泰勒公式推导及多元泰勒展开式

柔光的暖阳◎ 2022-05-13 22:27 1063阅读 0赞

原文转自：[https://blog.csdn.net/weixin\_40100502/article/details/80531027][https_blog.csdn.net_weixin_40100502_article_details_80531027]

在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些[导数][Link 1]值做[系数][Link 2]构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的[函数][Link 3]值之间的偏差。（其实就是用多项式函数去逼近光滑函数）

推导过程

（以下对于泰勒公式的来龙去脉做了详尽的讲解，也体现了精彩的数学分析过程，供读者仔细研究，必有收获）

(1)引例

给出一个三次多项式如下图,我们来做一个貌似无趣的工作：将p(x)求导三次

![20180601085122431][]

显然这个十分漂亮的结果在启发我们去寻找更一般的规律。

（2）n次多项式的泰勒公式

给出n次多项式p(x),按照上边的方法步骤，先求导n次。

![20180601100915672][]

这里的S1叫做**n次多项式的泰勒公式**

![20180601102525519][]

到这里我们能发现假设成功，接下来推导一般规律

![20180601113843360][]

这里的S2被称为**n次多项式的麦克劳林公式**

**------------------------------------------------------------------------------**

但是到了这里，我们的推导过程才刚开始

上述的是n次多项式的泰勒公式是基础并且重要的，它将为下面要研究的任意函数的泰勒公式提供足够的准备。

给出一个不是多项式的任意函数f(x),其定义域为D，接下来我们推导是否可以将f(x)也写成与多项式类似的漂亮的展开式。

仿照S2我们人为的构造一个有意思的多项式。

![70][]

记此式为![70 1][]

注意：（1）要能写成这样的式子，f(x)需要在点x0处存在n阶导数；

（2）由于f(x)不是多项式，所以我们人为的写成Pn(x)!=f(x),所以写成这样的式子并非f(x)的展开式；

所以接下来我们需要研究两者之间究竟相差多少，为进一步研究此问题，需要设f(x)在定义域内存在n+1阶导数，后面会看到这里假设的用处。

记

![70 2][]

然后做辅助函数

![70 3][]

能看出，接下来的任务是讨论g(x0).

前面已经假设f(x)在定义域内n+1阶可导，故对g(t)求导，

![70 4][]

另取函数![70 5][]，有

![70 6][]

于是

![70 7][]

这里ξ介于x0与x之间，**S4被叫做拉格朗日余项**，   **S5被叫做带拉格朗日余项的泰勒公式**

**-----------------------------------------------------------------------------------**

然后我们再令x0=0,则

![70 8][]

这里S6被称为**带拉格朗日余项的麦克劳林公式**

接下来，我们再详细讨论当  x趋于x0   时f(x)的展开式问题，这应该看作“极限工具贯穿整个微积分体系”这一原则的体现。

首先可以降低f(x)需要满足的条件，即只需要假设f(x)在点x0处的n阶导数连续，也就是f(x)的n阶导数在点x0处连续，这时，在S5中用（n-1）代替n，有

![70 9][]

**S8被叫做带佩亚诺余项的泰勒公式，S9被叫做佩亚诺余项****（佩亚诺是意大利数学家）**

**---------------------------------------------------------------------------------**

**到这里就结束了，下面我们再给出一些常用的带佩亚诺余项的麦克劳林公式**

**![70 10][]**

**最后，带佩亚诺余项的泰勒公式一般用于计算题，证明题中一般用带拉格朗日余项的泰勒公式。**

## **多元泰勒展开式** ##

**实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化，通常将目标函数在某点附近展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。**

![Center][]

**      把泰勒展开式写成矩阵的形式：**

**![Center 1][]**

**      其中：**

![Center 2][]

![Center 3][]

[https_blog.csdn.net_weixin_40100502_article_details_80531027]: https://blog.csdn.net/weixin_40100502/article/details/80531027
[Link 1]: https://baike.so.com/doc/5386034-5622483.html
[Link 2]: https://baike.so.com/doc/5706426-5919145.html
[Link 3]: https://baike.so.com/doc/5368923-5604762.html
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