： \[ − 2 n − 1 + 1 , 2 n − 1 − 1 \] \[-2^\{n-1\}+1,2^\{n-1\}-1\] \[−2n−1\+1,2n−1−1\]  
小数： \[ − ( 1 − 2 1 − n ) , 1 − 2 1 − n \] \[-(1-2^\{1-n\}),1-2^\{1-n\}\] \[−(1−21−n),1−21−n\]

**2.N位二进制数补码的表示范围：**  
整数： \[ − 2 n − 1 , 2 n − 1 − 1 \] \[-2^\{n-1\},2^\{n-1\}-1\] \[−2n−1,2n−1−1\]  
小数： \[ − 1 , 1 − 2 1 − n \] \[-1,1-2^\{1-n\}\] \[−1,1−21−n\]

## 定点数的运算—加减 ##

**1.原码加减—不适合做加减运算**  
(1)判断结果的符号  
(2)相加或者用||被减数|-|减数||  
(3)结果

**2.补码加减**  
\[A+B\]补=\[A\]补+\[B\]补  
\[A-B\]补=\[A\]补+\[-B\]补  
优点：直接运算

## 定点数的运算—溢出的判断 ##

双符号位法：两个符号位同时运算，双符号位不同则溢出，上溢和下溢。  
**1.逻辑移位**：逻辑左移，逻辑右移  
移出位移走，补位位补0  
eg：1010  
左移：0100  
右移：0101

**2.小循环移位**：小循环左移，小循环右移  
移出移入到补位位，同时移入到标记为C中  
在数字最前和最后分别有一个C位，储存溢出位

eg：1010
      左移：1  0101
      右移：0101   0

**3. 大循环移位**：大循环左移，大循环右移  
移出位移入到C位，C位移入到补位位

eg：0 1010
      左移：1 0100
      右移：0101 0

**4.算术移位**  
（1）保留数值的数学意义，左移相当于乘以2，右移相当于除以2  
（2）存在溢出或精度丧失  
原码：符号位不动，数值位逻辑左右移  
补码：带着符号位一起移动  
移出位移走。补位位：高位补符号位，地位补零。

**5.溢出过半**  
原码：符号位为0或1，数值位最高位为1  
补码：符号位为0，数值最高位为1；符号位为1，数值最高位为0.

## 浮点数的表示 ##

**规则：**  
1）组成部分、顺序  
2）每个组成部分位数  
3）尾数和阶码表示形式：  
尾数：定点小数  
阶码：定点整数

**一、IEEE754标准**  
**1.格式：**  
32位（float）和64位（double）  
![在这里插入图片描述][20200401180114109.png]  
**2. IEEE有关阶码的规定**  
（1）用修正过的移码表示  
修正过的移码可以表示0和±∞；

float：真值（e）=机器数的值（E）-128
    double：真值（e）=机器数的值（E）-1024

（2）有关移码  
 e = E − 2 n − 1 e=E-2^\{n-1\} e=E−2n−1

（3）E位全零或者全1的状态都不用

全0：表示数值0
    全1：表示+-∞

所以正式的IEEE754标准：  
 e = E − ( 2 n − 1 − 1 ) e=E-(2^\{n-1\}-1) e=E−(2n−1−1)

**3. IEEE有关尾数的规定**  
（1）用修正过的原码表示尾数  
（2）最高数值位必须为1，并且省略。  
这样进一步提高了数据的精度。  
（3）什么是规格化的尾数（M）  
 ∣ M ∣ > = 1 / 2 = ( 0.1 ) 2 |M|>=1/2=(0.1)\_2 ∣M∣>=1/2=(0.1)2

因为尾数最高的数值位为1，并且省略。  
E：阶码  
S：符号位  
M：尾数  
float： ( − 1 ) s ∗ 1. M ∗ 2 E − 127 (-1)^s\*1.M\*2^\{E-127\} (−1)s∗1.M∗2E−127  
double: ( − 1 ) s ∗ 1. M ∗ 2 E − 1023 (-1)^s\*1.M\*2^\{E-1023\} (−1)s∗1.M∗2E−1023

**4. IEEE与真值的相互转换**  
eg:Float类型413C0000H的真值是多少:

413 C 0000 H = ( 01000001001111000000000000000000 ) 2 413C0000H =(0100 0001 0011 1100 0000 0000 0000 0000)\_2 413C0000H=(01000001001111000000000000000000)2

S = 0 ； M = 0111 ； E = 10000010 S=0；M=0111；E=1000 0010 S=0；M=0111；E=10000010

e = ( − 1 ) s ∗ 1. M ∗ 2 E − 127 e=(-1)^s\*1.M\*2^\{E-127\} e=(−1)s∗1.M∗2E−127  
 = ( − 1 ) 0 ∗ 1.01111 ∗ 2 130 − 127 =(-1)^0\*1.01111\*2^\{130-127\} =(−1)0∗1.01111∗2130−127  
 = ( 1011.11 ) 2 =(1011.11)\_2 =(1011.11)2  
 = 11.75 =11.75 =11.75

**5. Float类型的表示范围**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzQ2MDIyNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
**二、非IEEE754标准**

**1.有机组成部分**  
![在这里插入图片描述][20200401183136443.png]  
每部分可以用不同的编码表示，最常见的阶码和尾数都用补码表示。

**2. 表示范围**  
（1）为什么要规格化？  
为了进一步提高数据精度  
（2）规格化的本质是什么？  
 ∣ 尾 数 ∣ > = 0.5 |尾数|>=0.5 ∣尾数∣>=0.5

(3)这种本质的体现是什么？  
尾数分别用原码和补码表示的时候规格化的尾数是什么形式的？  
原码：数值最高位为1  
补码：1.0xxxxx或者0.1xxxxx或者1.1xxxxx

（4）IEEE754标准如何做的规划化？  
尾数最高的数值位为1，并且省略。

设某浮点数阶码和尾数都用4位二进制补码表示。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzQ2MDIyNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

## 浮点数的运算 ##

**一、IEEE754标准的加减运算**  
（1）0操作数检查  
（2）对阶：小阶向大阶对齐，尾数右移  
（3）尾数加减：补码双符号位  
（4）规格化： 左规；右规

左规：尾数+-不发生溢出，结果不是规格化，左规尾数不定，阶码-1，知道规格化为止；
    右规：尾数+-发生溢出，带两个符号位右移移位，阶码+1

（5）舍入，阶码采用补码双符号位运算。0舍1入。  
（6）判断溢出  
在溢出判断中，什么样的情况才算溢出？  
阶码溢出才叫溢出  
尾数溢出是否标志着结果的溢出？  
尾数溢出不表示结果的溢出

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