【计算机组成原理】乘法运算总结

以你之姓@ 2021-09-21 04:28 831阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *   *  使用原码并行乘法
         *  移位操作
         *   *  正、负数补码(算术)右移的意义
         *  定点小数真值和补码的另一关系
         *  补码乘法规则
         *  Booth算法
         *  总结

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计算机中实现乘法运算有两种方式, 使用原码实现和使用补码实现.

### 使用原码并行乘法 ###

使用原码事项乘法的方式, 类似于笔算乘法, 符号位使用异或电路实现.

运算过程: 加法 + 移位

有成熟的末位决定被乘数是否与原部分积相加, 部分积右移移位形成新的部分积. **部分积** 就是被乘数乘以乘数积的其中一行.

定义公式:  
 \[ x \] 原 = x 0 . x 1   x 2 … x n \[ x \] 原 = x 0 . x 1   x 2 … x n ∴ \[ x ⋅ y \] 原 = ( x 0 ⊕ y 0 ) + ( x 1 x 2 … x n ) ⋅ ( y 1 y 2 … y n ) \[x\]\_原 = x\_0.x\_1\\ x\_2\\dots x\_n \\\\ \[x\]\_原 = x\_0.x\_1\\ x\_2\\dots x\_n \\\\ \\therefore \[x\\cdot y\]\_原 = (x\_0 \\oplus y\_0)+(x\_1 x\_2\\dots x\_n)\\cdot (y\_1 y\_2\\dots y\_n) \[x\]原=x0.x1 x2…xn\[x\]原=x0.x1 x2…xn∴\[x⋅y\]原=(x0⊕y0)\+(x1x2…xn)⋅(y1y2…yn)

例1: $A = -0.1101 \\quad B=0.1011 $

直接算:  ⇒ A × B = − 0.10001111 \\Rightarrow A \\times B=-0.10001111 ⇒A×B=−0.10001111

根据公式计算:

\[ A \] 原 = 1.1101 \[ B \] 原 = 0.1011 \[A\]\_原 = 1.1101 \\quad \[B\]\_原=0.1011 \[A\]原=1.1101\[B\]原=0.1011

\[ x ⋅ y \] 原 = ( 1 ⊕ 0 ) + ( 0.10001111 ) = \[ 1.10001111 \] 原 = − 0.10001111 \[x \\cdot y\]\_原 = (1 \\oplus 0)+ (0.10001111)= \[1.10001111\]\_原 = -0.10001111 \[x⋅y\]原=(1⊕0)\+(0.10001111)=\[1.10001111\]原=−0.10001111

### 移位操作 ###

*  逻辑左移(LSL)和逻辑右移(LSR): bit位向左右移, 空出来的使用`0`补全
 *  算术左移(ASL)和算术右移(ASR): 算术左移同逻辑左移; 算术右移, bit位向右移, 空出来的使用符号位补全

第一类移动是将bit位简单移动, 不考虑计算因素, 第二类是在计算中的移位, 在补码运算中意义重大.

#### 正、负数补码(算术)右移的意义 ####

*  正数右移相当于对被操作数进行整除
 *  负数右移也是对被操作数进行整除, 需要注意: 如果有余数, 结果-1; 负数整除最大值为-1;

### 定点小数真值和补码的另一关系 ###

\[ X \] 补 = X 0 . X 1 X 2 … X n \[X\]\_补 = X\_0.X\_1X\_2\\dots X\_n \[X\]补=X0.X1X2…Xn

\[ X \] 原 = − X 0 + 0. X 1 X 2 … X n \[X\]\_原 = -X\_0 + 0.X\_1X\_2\\dots X\_n \[X\]原=−X0\+0.X1X2…Xn

例:

\[ 1.11 \] 补 = − 1 + 0.11 = − 1 + 0.11 = \[ − 0.01 \] 真 \[1.11\]\_补 = -1 + 0.11 = -1 + 0.11 = \[-0.01\]\_真 \[1.11\]补=−1\+0.11=−1\+0.11=\[−0.01\]真

\[ 1.1 \] 补 = − 1 + 0.1 = \[ − 0.1 \] 真 \[1.1\]\_补 = -1 + 0.1 = \[-0.1\]\_真 \[1.1\]补=−1\+0.1=\[−0.1\]真

### 补码乘法规则 ###

设被乘数  \[ x \] 补 = x 0 . x 1 x 2 … x n \[x\]\_补 = x\_0.x\_1 x\_2 \\dots x\_n \[x\]补=x0.x1x2…xn , 乘数  \[ y \] 补 = y 0 . y 1 y 2 … y n \[y\]\_补= y\_0.y\_1 y\_2 \\dots y\_n \[y\]补=y0.y1y2…yn

*  若被乘数任意, 乘数为正
    
     *  同原码乘法规则, 但加法和移位操作按补码规则运算
     *  乘积的符号自然形成
     *  公式为:  \[ x ⋅ y \] 补 = \[ x \] 补 ( 0. y 1 y 2 … y n ) \[x \\cdot y\]\_补 = \[x\]\_补 (0.y\_1 y\_2 \\dots y\_n) \[x⋅y\]补=\[x\]补(0.y1y2…yn) `--无需校正`
 *  拖被乘数任意, 乘数为负
    
     *  乘数  \[ y \] 补 \[y\]\_补 \[y\]补 , 去掉符号位, 操作同上
     *  运算完成后, 需对结果加  \[ − x \] 补 \[-x\]\_补 \[−x\]补 校正
     *  公式为:  \[ x ⋅ y \] 补 = \[ x \] 补 ( 0. y 1 y 2 … y n ) + \[ − x \] 补 \[x \\cdot y\]\_补 = \[x\]\_补 (0.y\_1 y\_2 \\dots y\_n) + \[-x\]\_补 \[x⋅y\]补=\[x\]补(0.y1y2…yn)\+\[−x\]补

\*\*统一补码乘法公式: \*\*  \[ x ⋅ y \] 补 = \[ x \] 补 ( 0. y 1 y 2 … y n ) + \[ − x \] 补 ⋅ y 0 \[x\\cdot y\]\_补 = \[x\]\_补 (0.y\_1 y\_2 \\dots y\_n) + \[-x\]\_补\\cdot y\_0 \[x⋅y\]补=\[x\]补(0.y1y2…yn)\+\[−x\]补⋅y0

### Booth算法 ###

**运算规则**

*  符号位参与运算, 运算数均以补码表示
 *  被乘数一般去双符号位参与运算
 *  乘数可取单符号位
 *  乘数末位增设附加为 Y n + 1 Y\_\{n+1\} Yn\+1 , 切初值为0
 *  操作按下表
 *  最后一步无需移位

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th align="center"> Y n Y_n Yn</th> 
 <th align="center"> Y n + 1 Y_{n+1} Yn+1</th> 
 <th align="center">操作</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center">部分积右移移位</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center">1</td> 
 <td align="center">部分积加 [ x ] 补 [x]_补 [x]补 , 右移一位</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">1</td> 
 <td align="center">0</td> 
 <td align="center">部分积加 [ − x ] 补 [-x]_补 [−x]补 , 右移一位</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">1</td> 
 <td align="center">1</td> 
 <td align="center">部分积右移一位</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

**运算过程**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzIxNzk0Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

**Booth运算电路逻辑图**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzIxNzk0Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

### 总结 ###

计算集中乘法是通过加法实现的, 这里的加法不是简答的累加(例 4\*5, 不是把4累加5次), 而是通过移位相加的方式, 通过计算机Booth算法进行乘法运算时最多相加次数为除数位数减1次.

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