考研数学第三章复习：泰勒公式

拼搏现实的明天。 2023-07-07 14:00 20阅读 0赞

**目录**

一、泰勒公式的出现

二、推导泰勒公式

三、泰勒中值定理1

四、泰勒中值定理2

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### 一、泰勒公式的出现 ###

泰勒公式出现的原因是有一些比较复杂的函数，为了便于研究往往希望用一些简单的函数来近似表达。用多项式只对自变量进行有限次的加减乘三种运算，便能求出它的函数值来。

于是呢，假设fx在x0处有n阶导数，尝试找出一个关于x-x0的n次多项式

![20200224095151793.png][]

来近似表达fx，要求使得pn(x)与f(x)之差是当x趋于x0时比(x-x0)的n次方高阶的无穷小。

课本上直接给出了假设说要**假设pn(x)在x0处的函数值及它的直到n阶导数在x0处的值依次与fx0,f'x0,......f(x0)的n次求导相等**。

![20200224095510489.png][]

其实这个假设有些为时尚早，因为我们的目的是**它俩之差为比(x-x0)的n次方高阶的无穷小。**

### 二、推导泰勒公式 ###

我们应该从证明过程中去推导，这样才是严谨的数学过程：

首先

![20200224095724933.png][]

既然是**比(x-x0)的n次方高阶的无穷小，那么很明显求比的极限应该=0.**

那我们看看他们比的极限是什么

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

不要看倒数第二行，他是应用了假设，不影响结果是![2020022410033058.png][]，也就是说，要想极限等于0，Rn（xo）的n次导数必须为0，也就是说，f(x0)的n次导数-pn(x0)的n次导数必须等于0，即

**f(x0)的n次导数=pn(x0)的n次导数**。

由于Rn是**比(x-x0)的n次方高阶的无穷小，所以，不管n取多少，上式都是成立的。**

**所以我们要找的pn(x)满足：**

![20200224095510489.png][]

然而课本一开始就告诉我们要这么假设，反而失去了证明的乐趣。

这样就可以确定系数a0~an了

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

### 三、泰勒中值定理1 ###

其实我们上面的证明就相当于证明了**f(x)就是可以用pn(x)和一个(x-xo)的n次方的高阶无穷小（即Rn(x)）来表示**。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

泰勒中值定理的意思就是**假如我们把fx表示成Rn(x)和pn(x)的和了，那么这个Rn(x)就一定是比(x-xo)的n次方高阶的无穷小。**

上面的证明就可以作为泰勒公式的证明（不用去掉公式第三行了，因为假设就已经把pn定出来了）。

然后总结一下：

![20200224101304400.png][]

上式被称为**函数fx在x0处（或者说是按照x-x0的幂展开）的n次泰勒公式**。

![20200224101424273.png][]

上式被称为**函数fx在x0处（或按照x-x0的幂展开）的带有佩亚诺(Peano)余项的n阶泰勒公式，而Rn(x)的表达式![20200224101540722.png][]**

**被称为佩亚诺余项。**

### **四、泰勒中值定理2** ###

泰勒中值定理1只是给出了Rn的性质，并不知道Rn具体是什么。而泰勒中值定理2则解决了这个问题。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

关于泰勒公式2的证明过程

我没想到它是用了柯西中值定理来证明的，很灵性。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]

对于这个新定理中出现的公式

![2020022410335145.png][]

叫做**函数fx在x0处（或者按x-x0的幂展开）的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式，而Rn的表达式**

**![20200224103500111.png][]**

**称为拉格朗日余项。**

这为啥跟拉格朗日扯上关系呢，可能是因为

![2020022410362492.png][]

泰勒中值定理2已经把Rn进一步细化了，我们可以根据其表达式来近似估计误差，于是有下面的误差估计式：

![20200224103823700.png][]

另外当x0取0的时候，就不叫带有佩亚诺余项的泰勒公式，也不叫带有拉格朗日余项的泰勒公式了，而是

带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，带有拉格朗日余项的麦克劳林公式。

另外由于x=0，因此ξ也可以=θx了，0<θ<1

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