考研必备数学公式大全（数学二）

﹏ヽ暗。殇╰゛Y 2023-03-13 03:42 12阅读 0赞

> 由于公式太多，汇总成一篇容易打不开，所以分三篇。[整篇链接][Link 1]：https://blog.csdn.net/zhaohongfei\_358/article/details/106039576

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>章节</th> 
   <th>链接</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td><a href="https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119929920" rel="nofollow">基础回顾篇</a></td> 
   <td>https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119929920</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td><a href="https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119929988" rel="nofollow">高等数学篇</a></td> 
   <td>https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119929988</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td><a href="https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119930063" rel="nofollow">线性代数篇</a></td> 
   <td>https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/119930063</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

### 文章目录 ###

*  基础回顾
 *   *  面（体）积公式
     *  一元二次方程基础
     *  极坐标方程与直角坐标转换
     *  切线与法线方程
     *  因式分解公式
     *  阶乘与双阶乘
     *  函数的奇偶性
     *  排列组合
     *  等差数列
     *  等比数列
     *  常用数列前n项和
     *  不等式
     *  三角函数公式
     *   *  诱导公式
         *  平方关系
         *  两角和与差的三角函数
         *  积化和差公式
         *  和差化积公式
         *  倍角公式
         *  半角公式
         *  万能公式
         *  其他公式
     *  反三角函数恒等式
 *  极限相关公式
 *   *  数列极限递推式
     *  重要极限公式
     *  常用等价无穷小
     *  1^∞ 型
 *  导数相关公式
 *   *  导数定义
     *  微分定义
     *  连续，可导及可微关系
     *   *  一元函数
         *  多元函数
     *  导数四则运算
     *  复合函数求导
     *  反函数求导
     *  参数方程求导
     *  变限积分求导公式
     *  基本初等函数的导数公式（❤❤❤）
     *  高阶导数的运算
     *  常用初等函数的n阶导数公式
     *  极值判别条件
     *  凹凸性判定
     *  拐点判别条件
     *  斜渐近线
     *  曲率
 *  积分相关公式
 *   *  定积分的精确定义
     *  分布积分公式
     *  分部积分表格法
     *  区间再现公式
     *  华里士公式
     *  敛散性判别公式
     *  基本积分公式
     *  重要积分公式
 *  有理函数的拆分
 *   *  积分求平均值
     *  定积分应用
     *   *  定积分求平面图形面积
         *  定积分求旋转体的体积
         *  平面曲线的弧长
         *  旋转曲面的面积
         *  平面截面面积为已知的立体体积
         *  变力沿直线做功
         *  抽水做功
         *  水压力
         *  质心
         *   *  直线段的质心（一维）
             *  不均匀薄片质心（二维）
         *  形心
         *  质量
         *  转动惯量
         *  物理公式
 *  泰勒公式
 *   *  拉格朗日余项的泰勒公式
     *  佩亚诺余项的泰勒公式
     *  常用的泰勒展开式
 *  中值定理
 *   *  罗尔定理
     *  罗尔定理推论
     *  罗尔定理证明题辅助函数构造
     *  微分方程构造罗尔定理辅助函数
     *  拉格朗日中值定理
     *  柯西中值定理
     *  积分中值定理
 *  多元微积分相关公式
 *   *  多元微分定义
     *  多元隐函数求导
     *  极坐标下二重积分计算法
     *  隐函数存在定理
     *  多元函数极值判定
     *  拉格朗日数乘法求最值
     *  多重积分的应用
     *   *  空间曲面的面积
 *  微分方程
 *   *  一阶线性微分方程
     *  二阶常系数齐次线性微分方程的通解
     *  三阶常系数齐次线性微分方程的通解
     *  二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
     *  “算子法”求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
 *  线性代数
 *   *  行列式
     *  几个重要的行列式
     *  矩阵
     *  分块矩阵
     *  正交矩阵
     *  施密特正交化
     *  可逆矩阵
     *  等价矩阵
     *  秩相关公式
     *  特征值与特征向量
     *  相似矩阵
     *  相似对角化
 *  矩阵合同
 *   *  正定二次型
     *  二次型配方法（通法）

# 基础回顾 #

## 面（体）积公式 ##

球 表 面 积 公 式 ： S = 4 π R 2 球 体 积 公 式 ： V = 4 3 π R 3 圆 锥 体 积 公 式 ： V = 1 3 s h       ( s 为 圆 锥 底 面 积 ， h 为 圆 锥 的 高 ) 椭 圆 面 积 公 式 ： S = π a b 扇 形 面 积 公 式 ： S = 1 2 l r = 1 2 r 2 θ       （ 其 中 l 为 弧 长 ， r 为 半 径 ， θ 为 夹 角 ( 用 π 表 示 ) ） \\begin\{aligned\} & \\\\ & 球表面积公式：S= 4\\pi R^2 \\\\ \\\\ & 球体积公式：V = \\frac\{4\}\{3\}\\pi R^3 \\\\ \\\\ & 圆锥体积公式：V=\\frac\{1\}\{3\} sh ~~~~~(s为圆锥底面积，h为圆锥的高) \\\\\\\\ & 椭圆面积公式： S=\\pi ab \\\\ \\\\ & 扇形面积公式： S= \\frac\{1\}\{2\}l r = \\frac\{1\}\{2\}r^2\\theta ~~~~~（其中l为弧长，r为半径，\\theta为夹角(用\\pi表示)） \\end\{aligned\} 球表面积公式：S=4πR2球体积公式：V=34πR3圆锥体积公式：V=31sh     (s为圆锥底面积，h为圆锥的高)椭圆面积公式：S=πab扇形面积公式：S=21lr=21r2θ     （其中l为弧长，r为半径，θ为夹角(用π表示)）

## 一元二次方程基础 ##

一 元 二 次 方 程 ： a x 2 + b x + c = 0       ( a ≠ 0 ) 根 的 公 式      x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a 韦 达 定 理 ： x 1 + x 2 = − b a         x 1 x 2 = c a 判 别 式 ： Δ = b 2 − 4 a c    ⟹    \{ Δ > 0 ， 两 个 不 等 实 根 Δ = 0 ， 两 个 相 等 实 根 Δ < 0 ， 两 个 共 轭 的 复 根 （ 无 实 根 ） 抛 物 线   y = a x 2 + b x + c 的 顶 点 ： ( − b 2 a , c − b 2 4 a ) \\begin\{aligned\} & \\\\ & 一元二次方程：ax^2 + bx + c =0 ~~~~~(a \\ne 0) \\\\ \\\\ & 根的公式 ~~~~ x\_\{1,2\} = \\frac\{-b \\pm \\sqrt\{b^2-4ac\}\}\{2a\} \\\\ \\\\ & 韦达定理： x\_1 + x\_2 = -\\frac\{b\}\{a\} ~~~~~~~ x\_1 x\_2 = \\frac\{c\}\{a\} \\\\ \\\\ & 判别式： \\Delta=b^2 - 4ac \\implies \\begin\{cases\} \\Delta >0，两个不等实根 \\\\ \\Delta =0，两个相等实根 \\\\ \\Delta <0，两个共轭的复根（无实根） \\\\ \\end\{cases\} \\\\\\\\ & 抛物线~ y=ax^2 + bx + c 的顶点：(-\\frac\{b\}\{2a\}, c-\\frac\{b^2\}\{4a\}) \\end\{aligned\} 一元二次方程：ax2\+bx\+c=0     (a=0)根的公式    x1,2=2a−b±b2−4ac韦达定理：x1\+x2=−ab       x1x2=ac判别式：Δ=b2−4ac⟹⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，两个不等实根Δ=0，两个相等实根Δ<0，两个共轭的复根（无实根）抛物线 y=ax2\+bx\+c的顶点：(−2ab,c−4ab2)

## 极坐标方程与直角坐标转换 ##

直 角 坐 标 化 极 坐 标 \{ x = ρ cos ⁡ θ y = ρ sin ⁡ θ    ⟹    x 2 + y 2 = ρ 2 极 坐 标 化 直 角 坐 标 ： ρ 2 = x 2 + y 2    ⟹    tan ⁡ θ = y x \\begin\{aligned\} &直角坐标化极坐标 \\begin\{cases\} x = \\rho \\cos \\theta \\\\ y = \\rho \\sin \\theta \\end\{cases\} \\implies x^2+y^2=\\rho ^2 \\\\\\\\ &极坐标化直角坐标 ：\\rho ^2 = x^2+y^2 \\implies \\tan \\theta = \\frac\{y\}\{x\} \\\\\\\\ \\end\{aligned\} 直角坐标化极坐标\{ x=ρcosθy=ρsinθ⟹x2\+y2=ρ2极坐标化直角坐标：ρ2=x2\+y2⟹tanθ=xy

## 切线与法线方程 ##

切 线 方 程 ： y − y 0 x − x 0 = f ′ ( x 0 )      ， 即 y − y 0 = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 法 线 方 程 ： y − y 0 x − x 0 = − 1 f ′ ( x 0 )       , 即 y − y 0 = − 1 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) \\begin\{aligned\} & 切线方程： \\frac\{y - y\_0\}\{x - x\_0\} = f'(x\_0) ~~~~，即 y-y\_0 = f'(x\_0)(x-x\_0) \\\\ \\\\ & 法线方程： \\frac\{y - y\_0\}\{x - x\_0\} = -\\frac\{1\}\{f'(x\_0)\}~~~~~,即y-y\_0 = -\\frac\{1\}\{f'(x\_0)\}(x-x\_0) \\end\{aligned\} 切线方程：x−x0y−y0=f′(x0)    ，即y−y0=f′(x0)(x−x0)法线方程：x−x0y−y0=−f′(x0)1     ,即y−y0=−f′(x0)1(x−x0)

## 因式分解公式 ##

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + ⋯ + a b n − 2 + b n − 1 ) ( a + b ) n = ∑ k = 0 n C n k a k b n − k = a n + n a n − 1 b + n ( n − 1 ) 2 ! a n − 1 b 2 + ⋯ + n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ! a n − k b k + ⋯ + n a b n − 1 + b n \\begin\{aligned\} & \\\\ & (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2 \\\\ \\\\ & (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \\\\ \\\\ & (a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2 + 2ab+2ac+2bc \\\\\\\\ & (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\\\ \\\\ & (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3 \\\\ \\\\ & (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \\\\ \\\\ & a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 -ab + b^2) \\\\ \\\\ & a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \\\\ \\\\ & a^n-b^n = (a-b)(a^\{n-1\} + a^\{n-2\}b + \\cdots + ab^\{n-2\} + b^\{n-1\}) \\\\ \\\\ & (a+b)^n = \\sum\_\{k=0\}^n C\_n^ka^kb^\{n-k\} = a^n + na^\{n-1\}b + \\frac\{n(n-1)\}\{2!\}a^\{n-1\}b^2 + \\cdots + \\frac\{n(n-1)\\cdots(n-k+1)\}\{k!\}a^\{n-k\}b^k + \\cdots + nab^\{n-1\} + b^n \\end\{aligned\} (a\+b)2=a2\+2ab\+b2(a−b)2=a2−2ab\+b2(a\+b\+c)2=a2\+b2\+c2\+2ab\+2ac\+2bc(a\+b)3=a3\+3a2b\+3ab2\+b3(a−b)3=a3−3a2b\+3ab2−b3(a\+b)(a−b)=a2−b2a3\+b3=(a\+b)(a2−ab\+b2)a3−b3=(a−b)(a2\+ab\+b2)an−bn=(a−b)(an−1\+an−2b\+⋯\+abn−2\+bn−1)(a\+b)n=k=0∑nCnkakbn−k=an\+nan−1b\+2!n(n−1)an−1b2\+⋯\+k!n(n−1)⋯(n−k\+1)an−kbk\+⋯\+nabn−1\+bn

## 阶乘与双阶乘 ##

n ! = 1 × 2 × 3 × . . . × n       ( 规 定 0 ! = 1 ) ( 2 n ) ! ! = 2 × 4 × 6 × . . . × ( 2 n ) = 2 n ⋅ n ! ( 2 n − 1 ) ! ! = 1 × 3 × 5... × ( 2 n − 1 ) \\begin\{aligned\} & n! = 1\\times2\\times3\\times ... \\times n ~~~~~(规定0!=1) \\\\ \\\\ & (2n)!! = 2\\times4\\times6\\times ... \\times (2n) = 2^n \\cdot n! \\\\ \\\\ & (2n-1)!! = 1\\times3\\times5...\\times(2n-1) \\end\{aligned\} n!=1×2×3×...×n     (规定0!=1)(2n)!!=2×4×6×...×(2n)=2n⋅n!(2n−1)!!=1×3×5...×(2n−1)

## 函数的奇偶性 ##

定 义 在 \[ − a , a \] 上 的 任 一 函 数 ， 可 以 表 示 为 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 之 和 ： f ( x ) = 1 2 \[ f ( x ) − f ( − x ) \] + 1 2 \[ f ( x ) + f ( − x ) \] \\begin\{aligned\} & 定义在\[-a,a\]上的任一函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和： \\\\ \\\\ & f(x) = \\frac\{1\}\{2\}\[f(x)-f(-x)\] + \\frac\{1\}\{2\}\[f(x) + f(-x)\] \\end\{aligned\} 定义在\[−a,a\]上的任一函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和：f(x)=21\[f(x)−f(−x)\]\+21\[f(x)\+f(−x)\]

## 排列组合 ##

A n m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − m + 1 ) = n ! ( n − m ) ! C n m = A n m m ! = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − m + 1 ) m ! = n ! m ! ( n − m ) ! \\begin\{aligned\} A\_n^m & = n(n-1)(n-2)\\cdots(n-m +1) \\\\\\\\ & = \\frac\{n!\}\{(n-m)!\} \\\\\\\\ \\\\ C\_n^m & = \\frac\{A\_n^m\}\{m!\} = \\frac\{n(n-1)\\cdots(n-m + 1)\}\{m!\} \\\\\\\\ & = \\frac\{n!\}\{m!(n-m)!\} \\end\{aligned\} AnmCnm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m\+1)=(n−m)!n!=m!Anm=m!n(n−1)⋯(n−m\+1)=m!(n−m)!n!

## 等差数列 ##

a n = a 1 + ( n − 1 ) d S n = n a 1 + n ( n − 1 ) 2 d          n ∈ N ∗ S n = n ( a 1 + a n ) 2 \\begin\{aligned\} & a\_n = a\_1 + (n-1)d \\\\ \\\\ & S\_n = na\_1 + \\frac\{n(n-1)\}\{2\}d ~~~~~~~~ n \\in N^\* \\\\ \\\\ & S\_n = \\frac\{n(a\_1+a\_n)\}\{2\} \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} an=a1\+(n−1)dSn=na1\+2n(n−1)d        n∈N∗Sn=2n(a1\+an)

## 等比数列 ##

a n = a 1 ⋅ q n − 1 S n = a 1 ( 1 − q n ) 1 − q        ( q ≠ 1 ) \\begin\{aligned\} & a\_n = a\_1 \\cdot q^\{n-1\} \\\\ \\\\ & S\_n = \\frac\{a\_1(1-q^n)\}\{1-q\} ~~~~~~(q\\neq 1) \\end\{aligned\} an=a1⋅qn−1Sn=1−qa1(1−qn)      (q=1)

## 常用数列前n项和 ##

∑ k = 1 n k = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + ( 2 n − 1 ) = n 2 ∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ∑ k = 1 n k 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 = \[ n ( n + 1 ) 2 \] 2 = ( ∑ k = 1 n k ) 2 ∑ k = 1 n k ( k + 1 ) = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ⋯ + n ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 ∑ k = 1 n 1 k ( k + 1 ) = 1 1 × 2 + 1 2 × 3 + 1 3 × 4 + ⋯ + 1 n ( n + 1 ) = n n + 1 \\begin\{aligned\} & \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n k = 1 + 2+3+\\cdots + n=\\frac\{n(n+1)\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n (2k-1) = 1+ 3 + 5 + \\cdots + (2n-1) = n^2 \\\\ \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n k^2 = 1^2+2^2+3^2+\\cdots +n^2 = \\frac\{n(n+1)(2n+1)\}\{6\} \\\\ \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n k^3 = 1^3 + 2^3 +3^3 +\\cdots + n^3 = \[\\frac\{n(n+1)\}\{2\}\]^2 = (\\sum\_\{k=1\}^n k)^2 \\\\ \\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n k(k+1) = 1 \\times 2 + 2 \\times 3 + 3 \\times 4 + \\cdots + n(n+1) = \\frac\{n(n+1)(n+2)\}\{3\} \\\\\\\\ & \\sum\_\{k=1\}^n \\frac\{1\}\{k(k+1)\} = \\frac\{1\}\{1 \\times 2\} + \\frac\{1\}\{2 \\times 3\} + \\frac\{1\}\{3 \\times 4\} + \\cdots + \\frac\{1\}\{n(n+1)\} = \\frac\{n\}\{n+1\} \\end\{aligned\} k=1∑nk=1\+2\+3\+⋯\+n=2n(n\+1)k=1∑n(2k−1)=1\+3\+5\+⋯\+(2n−1)=n2k=1∑nk2=12\+22\+32\+⋯\+n2=6n(n\+1)(2n\+1)k=1∑nk3=13\+23\+33\+⋯\+n3=\[2n(n\+1)\]2=(k=1∑nk)2k=1∑nk(k\+1)=1×2\+2×3\+3×4\+⋯\+n(n\+1)=3n(n\+1)(n\+2)k=1∑nk(k\+1)1=1×21\+2×31\+3×41\+⋯\+n(n\+1)1=n\+1n

## 不等式 ##

2 ∣ a b ∣ ≤ a 2 + b 2 ∣ a ± b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ ∣ ∣ a ∣ − ∣ b ∣ ∣ ≤ ∣ a − b ∣ ∣ a 1 ± a 2 ± ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ± a n ∣ ≤ ∣ a 1 ∣ + ∣ a 2 ∣ + ⋅ ⋅ ⋅ + ∣ a n ∣ ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x       ( a < b ) a b ≤ a + b 2 ≤ a 2 + b 2 2       ( a , b > 0 ) a b c 3 ≤ a + b + c 3 ≤ a 2 + b 2 + c 2 3       ( a , b , c > 0 ) a 1 a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n n ≤ a 1 + a 2 + . . . + a n n ≤ a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2 n      （ a 1 , a 2 , . . . a n > 0 ， 等 号 当 且 仅 当 a 1 = a 2 = . . . = a n 时 成 立 ） x y ≤ x p p + x q q       ( x , y , p , q > 0 , 1 p + 1 q = 1 ) ( a c + b d ) 2 ≤ ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) 2 ≤ ( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 ) \[ ∫ a b f ( x ) ⋅ g ( x ) d x \] 2 ≤ ∫ a b f 2 ( x ) d x ⋅ ∫ a b g 2 ( x ) d x sin ⁡ x < x < tan ⁡ x       ( 0 < x < π 2 ) arctan ⁡ x ≤ x ≤ arcsin ⁡ x       ( 0 ≤ x ≤ 1 ) x + 1 ≤ e x ln ⁡ x ≤ x − 1 1 1 + x < ln ⁡ ( 1 + 1 x ) < 1 x       ( x > 0 ) \\begin\{aligned\} & \\\\ & 2 |ab| \\le a ^ 2 + b^2 \\\\ \\\\ & |a \\pm b| \\le |a| + |b| \\\\ \\\\ & | |a| - |b| | \\le |a-b| \\\\ \\\\ & |a\_1 \\pm a\_2 \\pm \\cdot\\cdot\\cdot\\cdot \\pm a\_n| \\le |a\_1| + |a\_2| + \\cdot\\cdot\\cdot + |a\_n| \\\\ \\\\ & |\\int\_a^b f(x) dx| \\le \\int\_a^b |f(x)| dx ~~~~~(a<b) \\\\ \\\\ & \\sqrt\{ab\} \\le \\frac\{a+b\}\{2\} \\le \\sqrt\{\\frac\{a^2+b^2\}\{2\}\} ~~~~~(a,b>0) \\\\ \\\\ & \\sqrt\[3\]\{abc\} \\le \\frac\{a+b+c\}\{3\} \\le \\sqrt\{\\frac\{a^2+b^2+c^2\}\{3\}\} ~~~~~(a,b,c>0) \\\\ \\\\ & \\sqrt\[n\]\{a\_1a\_2\\cdot\\cdot\\cdot a\_n\} \\le \\frac\{a\_1+a\_2+...+a\_n\}\{n\} \\le \\sqrt\{\\frac\{ \{a\_1\}^2+\{a\_2\}^2 + ... + \{a\_n\}^2\}\{n\}\} ~~~~（a\_1,a\_2,...a\_n > 0，等号当且仅当 a\_1 = a\_2 = ... = a\_n时成立） \\\\ \\\\ & xy \\le \\frac\{x^p\}\{p\} + \\frac\{x^q\}\{q\} ~~~~~(x,y,p,q>0, \\frac\{1\}\{p\}+\\frac\{1\}\{q\}=1) \\\\ \\\\ & (ac+bd)^2 \\le (a^2+b^2)(c^2+d^2) \\\\ \\\\ & (a\_1 b\_1 + a\_2 b\_2 + a\_3 b\_3)^2 \\le (\{a\_1\}^2 + \{a\_2\}^2 + \{a\_3\}^2)(\{b\_1\}^2 + \{b\_2\}^2 + \{b\_3\}^2) \\\\ \\\\ & \[\\int\_a^b f(x)\\cdot g(x) dx\]^2 \\le \\int\_a^bf^2(x)dx \\cdot\\int\_a^bg^2(x)dx \\\\ \\\\ & \\sin x < x < \\tan x ~~~~~(0<x<\\frac\{\\pi\}\{2\}) \\\\ \\\\ & \\arctan x \\le x \\le \\arcsin x ~~~~~(0\\le x \\le 1) \\\\ \\\\ & x+1 \\le e^x \\\\ \\\\ & \\ln x \\le x-1 \\\\ \\\\ & \\frac\{1\}\{1+x\} < \\ln (1+\\frac\{1\}\{x\}) < \\frac\{1\}\{x\} ~~~~~(x>0) \\end\{aligned\} 2∣ab∣≤a2\+b2∣a±b∣≤∣a∣\+∣b∣∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣∣a1±a2±⋅⋅⋅⋅±an∣≤∣a1∣\+∣a2∣\+⋅⋅⋅\+∣an∣∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx     (a<b)ab≤2a\+b≤2a2\+b2     (a,b>0)3abc≤3a\+b\+c≤3a2\+b2\+c2     (a,b,c>0)na1a2⋅⋅⋅an≤na1\+a2\+...\+an≤na12\+a22\+...\+an2    （a1,a2,...an>0，等号当且仅当a1=a2=...=an时成立）xy≤pxp\+qxq     (x,y,p,q>0,p1\+q1=1)(ac\+bd)2≤(a2\+b2)(c2\+d2)(a1b1\+a2b2\+a3b3)2≤(a12\+a22\+a32)(b12\+b22\+b32)\[∫abf(x)⋅g(x)dx\]2≤∫abf2(x)dx⋅∫abg2(x)dxsinx<x<tanx     (0<x<2π)arctanx≤x≤arcsinx     (0≤x≤1)x\+1≤exlnx≤x−11\+x1<ln(1\+x1)<x1     (x>0)

## 三角函数公式 ##

### 诱导公式 ###

sin ⁡ ( − α ) = − sin ⁡ α cos ⁡ ( − α ) = cos ⁡ α sin ⁡ ( π 2 − α ) = cos ⁡ α cos ⁡ ( π 2 − α ) = sin ⁡ α sin ⁡ ( π 2 + α ) = cos ⁡ α cos ⁡ ( π 2 + α ) = − sin ⁡ α sin ⁡ ( π − α ) = sin ⁡ α cos ⁡ ( π − α ) = − cos ⁡ α sin ⁡ ( π + α ) = − sin ⁡ α cos ⁡ ( π + α ) = − cos ⁡ α 奇 变 偶 不 变 ， 符 号 看 象 限 奇 指    k ⋅ π 2    中 k 看 象 限 是 指 ： 将 α 看 成 锐 角 ， 然 后 看 sin ⁡ ( 变 之 前 的 ， 或 c o s ) ( k ⋅ π 2 ± α ) 的 符 号 \\begin\{aligned\} & \\sin (-\\alpha) = -\\sin \\alpha \\\\ \\\\ & \\cos (-\\alpha) = \\cos \\alpha \\\\ \\\\ & \\sin (\\frac\{\\pi\}\{2\} - \\alpha) = \\cos \\alpha \\\\ \\\\ & \\cos (\\frac\{\\pi\}\{2\} - \\alpha) = \\sin \\alpha \\\\ \\\\ & \\sin (\\frac\{\\pi\}\{2\} + \\alpha) = \\cos \\alpha \\\\ \\\\ & \\cos (\\frac\{\\pi\}\{2\} + \\alpha) = - \\sin \\alpha \\\\ \\\\ & \\sin (\\pi - \\alpha) = \\sin \\alpha \\\\ \\\\ & \\cos (\\pi - \\alpha) = - \\cos \\alpha \\\\ \\\\ & \\sin (\\pi + \\alpha) = - \\sin \\alpha \\\\ \\\\ & \\cos (\\pi + \\alpha) = - \\cos \\alpha \\\\ \\\\ \\\\ & 奇变偶不变，符号看象限 \\\\ & 奇指 ~~ k\\cdot\\frac\{\\pi\}\{2\} ~~ 中 k \\\\ & 看象限是指：将 \\alpha 看成锐角，然后看 \\sin\_\{\_\{(变之前的，或cos)\}\}(k\\cdot\\frac\{\\pi\}\{2\} \\pm \\alpha) 的符号 \\end\{aligned\} sin(−α)=−sinαcos(−α)=cosαsin(2π−α)=cosαcos(2π−α)=sinαsin(2π\+α)=cosαcos(2π\+α)=−sinαsin(π−α)=sinαcos(π−α)=−cosαsin(π\+α)=−sinαcos(π\+α)=−cosα奇变偶不变，符号看象限奇指  k⋅2π  中k看象限是指：将α看成锐角，然后看sin(变之前的，或cos)(k⋅2π±α)的符号

### 平方关系 ###

1 + tan ⁡ 2 α = sec ⁡ 2 α 1 + cot ⁡ 2 α = csc ⁡ 2 α sin ⁡ 2 α + cos ⁡ 2 α = 1 \\begin\{aligned\} & \\\\ & 1 + \\tan ^2 \\alpha = \\sec^2 \\alpha \\\\ \\\\ & 1 + \\cot^2 \\alpha = \\csc ^2 \\alpha \\\\ \\\\ & \\sin^2 \\alpha + \\cos ^2 \\alpha = 1 \\end\{aligned\} 1\+tan2α=sec2α1\+cot2α=csc2αsin2α\+cos2α=1

### 两角和与差的三角函数 ###

sin ⁡ ( α + β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β + cos ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ ( α + β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β − sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ ( α − β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β − cos ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ ( α − β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β + sin ⁡ α cos ⁡ β tan ⁡ ( α + β ) = tan ⁡ α + tan ⁡ β 1 − tan ⁡ α tan ⁡ β tan ⁡ ( α − β ) = tan ⁡ α − tan ⁡ β 1 + tan ⁡ α tan ⁡ β \\begin\{aligned\} & \\sin (\\alpha + \\beta) = \\sin \\alpha \\cos \\beta + \\cos \\alpha \\sin \\beta \\\\ \\\\ & \\cos (\\alpha + \\beta) = \\cos \\alpha \\cos \\beta - \\sin \\alpha \\sin \\beta \\\\ \\\\ & \\sin (\\alpha - \\beta) = \\sin \\alpha \\cos \\beta - \\cos \\alpha \\sin \\beta \\\\ \\\\ & \\cos (\\alpha - \\beta) = \\cos \\alpha \\cos \\beta + \\sin \\alpha \\cos \\beta \\\\ \\\\ & \\tan (\\alpha + \\beta) = \\frac\{\\tan \\alpha + \\tan \\beta\}\{ 1- \\tan \\alpha \\tan \\beta\} \\\\ \\\\ & \\tan (\\alpha - \\beta) = \\frac\{\\tan \\alpha - \\tan \\beta\}\{1+ \\tan \\alpha \\tan \\beta\} \\end\{aligned\} sin(α\+β)=sinαcosβ\+cosαsinβcos(α\+β)=cosαcosβ−sinαsinβsin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβcos(α−β)=cosαcosβ\+sinαcosβtan(α\+β)=1−tanαtanβtanα\+tanβtan(α−β)=1\+tanαtanβtanα−tanβ

### 积化和差公式 ###

cos ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 \[ cos ⁡ ( α + β ) + c o s ( α − β ) \] cos ⁡ α sin ⁡ β = 1 2 \[ sin ⁡ ( α + β ) − sin ⁡ ( α − β ) \] sin ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 \[ sin ⁡ ( α + β ) + sin ⁡ ( α − β ) \] sin ⁡ α sin ⁡ β = − 1 2 \[ cos ⁡ ( α + β ) − cos ⁡ ( α − β ) \] \\begin\{aligned\} & \\cos \\alpha \\cos \\beta = \\frac\{1\}\{2\} \[\\cos (\\alpha + \\beta) + cos (\\alpha - \\beta)\] \\\\ \\\\ & \\cos \\alpha \\sin \\beta = \\frac\{1\}\{2\} \[\\sin(\\alpha + \\beta) - \\sin (\\alpha - \\beta)\] \\\\ \\\\ & \\sin \\alpha \\cos \\beta = \\frac \{1\}\{2\} \[\\sin (\\alpha + \\beta) + \\sin (\\alpha - \\beta)\] \\\\ \\\\ & \\sin \\alpha \\sin \\beta = - \\frac\{1\}\{2\} \[\\cos (\\alpha + \\beta) - \\cos (\\alpha - \\beta)\] \\end\{aligned\} cosαcosβ=21\[cos(α\+β)\+cos(α−β)\]cosαsinβ=21\[sin(α\+β)−sin(α−β)\]sinαcosβ=21\[sin(α\+β)\+sin(α−β)\]sinαsinβ=−21\[cos(α\+β)−cos(α−β)\]  
记忆口诀：  
积化和差得和差，余弦在后要想加。异名函数取正弦，正弦相乘取负号。

### 和差化积公式 ###

sin ⁡ α + sin ⁡ β = 2 sin ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 sin ⁡ α − sin ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 cos ⁡ α + cos ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 cos ⁡ α − cos ⁡ β = − 2 sin ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 \\begin\{aligned\} & \\sin \\alpha + \\sin \\beta = 2 \\sin \\frac\{\\alpha + \\beta\}\{2\}\\cos \\frac\{\\alpha - \\beta\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\sin \\alpha - \\sin \\beta = 2 \\cos \\frac\{\\alpha + \\beta\}\{2\}\\sin \\frac\{\\alpha - \\beta\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\cos \\alpha + \\cos \\beta = 2 \\cos \\frac\{\\alpha + \\beta\}\{2\} \\cos \\frac\{\\alpha - \\beta\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\cos \\alpha - \\cos \\beta = -2 \\sin \\frac\{\\alpha + \\beta\}\{2\} \\sin \\frac\{\\alpha - \\beta\}\{2\} \\end\{aligned\} sinα\+sinβ=2sin2α\+βcos2α−βsinα−sinβ=2cos2α\+βsin2α−βcosα\+cosβ=2cos2α\+βcos2α−βcosα−cosβ=−2sin2α\+βsin2α−β  
记忆口诀：  
正加正，正在前，正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦

### 倍角公式 ###

sin ⁡ 2 α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α cos ⁡ 2 α = cos ⁡ 2 α − sin ⁡ 2 α = 1 − 2 sin ⁡ 2 α = 2 cos ⁡ 2 α − 1 sin ⁡ 3 α = − 4 sin ⁡ 3 α + 3 sin ⁡ α cos ⁡ 3 α = 4 cos ⁡ 3 α − 3 cos ⁡ α sin ⁡ 2 α = 1 − cos ⁡ 2 α 2 cos ⁡ 2 α = 1 + cos ⁡ 2 α 2 tan ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 − tan ⁡ 2 α cot ⁡ 2 α = cot ⁡ 2 α − 1 2 cot ⁡ α \\begin\{aligned\} & \\sin 2\\alpha = 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha \\\\ \\\\ & \\cos 2\\alpha = \\cos ^2 \\alpha - \\sin ^2 \\alpha = 1- 2\\sin^2 \\alpha = 2 \\cos^2\\alpha -1 \\\\ \\\\ & \\sin 3\\alpha = -4 \\sin^3 \\alpha + 3\\sin \\alpha \\\\ \\\\ & \\cos 3 \\alpha = 4\\cos^3\\alpha -3 \\cos \\alpha \\\\ \\\\ & \\sin^2 \\alpha = \\frac\{1-\\cos 2\\alpha\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\cos^2 \\alpha = \\frac\{1+\\cos 2\\alpha\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\tan 2\\alpha = \\frac\{2\\tan \\alpha\}\{1-\\tan ^2\\alpha\} \\\\ \\\\ & \\cot 2\\alpha = \\frac\{\\cot ^2 \\alpha -1\}\{2\\cot \\alpha\} \\end\{aligned\} sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1sin3α=−4sin3α\+3sinαcos3α=4cos3α−3cosαsin2α=21−cos2αcos2α=21\+cos2αtan2α=1−tan2α2tanαcot2α=2cotαcot2α−1

### 半角公式 ###

sin ⁡ 2 α 2 = 1 − cos ⁡ α 2 cos ⁡ 2 α 2 = 1 + cos ⁡ α 2 sin ⁡ α 2 = ± 1 − cos ⁡ α 2 cos ⁡ α 2 = ± 1 + cos ⁡ α 2 tan ⁡ α 2 = 1 − cos ⁡ α sin ⁡ α = sin ⁡ α 1 + cos ⁡ α = ± 1 − cos ⁡ α 1 + cos ⁡ α cot ⁡ α 2 = sin ⁡ α 1 − cos ⁡ α = 1 + cos ⁡ α sin ⁡ α = ± 1 + cos ⁡ α 1 − cos ⁡ α \\begin\{aligned\} & \\sin^2 \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\frac\{1- \\cos \\alpha\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\cos^2 \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\frac\{1+\\cos \\alpha\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\sin \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\pm \\sqrt\{\\frac\{1- \\cos \\alpha\}\{2\}\} \\\\ \\\\ & \\cos \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\pm \\sqrt\{\\frac\{1+ \\cos \\alpha\}\{2\}\} \\\\ \\\\ & \\tan \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\frac\{1- \\cos \\alpha\}\{\\sin \\alpha\} = \\frac\{\\sin \\alpha\}\{1+\\cos \\alpha\} = \\pm \\sqrt\{\\frac\{1-\\cos \\alpha\}\{1+\\cos \\alpha\}\} \\\\ \\\\ & \\cot \\frac\{\\alpha\}\{2\} = \\frac\{\\sin \\alpha\}\{1- \\cos \\alpha\} = \\frac\{1+\\cos \\alpha\}\{\\sin \\alpha\} = \\pm \\sqrt\{\\frac\{1+\\cos \\alpha\}\{1-\\cos \\alpha\}\} \\end\{aligned\} sin22α=21−cosαcos22α=21\+cosαsin2α=±21−cosαcos2α=±21\+cosαtan2α=sinα1−cosα=1\+cosαsinα=±1\+cosα1−cosαcot2α=1−cosαsinα=sinα1\+cosα=±1−cosα1\+cosα

### 万能公式 ###

sin ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 + tan ⁡ 2 α 2 cos ⁡ α = 1 − tan ⁡ 2 α 2 1 + tan ⁡ 2 α 2 \\begin\{aligned\} & \\sin \\alpha = \\frac\{2 \\tan \\frac\{\\alpha\}\{2\}\}\{1+\\tan^2 \\frac\{\\alpha\}\{2\}\} \\\\ \\\\ & \\cos \\alpha = \\frac\{1- \\tan^2 \\frac\{\\alpha\}\{2\}\}\{1+ \\tan^2 \\frac\{\\alpha\}\{2\}\} \\end\{aligned\} sinα=1\+tan22α2tan2αcosα=1\+tan22α1−tan22α

### 其他公式 ###

1 + sin ⁡ α = ( sin ⁡ α 2 + cos ⁡ α 2 ) 2 1 − sin ⁡ α = ( sin ⁡ α 2 − cos ⁡ α 2 ) 2 \\begin\{aligned\} & 1 + \\sin \\alpha = (\\sin \\frac\{\\alpha\}\{2\} + \\cos \\frac\{\\alpha\}\{2\}) ^2 \\\\ \\\\ & 1 - \\sin \\alpha = (\\sin \\frac\{\\alpha\}\{2\} - \\cos \\frac\{\\alpha\}\{2\}) ^2 \\end\{aligned\} 1\+sinα=(sin2α\+cos2α)21−sinα=(sin2α−cos2α)2

## 反三角函数恒等式 ##

arcsin ⁡ x + arccos ⁡ x = π 2 arctan ⁡ x + a r c c o t   x = π 2 sin ⁡ ( arccos ⁡ x ) = 1 − x 2 cos ⁡ ( arcsin ⁡ x ) = 1 − x 2 sin ⁡ ( arcsin ⁡ x ) = x arcsin ⁡ ( sin ⁡ x ) = x cos ⁡ ( arccos ⁡ x ) = x arccos ⁡ ( cos ⁡ x ) = x arccos ⁡ ( − x ) = π − arccos ⁡ x \\begin\{aligned\} & \\arcsin x + \\arccos x = \\frac\{\\pi\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\arctan x + arccot ~x= \\frac\{\\pi\}\{2\} \\\\ \\\\ & \\sin(\\arccos x) = \\sqrt\{1-x^2\} \\\\ \\\\ & \\cos(\\arcsin x) = \\sqrt\{1- x^2\} \\\\ \\\\ & \\sin(\\arcsin x) = x \\\\ \\\\ & \\arcsin (\\sin x) = x \\\\ \\\\ & \\cos (\\arccos x) = x \\\\ \\\\ & \\arccos (\\cos x) =x \\\\ \\\\ & \\arccos (-x) = \\pi - \\arccos x \\end\{aligned\} arcsinx\+arccosx=2πarctanx\+arccot x=2πsin(arccosx)=1−x2cos(arcsinx)=1−x2sin(arcsinx)=xarcsin(sinx)=xcos(arccosx)=xarccos(cosx)=xarccos(−x)=π−arccosx

# 极限相关公式 #

## 数列极限递推式 ##

a n + 1 = f ( a n ) 结 论 一 ： f ′ ( x ) > 0 ， \{ a 2 > a 1    ⟹    \{ a n \} ↗ 单 调 递 增 a 2 < a 1    ⟹    \{ a n \} ↘ 单 调 递 减 结 论 二 （ 压 缩 映 像 原 理 ） ： ∃ k ∈ ( 0 , 1 ) ， 使 得 ∣ f ′ ( x ) ∣ ≤ k    ⟹    a n 收 敛 \\begin\{aligned\} & a\_\{n+1\} = f(a\_n) \\\\\\\\ 结论一： & f'(x) > 0 ， \\begin\{cases\} a\_2 > a\_1 \\implies \\\{ a\_n \\\} \\nearrow单调递增 \\\\ a\_2 < a\_1 \\implies \\\{ a\_n \\\} \\searrow单调递减 \\end\{cases\} \\\\\\\\ 结论二（压缩映像原理）：& \\exist k \\in (0,1)，使得 |f'(x)| \\le k \\implies \{a\_n\} 收敛 \\end\{aligned\} 结论一：结论二（压缩映像原理）：an\+1=f(an)f′(x)>0，\{ a2>a1⟹\{ an\}↗单调递增a2<a1⟹\{ an\}↘单调递减∃k∈(0,1)，使得∣f′(x)∣≤k⟹an收敛

## 重要极限公式 ##

lim ⁡ x → 0 + x α ln ⁡ x = 0       其 中 α > 0 lim ⁡ x → 0 + x α ( ln ⁡ x ) k = 0       其 中 α > 0 ， k > 0 lim ⁡ x → + ∞ x α e − δ x = 0       其 中 α > 0 ， δ > 0 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1       ⟹    lim ⁡ ϕ ( x ) → 0 sin ⁡ ϕ ( x ) ϕ ( x ) = 1       其 中 ϕ ( x ) ≠ 0 lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e       ⟹    lim ⁡ ϕ ( x ) → 0 ( 1 + ϕ ( x ) ) 1 ϕ ( x ) = e       其 中 ϕ ( x ) ≠ 0 lim ⁡ n → ∞ n n = 1 lim ⁡ n → ∞ a n = 1     （ 常 数 a > 0 ） \\begin\{aligned\} & \\lim\_\{x \\to 0^+\} x^\\alpha \\ln x = 0 ~~~~~ 其中 \\alpha >0 \\\\\\\\ & \\lim\_\{x \\to 0^+\} x^\\alpha (\\ln x)^k = 0 ~~~~~ 其中 \\alpha >0 ，k>0 \\\\\\\\ & \\lim\_\{x \\to +\\infty\} x^\\alpha e^\{-\\delta x\} = 0 ~~~~~ 其中 \\alpha >0 ，\\delta >0 \\\\\\\\ & \\lim\_\{x\\to 0\} \\frac\{\\sin x\}\{x\} = 1 ~~ \\implies \\lim\_\{\\phi (x) \\to 0\} \\frac\{\\sin \\phi (x)\}\{\\phi (x)\} =1 ~~~~~其中\\phi (x) \\neq 0 \\\\ \\\\ & \\lim\_\{x \\to 0\} (1+x)^\{\\frac\{1\}\{x\}\} = e ~~ \\implies \\lim\_\{\\phi (x) \\to 0\} (1+\\phi (x))^\{\\frac\{1\}\{\\phi (x)\}\} = e ~~~~~ 其中\\phi (x) \\neq 0 \\\\\\\\ & \\lim\_\{n \\to \\infty\} \\sqrt\[n\]\{n\} = 1 \\\\\\\\ & \\lim\_\{n \\to \\infty\} \\sqrt\[n\]\{a\} = 1 ~~~（常数a>0）\\\\\\\\ \\end\{aligned\} x→0\+limxαlnx=0     其中α>0x→0\+limxα(lnx)k=0     其中α>0，k>0x→\+∞limxαe−δx=0     其中α>0，δ>0x→0limxsinx=1  ⟹ϕ(x)→0limϕ(x)sinϕ(x)=1     其中ϕ(x)=0x→0lim(1\+x)x1=e  ⟹ϕ(x)→0lim(1\+ϕ(x))ϕ(x)1=e     其中ϕ(x)=0n→∞limnn=1n→∞limna=1   （常数a>0）

## 常用等价无穷小 ##

x → 0 时 ， sin ⁡ x ∼ tan ⁡ x ∼ arcsin ⁡ x ∼ arctan ⁡ x ∼ ( e x − 1 ) ∼ ln ⁡ ( 1 + x ) ∼ x    ,    1 − cos ⁡ x ∼ 1 2 x 2    , ( 1 + x ) a − 1 ∼ a x    ,    a x − 1 ∼ x ln ⁡ a     ( a > 0 , a ≠ 1 ) \\begin\{aligned\} & x \\to 0 时，\\\\\\\\ & \\sin x \\sim \\tan x \\sim \\arcsin x \\sim \\arctan x \\sim (e^x - 1) \\sim \\ln(1+x) \\sim x ~~,~~ 1- \\cos x \\sim \\frac\{1\}\{2\} x^2 ~~, \\\\ \\\\ & (1+x)^a - 1 \\sim ax ~~,~~ a^x - 1 \\sim x\\ln a ~~~(a>0,a\\neq1) \\end\{aligned\} x→0时，sinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼(ex−1)∼ln(1\+x)∼x  ,  1−cosx∼21x2  ,(1\+x)a−1∼ax  ,  ax−1∼xlna   (a>0,a=1)

## 1^∞ 型 ##

lim ⁡ u v = e lim ⁡ ( u − 1 ) v        ( 其 中 lim ⁡ u = 1 , lim ⁡ v = ∞ ， 即 1 ∞ 型 ) \\lim u^v = e^\{\\lim (u-1)v\} ~~~~~~(其中 \\lim u=1,\\lim v=\\infty，即 1^\\infty 型) limuv=elim(u−1)v      (其中limu=1,limv=∞，即1∞型)

# 导数相关公式 #

## 导数定义 ##

f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \\begin\{aligned\} & f'(x\_0) = \\lim\\limits\_\{\\Delta x \\to 0\} \\frac\{f(x\_0 + \\Delta x) - f(x\_0)\}\{\\Delta x\} \\\\ \\\\ & f'(x\_0) = \\lim\\limits\_\{x \\to x\_0\} \\frac\{f(x) - f(x\_0)\}\{x-x\_0\} \\end\{aligned\} f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0\+Δx)−f(x0)f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)

## 微分定义 ##

Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) A Δ x = f ′ ( x 0 ) Δ x \\begin\{aligned\} & \\Delta y = f(x\_0 + \\Delta x) - f(x\_0) \\\\ \\\\ & \\Delta y = A\\Delta x + o(\\Delta x) \\\\ \\\\ & A\\Delta x = f'(x\_0) \\Delta x \\end\{aligned\} Δy=f(x0\+Δx)−f(x0)Δy=AΔx\+o(Δx)AΔx=f′(x0)Δx

## 连续，可导及可微关系 ##

### 一元函数 ###

可微

连续

可导

### 多元函数 ###

一阶偏导数连续

可微

连续

可导

## 导数四则运算 ##

\[ u ( x ) ± v ( x ) \] ′ = u ′ ( x ) ± v ′ ( x ) \[ u ( x ) v ( x ) \] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) \[ u ( x ) v ( x ) w ( x ) \] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) w ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) w ( x ) + u ( x ) v ( x ) w ′ ( x ) \[ u ( x ) v ( x ) \] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) \[ v ( x ) \] 2 \\begin\{aligned\} & \[u(x) \\pm v(x)\]' = u'(x) \\pm v'(x) \\\\ \\\\ & \[u(x)v(x)\]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\\\ \\\\ & \[u(x)v(x)w(x)\]' = u'(x)v(x)w(x) + u(x)v'(x)w(x) + u(x)v(x)w'(x) \\\\ \\\\ & \\begin\{bmatrix\}\\frac\{u(x)\}\{v(x)\} \\end\{bmatrix\}' = \\frac\{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)\}\{\[v(x)\]^2\} \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} \[u(x)±v(x)\]′=u′(x)±v′(x)\[u(x)v(x)\]′=u′(x)v(x)\+u(x)v′(x)\[u(x)v(x)w(x)\]′=u′(x)v(x)w(x)\+u(x)v′(x)w(x)\+u(x)v(x)w′(x)\[v(x)u(x)\]′=\[v(x)\]2u′(x)v(x)−u(x)v′(x)

## 复合函数求导 ##

\{ f \[ g ( x ) \] \} ′ = f ′ \[ g ( x ) \] g ′ ( x ) \\\{ f\[g(x)\] \\\}' = f'\[g(x)\]g'(x) \{ f\[g(x)\]\}′=f′\[g(x)\]g′(x)

## 反函数求导 ##

y = f ( x ) , x = φ ( y )    ⟹    φ ′ ( y ) = 1 f ′ ( x ) y x ′ = d y d x = 1 d x d y = 1 x y ′ y x x ′ ′ = d 2 y d x 2 = d ( d y d x ) d x = d ( 1 x y ′ ) d x = d ( 1 x y ′ ) d y ⋅ d y d x = d ( 1 x y ′ ) d y ⋅ 1 x y ′ = − x y y ′ ′ ( x y ′ ) 3 \\begin\{aligned\} & y = f(x), x = \\varphi(y) \\implies \\varphi ' (y) = \\frac\{1\}\{f'(x)\} \\\\ \\\\ & y'\_x = \\frac\{dy\}\{dx\} = \\frac\{1\}\{\\frac\{dx\}\{dy\}\} = \\frac\{1\}\{x'\_y\} \\\\ \\\\ & y^\{''\}\_\{xx\} = \\frac\{d^2 y\}\{dx^2\} = \\frac\{d(\\frac\{dy\}\{dx\})\}\{dx\} = \\frac\{d(\\frac\{1\}\{x'\_y\})\}\{dx\} = \\frac\{d(\\frac\{1\}\{x'\_y\})\}\{dy\} \\cdot \\frac\{dy\}\{dx\} = \\frac\{d(\\frac\{1\}\{x'\_y\})\}\{dy\} \\cdot \\frac\{1\}\{x'\_y\} = \\frac\{-x^\{''\}\_\{yy\}\}\{(x'\_y)^3\} \\end\{aligned\} y=f(x),x=φ(y)⟹φ′(y)=f′(x)1yx′=dxdy=dydx1=xy′1yxx′′=dx2d2y=dxd(dxdy)=dxd(xy′1)=dyd(xy′1)⋅dxdy=dyd(xy′1)⋅xy′1=(xy′)3−xyy′′

## 参数方程求导 ##

\{ x = φ ( t ) y = ψ ( t ) d y d x = d y / d t d x / d t = ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) d 2 y d x 2 = d ( d y d x ) d x = d ( d y d x ) / d t d x / d t = ψ ′ ′ ( t ) φ ′ ( t ) − ψ ′ ( t ) φ ′ ′ ( t ) \[ φ ′ ( t ) \] 3 \\begin\{aligned\} & \\begin\{cases\} x = \\varphi (t) \\\\ y = \\psi (t) \\end\{cases\} \\\\\\\\ & \\frac\{dy\}\{dx\} = \\frac\{dy/dt\}\{dx/dt\} = \\frac\{\\psi ' (t)\}\{\\varphi ' (t)\} \\\\ \\\\ & \\frac\{d^2 y\}\{dx^2\} = \\frac\{d(\\frac\{dy\}\{dx\})\}\{dx\} = \\frac \{d(\\frac\{dy\}\{dx\})/dt\}\{dx/dt\} = \\frac\{\\psi '' (t) \\varphi '(t) - \\psi '(t) \\varphi '' (t) \}\{\[\\varphi ' (t)\]^3\} \\end\{aligned\} \{ x=φ(t)y=ψ(t)dxdy=dx/dtdy/dt=φ′(t)ψ′(t)dx2d2y=dxd(dxdy)=dx/dtd(dxdy)/dt=\[φ′(t)\]3ψ′′(t)φ′(t)−ψ′(t)φ′′(t)

## 变限积分求导公式 ##

设 F ( x ) = ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( t ) d t , 则 F ′ ( x ) = d d x \[ ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( t ) d t \] = f \[ φ 2 ( x ) \] φ 2 ′ ( x ) − f \[ φ 1 ( x ) \] φ 1 ′ ( x ) \\begin\{aligned\} & 设 F(x) = \\int ^\{\\varphi\_2(x)\}\_\{\\varphi\_1(x)\} f(t) dt, 则 \\\\ \\\\ & F'(x) = \\frac\{d\}\{dx\}\\begin\{bmatrix\}\\int ^\{\\varphi\_2(x)\}\_\{\\varphi\_1(x)\} f(t) dt \\end\{bmatrix\} = f\[\\varphi \_2(x)\]\\varphi '\_2(x) - f\[\\varphi\_1(x)\]\\varphi '\_1(x) \\end\{aligned\} 设F(x)=∫φ1(x)φ2(x)f(t)dt,则F′(x)=dxd\[∫φ1(x)φ2(x)f(t)dt\]=f\[φ2(x)\]φ2′(x)−f\[φ1(x)\]φ1′(x)

## 基本初等函数的导数公式（❤❤❤） ##

( x a ) ′ = a x a − 1       ( a 为 常 数 ) ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a ( e x ) ′ = e x ( l o g a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a       ( a > 0 , a ≠ 1 ) ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 ( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x ( cot ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ 2 x ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 ( a r c c o t   x ) ′ = − 1 1 + x 2 ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ x \[ ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) \] ′ = 1 x 2 + 1 \[ ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) \] ′ = 1 x 2 − 1 \\begin\{aligned\} & (x^a)' = a x^\{a-1\} ~~~~~(a为常数) \\\\ \\\\ & (a^x)' = a^x \\ln a \\\\ \\\\ & (e^x)' = e^x \\\\ \\\\ & (log\_a x)' = \\frac\{1\}\{x \\ln a\} ~~~~~(a>0, a \\ne 1) \\\\ \\\\ & (\\ln x)' = \\frac\{1\}\{x\} \\\\ \\\\ & (\\sin x)' = \\cos x \\\\ \\\\ & (\\cos x)' = -\\sin x \\\\ \\\\ & (\\arcsin x)' = \\frac\{1\}\{\\sqrt\{1-x^2\}\} \\\\ \\\\ & (\\arccos x)' = - \\frac\{1\}\{\\sqrt\{1-x^2\}\} \\\\ \\\\ & (\\tan x)' = \\sec ^2 x \\\\ \\\\ & (\\cot x)' = - \\csc^2 x \\\\ \\\\ & (\\arctan x)' = \\frac\{1\}\{1+x^2\} \\\\ \\\\ & (arccot ~ x)' = - \\frac\{1\}\{1+x^2\} \\\\ \\\\ & (\\sec x)' = \\sec x \\cdot \\tan x \\\\ \\\\ & (\\csc x)' = - \\csc x \\cdot \\cot x \\\\ \\\\ & \[\\ln (x+\\sqrt\{x^2+1\})\]' = \\frac\{1\}\{\\sqrt\{x^2+1\}\} \\\\ \\\\ & \[\\ln (x+\\sqrt\{x^2-1\})\]' = \\frac\{1\}\{\\sqrt\{x^2-1\}\} \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} (xa)′=axa−1     (a为常数)(ax)′=axlna(ex)′=ex(logax)′=xlna1     (a>0,a=1)(lnx)′=x1(sinx)′=cosx(cosx)′=−sinx(arcsinx)′=1−x21(arccosx)′=−1−x21(tanx)′=sec2x(cotx)′=−csc2x(arctanx)′=1\+x21(arccot x)′=−1\+x21(secx)′=secx⋅tanx(cscx)′=−cscx⋅cotx\[ln(x\+x2\+1)\]′=x2\+11\[ln(x\+x2−1)\]′=x2−11

## 高阶导数的运算 ##

\[ u ± v \] ( n ) = u ( n ) ± v ( n ) \[u \\pm v \]^\{(n)\} = u^\{(n)\} \\pm v^\{(n)\} \[u±v\](n)=u(n)±v(n)  
 ( u v ) ( n ) = u ( n ) v + C n 1 u ( n − 1 ) v ′ + C n 2 u ( n − 2 ) v ′ ′ + . . . + C n k u ( n − k ) v ( k ) + . . . + C n n − 1 u ′ v ( n − 1 ) + u v ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( n − k ) v ( k ) \\begin\{aligned\} (uv)^\{(n)\} & = u^\{(n)\}v + C\_n^1 u^\{(n-1)\}v' + C\_n^2 u^\{(n-2)\}v'' + ... + C\_n^k u^\{(n-k)\}v^\{(k)\} + ... + C\_n^\{n-1\} u'v^\{(n-1)\} + uv^\{(n)\} \\\\ & = \\displaystyle\\sum\_\{k=0\}^n C\_n^k u^\{(n-k)\}v^\{(k)\} \\end\{aligned\} (uv)(n)=u(n)v\+Cn1u(n−1)v′\+Cn2u(n−2)v′′\+...\+Cnku(n−k)v(k)\+...\+Cnn−1u′v(n−1)\+uv(n)=k=0∑nCnku(n−k)v(k)

## 常用初等函数的n阶导数公式 ##

( a x ) ( n ) = a x ( ln ⁡ a ) n ( e x ) ( n ) = e x ( sin ⁡ k x ) ( n ) = k n sin ⁡ ( k x + n ⋅ π 2 ) ( cos ⁡ k x ) ( n ) = k n cos ⁡ ( k x + n ⋅ π 2 ) ( ln ⁡ x ) ( n ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! x n       ( x > 0 ) \[ ln ⁡ ( 1 + x ) \] ( n ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! ( x + 1 ) n       ( x > − 1 ) \[ ( x + x 0 ) m \] ( n ) = m ( m − 1 ) ( m − 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( m − n + 1 ) ( x + x 0 ) m − n ( 1 x + a ) ( n ) = ( − 1 ) n ⋅ n ! ( x + a ) n + 1 \\begin\{aligned\} & (a^x)^\{(n)\} = a^x (\\ln a)^n \\\\ \\\\ & (e^x)^\{(n)\} = e^x \\\\ \\\\ & (\\sin kx)^\{(n)\} = k^n \\sin (kx + n\\cdot \\frac\{\\pi\}\{2\}) \\\\ \\\\ & (\\cos kx)^\{(n)\} = k^n \\cos (kx + n\\cdot \\frac\{\\pi\}\{2\}) \\\\ \\\\ & (\\ln x) ^ \{(n)\} = (-1)^\{n-1\} \\frac\{(n-1)!\}\{x^n\} ~~~~~(x>0) \\\\ \\\\ & \[\\ln(1+x)\]^\{(n)\} = (-1)^\{n-1\} \\frac\{(n-1)!\}\{(x+1)^n\} ~~~~~(x>-1) \\\\ \\\\ & \[(x+x\_0)^m\]^\{(n)\} = m(m-1)(m-2)\\cdotp\\cdotp\\cdotp\\cdot (m-n+1)(x+x\_0)^\{m-n\} \\\\ \\\\ & (\\frac\{1\}\{x+a\})^\{(n)\} = \\frac\{(-1)^n \\cdot n!\}\{(x+a)^\{n+1\}\} \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} (ax)(n)=ax(lna)n(ex)(n)=ex(sinkx)(n)=knsin(kx\+n⋅2π)(coskx)(n)=kncos(kx\+n⋅2π)(lnx)(n)=(−1)n−1xn(n−1)!     (x>0)\[ln(1\+x)\](n)=(−1)n−1(x\+1)n(n−1)!     (x>−1)\[(x\+x0)m\](n)=m(m−1)(m−2)⋅⋅⋅⋅(m−n\+1)(x\+x0)m−n(x\+a1)(n)=(x\+a)n\+1(−1)n⋅n!

## 极值判别条件 ##

\{ 1.    f ′ ( x ) 左 右 异 号    ⟹    \{ 左 正 右 负    ⟹    极 大 值 左 负 右 正    ⟹    极 小 值 2.    f ′ ( x ) = 0 , f ′ ′ ( x ) ≠ 0    ⟹    \{ f ′ ′ ( x ) < 0    ⟹    极 大 值 f ′ ′ ( x ) > 0    ⟹    极 小 值 3.    f ′ ′ ( x ) 到 f ( n − 1 ) ( x ) = 0 ， f ( n ) ( x ) ≠ 0 ， n 为 偶 数    ⟹    \{ f ( n ) ( x ) < 0    ⟹    极 大 值 f ( n ) ( x ) > 0    ⟹    极 小 值 \\begin\{cases\} 1.~~f'(x)左右异号 \\implies \\begin\{cases\} 左正右负 \\implies 极大值 \\\\ 左负右正 \\implies 极小值 \\end\{cases\} \\\\ \\\\ 2.~~f'(x)=0, f''(x)\\ne 0 \\implies \\begin\{cases\} f''(x) < 0 \\implies 极大值 \\\\ f''(x)>0 \\implies 极小值 \\end\{cases\} \\\\ \\\\ 3. ~~f''(x) 到 f^\{(n-1)\}(x)=0 ，f^\{(n)\}(x) \\ne 0， n为偶数 \\implies \\begin\{cases\} f^\{(n)\}(x) < 0 \\implies 极大值 \\\\ f^\{(n)\}(x) > 0 \\implies 极小值 \\end\{cases\} \\end\{cases\} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1.  f′(x)左右异号⟹\{ 左正右负⟹极大值左负右正⟹极小值2.  f′(x)=0,f′′(x)=0⟹\{ f′′(x)<0⟹极大值f′′(x)>0⟹极小值3.  f′′(x)到f(n−1)(x)=0，f(n)(x)=0，n为偶数⟹\{ f(n)(x)<0⟹极大值f(n)(x)>0⟹极小值

## 凹凸性判定 ##

1. \{ f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2    ⟹    凹 f ( x 1 + x 2 2 ) > f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2    ⟹    凸 2. \{ f ′ ′ ( x ) > 0    ⟹    凹 f ′ ′ ( x ) < 0    ⟹    凸 \\begin\{aligned\} 1.&\\begin\{cases\} f(\\frac\{x\_1+x\_2\}\{2\}) < \\frac\{f(x\_1)+f(x\_2)\}\{2\} \\implies 凹 \\\\\\\\ f(\\frac\{x\_1+x\_2\}\{2\}) > \\frac\{f(x\_1)+f(x\_2)\}\{2\} \\implies 凸 \\end\{cases\} \\\\\\\\ 2.&\\begin\{cases\} f''(x) > 0 \\implies 凹 \\\\\\\\ f''(x) < 0 \\implies 凸 \\end\{cases\} \\end\{aligned\} 1.2.⎩⎪⎨⎪⎧f(2x1\+x2)<2f(x1)\+f(x2)⟹凹f(2x1\+x2)>2f(x1)\+f(x2)⟹凸⎩⎪⎨⎪⎧f′′(x)>0⟹凹f′′(x)<0⟹凸

## 拐点判别条件 ##

\{ 1.    f ′ ′ ( x ) 左 右 异 号    ⟹    \{ 左 负 右 正    ⟹    凸 → 凹 左 正 右 负    ⟹    凹 → 凸 2.    f ′ ′ ( x ) = 0 , f ′ ′ ′ ( x ) ≠ 0    ⟹    \{ f ′ ′ ′ ( x ) < 0    ⟹    凹 → 凸 f ′ ′ ′ ( x ) > 0    ⟹    凸 → 凹 3.    f ′ ′ ( x ) 到 f ( n − 1 ) ( x ) = 0 ， f ( n ) ( x ) ≠ 0 ， n 为 奇 数    ⟹    \{ f ( n ) ( x ) < 0    ⟹    凹 → 凸 f ( n ) ( x ) > 0    ⟹    凸 → 凹 \\begin\{cases\} 1.~~f''(x)左右异号 \\implies \\begin\{cases\} 左负右正 \\implies 凸 \\to 凹 \\\\ 左正右负 \\implies 凹 \\to 凸 \\end\{cases\} \\\\ \\\\ 2.~~f''(x)=0, f'''(x)\\ne 0 \\implies \\begin\{cases\} f'''(x) < 0 \\implies 凹 \\to 凸 \\\\ f'''(x)>0 \\implies 凸 \\to 凹 \\end\{cases\} \\\\ \\\\ 3. ~~f''(x) 到 f^\{(n-1)\}(x)=0 ，f^\{(n)\}(x) \\ne 0， n为奇数 \\implies \\begin\{cases\} f^\{(n)\}(x) < 0 \\implies 凹 \\to 凸 \\\\ f^\{(n)\}(x) > 0 \\implies 凸 \\to 凹 \\end\{cases\} \\end\{cases\} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1.  f′′(x)左右异号⟹\{ 左负右正⟹凸→凹左正右负⟹凹→凸2.  f′′(x)=0,f′′′(x)=0⟹\{ f′′′(x)<0⟹凹→凸f′′′(x)>0⟹凸→凹3.  f′′(x)到f(n−1)(x)=0，f(n)(x)=0，n为奇数⟹\{ f(n)(x)<0⟹凹→凸f(n)(x)>0⟹凸→凹

## 斜渐近线 ##

lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) x = a      lim ⁡ x → + ∞ ( f ( x ) − a x ) = b    ⟹    斜 渐 近 线 为 ： y = a x + b \\lim\_\{x \\to +\\infty\} \\frac\{f(x)\}\{x\} = a ~~~~\\lim\_\{x \\to + \\infty\}(f(x)-ax) = b \\implies 斜渐近线为： y=ax+b x→\+∞limxf(x)=a    x→\+∞lim(f(x)−ax)=b⟹斜渐近线为：y=ax\+b

## 曲率 ##

密 切 圆 半 径       r = ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 ∣ y ′ ′ ∣ 曲 率       K = 1 r = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 曲 率 圆       ( X − ( x − y ′ ( 1 + y ′ 2 ) y ′ ′ 2 ) ) 2 + ( Y − ( y + 1 + y ′ 2 y ′ ′ 2 ) ) = ( ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 ∣ y ′ ′ ∣ ) 2 \\begin\{aligned\} 密切圆半径 ~~~~~ & r = \\frac\{(1+y'^2)^\{\\frac\{3\}\{2\}\}\}\{|y''|\} \\\\ \\\\ 曲率 ~~~~~ &K = \\frac\{1\}\{r\} = \\frac\{|y''|\}\{(1+y'^2)^\{\\frac\{3\}\{2\}\}\} \\\\ \\\\ 曲率圆 ~~~~~& (X-(x-\\frac\{y'(1+y'^2)\}\{y''^2\}))^2 +(Y-(y+\\frac\{1+y'^2\}\{y''^2\})) = (\\frac\{(1+y'^2)^\{\\frac\{3\}\{2\}\}\}\{|y''|\})^2 \\end\{aligned\} 密切圆半径     曲率     曲率圆     r=∣y′′∣(1\+y′2)23K=r1=(1\+y′2)23∣y′′∣(X−(x−y′′2y′(1\+y′2)))2\+(Y−(y\+y′′21\+y′2))=(∣y′′∣(1\+y′2)23)2

# 积分相关公式 #

## 定积分的精确定义 ##

∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n f ( a + b − a n i ) b − a n 常 用 ： ∫ 0 1 f ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n f ( i n ) ⋅ 1 n ∫ 0 k f ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 k n f ( i n ) ⋅ 1 n 二 重 定 积 分 精 确 定 义 ： ∬ D f ( x , y ) d σ = lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n f ( a + b − a n i , c + d − c n j ) ⋅ b − a n ⋅ d − c n 常 用 ： ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d x d y = lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n f ( i n , j n ) ⋅ 1 n 2 \\begin\{aligned\} & \\int\_a^b f(x) dx = \\lim\_\{n \\to \\infty\} \\displaystyle\\sum\_\{i=1\}^n f(a+\\frac\{b-a\}\{n\}i)\\frac\{b-a\}\{n\} \\\\ \\\\ \\\\ 常用：& \\int\_0^1 f(x) dx = \\lim\_\{n \\to \\infty\} \\displaystyle\\sum\_\{i=1\}^n f(\\frac\{i\}\{n\})\\cdot\\frac\{1\}\{n\} \\\\ \\\\ & \\int\_0^k f(x) dx = \\lim\_\{n \\to \\infty\} \\displaystyle\\sum\_\{i=1\}^\{kn\} f(\\frac\{i\}\{n\})\\cdot\\frac\{1\}\{n\} \\\\ \\\\ \\\\ 二重定积分精确定义：& \\iint\\limits\_D f(x,y) d\\sigma = \\lim\_\{n \\to \\infty\} \\displaystyle\\sum\_\{i=1\}^n \\displaystyle\\sum\_\{j=1\}^n f(a+\\frac\{b-a\}\{n\}i, c+\\frac\{d-c\}\{n\}j) \\cdot \\frac\{b-a\}\{n\} \\cdot \\frac\{d-c\}\{n\} \\\\ \\\\ \\\\ 常用：&\\int\_0^1 \\int\_0^1 f(x,y) dxdy = \\lim\_\{n \\to \\infty\} \\displaystyle\\sum\_\{i=1\}^n \\displaystyle\\sum\_\{j=1\}^n f(\\frac\{i\}\{n\}, \\frac\{j\}\{n\})\\cdot \\frac\{1\}\{n^2\} \\end\{aligned\} 常用：二重定积分精确定义：常用：∫abf(x)dx=n→∞limi=1∑nf(a\+nb−ai)nb−a∫01f(x)dx=n→∞limi=1∑nf(ni)⋅n1∫0kf(x)dx=n→∞limi=1∑knf(ni)⋅n1D∬f(x,y)dσ=n→∞limi=1∑nj=1∑nf(a\+nb−ai,c\+nd−cj)⋅nb−a⋅nd−c∫01∫01f(x,y)dxdy=n→∞limi=1∑nj=1∑nf(ni,nj)⋅n21

## 分布积分公式 ##

∫ u d v = u v − ∫ v d u ∫ u v ( n + 1 ) d x = u v ( n ) − u ′ v ( n − 1 ) + u ′ ′ v ( n − 2 ) − . . . + ( − 1 ) n u ( n ) v + ( − 1 ) n + 1 ∫ u ( n + 1 ) v d x \\begin\{aligned\} & \\int u dv = uv - \\int vdu \\\\ & \\int uv^\{(n+1)\}dx = uv^\{(n)\} - u'v^\{(n-1)\} + u''v^\{(n-2)\} - ... + (-1)^nu^\{(n)\}v + (-1)^\{n+1\}\\int u^\{(n+1)\}vdx \\end\{aligned\} ∫udv=uv−∫vdu∫uv(n\+1)dx=uv(n)−u′v(n−1)\+u′′v(n−2)−...\+(−1)nu(n)v\+(−1)n\+1∫u(n\+1)vdx

## 分部积分表格法 ##

∫ f ( x ) g ( x ) d x \\int f(x) g(x) dx\\\\\\\\\\\\ ∫f(x)g(x)dx

f ( x ) f ′ ( x ) f ′ ′ ( x ) ⋯ f ( n ) ( x ) g ( x ) g 1 ( x ) g 2 ( x ) ⋯ g n ( x ) \\def\\arraystretch\{2\} \\begin\{array\}\{c:c:c:c:c\} f(x) & f'(x) & f''(x) & \\cdots & f^\{(n)\}(x) \\\\ \\hline g(x) & g\_1(x) & g\_2(x) & \\cdots & g\_n(x) \\\\ \\end\{array\} f(x)g(x)f′(x)g1(x)f′′(x)g2(x)⋯⋯f(n)(x)gn(x)

∫ f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) g 1 ( x ) − f ′ ( x ) g 2 ( x ) + f ′ ′ ( x ) g 3 ( x ) − ⋯ ± ∫ f ( n ) ( x ) g n ( x ) d x 其 中 g 1 ( x ) 代 表 g ( x ) 的 积 分 ， 依 次 类 推 。 公 式 为 斜 对 角 线 加 减 交 替 。 \\int f(x) g(x) dx = f(x)g\_1(x) - f'(x)g\_2(x) + f''(x)g\_3(x) - \\cdots \\pm \\int f^\{(n)\}(x) g\_n(x) dx \\\\ \\\\ 其中 g\_1(x) 代表g(x)的积分，依次类推。公式为斜对角线加减交替。 ∫f(x)g(x)dx=f(x)g1(x)−f′(x)g2(x)\+f′′(x)g3(x)−⋯±∫f(n)(x)gn(x)dx其中g1(x)代表g(x)的积分，依次类推。公式为斜对角线加减交替。

## 区间再现公式 ##

∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( a + b − x ) d x \\int\_a^b f(x) dx = \\int\_a^b f(a+b-x) dx ∫abf(x)dx=∫abf(a\+b−x)dx

## 华里士公式 ##

∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x = ∫ 0 π 2 cos ⁡ n x d x = \{ n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 ⋅ π 2       n 为 正 偶 数 n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 3       n 为 大 于 1 的 奇 数 \\int\_0^\\frac\{\\pi\}\{2\} \\sin ^n x dx = \\int\_0^\\frac\{\\pi\}\{2\} \\cos ^n x dx = \\begin\{cases\} \\frac\{n-1\}\{n\} \\cdot \\frac\{n-3\}\{n-2\} \\cdot\\cdot\\cdot\\cdot\\cdot \\frac\{1\}\{2\} \\cdot \\frac\{\\pi\}\{2\} ~~~~~ n 为正偶数 \\\\ \\frac\{n-1\}\{n\} \\cdot \\frac\{n-3\}\{n-2\} \\cdot\\cdot\\cdot\\cdot\\cdot \\frac\{2\}\{3\} ~~~~~ n 为大于1的奇数 \\\\ \\end\{cases\} ∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx=\{ nn−1⋅n−2n−3⋅⋅⋅⋅⋅21⋅2π     n为正偶数nn−1⋅n−2n−3⋅⋅⋅⋅⋅32     n为大于1的奇数

## 敛散性判别公式 ##

∫ 1 + ∞ 1 x p d x    ⟹    \{ p > 1    ⟹    收 敛 p ≤ 1    ⟹    发 散 ∫ 0 1 1 x p d x    ⟹    \{ p < 1    ⟹    收 敛 p ≥ 1    ⟹    发 散 \\begin\{aligned\} & \\int\_1^\{+\\infty\} \\frac\{1\}\{x^p\} dx \\implies & \\begin\{cases\} p>1 \\implies 收敛 \\\\ p \\le 1 \\implies 发散 \\end\{cases\} \\\\\\\\ & \\int\_0^1 \\frac\{1\}\{x^p\} dx \\implies & \\begin\{cases\} p < 1 \\implies 收敛 \\\\ p \\ge 1 \\implies 发散 \\end\{cases\} \\\\\\\\ \\end\{aligned\} ∫1\+∞xp1dx⟹∫01xp1dx⟹\{ p>1⟹收敛p≤1⟹发散\{ p<1⟹收敛p≥1⟹发散

## 基本积分公式 ##

以 下 公 式 中 ， α 与 a 均 为 常 数 ， 除 声 明 者 外 ， a > 0 ∫ x α d x = 1 α + 1 x α + 1 + C       ( α ≠ − 1 ) ∫ 1 x d x = ln ⁡ ∣ x ∣ + C ∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C       ( a > 0 , a ≠ 1 ) ∫ e x d x = e x + C ∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C ∫ tan ⁡ x d x = − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C ∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ + C ∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C ∫ csc ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ + C ∫ sec ⁡ 2 x d x = tan ⁡ x + C ∫ csc ⁡ 2 x d x = − cot ⁡ x + C ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C ∫ 1 a 2 − x 2 d x = 1 2 a ln ⁡ ∣ a + x a − x ∣ + C ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin ⁡ x a + C ∫ 1 x 2 ± a 2 d x = ln ⁡ ∣ x + x 2 ± a 2 ∣ + C \\begin\{aligned\} & 以下公式中，\\alpha 与 a 均为常数，除声明者外，a>0 \\\\ \\\\ & \\int x^\\alpha dx = \\frac\{1\}\{\\alpha +1\} x^\{\\alpha + 1\} + C ~~~~~(\\alpha \\ne -1) \\\\ \\\\ & \\int \\frac\{1\}\{x\} dx = \\ln |x| + C \\\\ \\\\ & \\int a^x dx = \\frac\{a^x\}\{\\ln a\} + C ~~~~~(a >0 , a\\ne 1) \\\\ \\\\ & \\int e^x dx = e^x + C \\\\ \\\\ & \\int \\sin x dx = -\\cos x + C \\\\ \\\\ & \\int \\cos x dx = \\sin x +C \\\\ \\\\ & \\int \\tan x dx = - \\ln |\\cos x| + C \\\\ \\\\ & \\int \\cot xdx = \\ln |\\sin x| + C \\\\ \\\\ & \\int \\sec x dx = \\ln |\\sec x + \\tan x| + C \\\\ \\\\ & \\int \\csc x dx = \\ln |\\csc x - \\cot x| + C \\\\ \\\\ & \\int \\sec ^2 x dx = \\tan x + C \\\\ \\\\ & \\int \\csc^2x dx = - \\cot x + C \\\\ \\\\ & \\int \\frac\{1\}\{a^2 + x^2\} dx = \\frac\{1\}\{a\} \\arctan \\frac\{x\}\{a\} + C \\\\ \\\\ & \\int \\frac\{1\}\{a^2-x^2\} dx = \\frac\{1\}\{2a\} \\ln |\\frac\{a+x\}\{a-x\}| + C \\\\ \\\\ & \\int \\frac\{1\}\{\\sqrt\{a^2-x^2\}\} dx = \\arcsin \\frac\{x\}\{a\} + C \\\\ \\\\ & \\int \\frac\{1\}\{\\sqrt\{x^2 \\pm a^2\}\} dx = \\ln |x+\\sqrt\{x^2 \\pm a^2\}| + C \\end\{aligned\} 以下公式中，α与a均为常数，除声明者外，a>0∫xαdx=α\+11xα\+1\+C     (α=−1)∫x1dx=ln∣x∣\+C∫axdx=lnaax\+C     (a>0,a=1)∫exdx=ex\+C∫sinxdx=−cosx\+C∫cosxdx=sinx\+C∫tanxdx=−ln∣cosx∣\+C∫cotxdx=ln∣sinx∣\+C∫secxdx=ln∣secx\+tanx∣\+C∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣\+C∫sec2xdx=tanx\+C∫csc2xdx=−cotx\+C∫a2\+x21dx=a1arctanax\+C∫a2−x21dx=2a1ln∣a−xa\+x∣\+C∫a2−x21dx=arcsinax\+C∫x2±a21dx=ln∣x\+x2±a2∣\+C

## 重要积分公式 ##

∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x = π ∫ 0 + ∞ x n e − x d x = n ! ∫ − a a f ( x ) d x = ∫ 0 a \[ f ( x ) + f ( − x ) \] d x ∫ 0 π x f ( sin ⁡ x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin ⁡ x ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x ) d x ∫ a b f ( x ) d x = ( b − a ) ∫ 0 1 f \[ a + ( b − a ) x \] d x \\begin\{aligned\} & \\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\} e^\{-x^2\} dx = 2\\int\_\{0\}^\{+\\infty\} e^\{-x^2\} dx = \\sqrt\{\\pi\} \\\\ \\\\ & \\int\_\{0\}^\{+\\infty\} x^n e^\{-x\} dx = n! \\\\ \\\\ & \\int\_\{-a\}^\{a\} f(x) dx = \\int\_0^a \[f(x)+f(-x)\]dx \\\\ \\\\ & \\int\_0^\\pi xf(\\sin x) dx = \\frac\{\\pi\}\{2\} \\int\_0^\\pi f(\\sin x)dx = \\pi \\int\_0^\{\\frac\{\\pi\}\{2\}\} f(\\sin x) dx \\\\ \\\\ & \\int\_a^b f(x) dx = (b-a) \\int\_0^1 f\[a+(b-a)x\] dx \\end\{aligned\} ∫−∞\+∞e−x2dx=2∫0\+∞e−x2dx=π∫0\+∞xne−xdx=n!∫−aaf(x)dx=∫0a\[f(x)\+f(−x)\]dx∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx=π∫02πf(sinx)dx∫abf(x)dx=(b−a)∫01f\[a\+(b−a)x\]dx

# 有理函数的拆分 #

P n ( x ) ( a 1 x + b 1 ) ( a 2 x + b 2 ) ( a 3 x + b 3 ) = A 1 a 1 x + b 1 + A 2 a 2 x + b 2 + A 3 a 2 x + b 2 P n ( x ) Q m ( x ) ( a x + b ) 3 = A ( x ) Q m ( x ) + A 1 ( a x + b ) 3 + A 2 ( a x + b ) 2 + A 3 ( a x + b ) P n ( x ) Q m ( x ) ( a x 2 + b x + c ) 3 = A ( x ) Q m ( x ) + A 1 x + B 1 ( a x 2 + b x + c ) 3 + A 2 x + B 2 ( a x 2 + b x + c ) 2 + A 3 x + B 3 ( a x 2 + b x + c ) \\begin\{aligned\} & \\frac\{P\_n(x)\}\{(a\_1 x+b\_1)(a\_2 x+b\_2)(a\_3 x+b\_3)\} = \\frac\{A\_1\}\{a\_1 x+b\_1\}+\\frac\{A\_2\}\{a\_2 x+b\_2\}+\\frac\{A\_3\}\{a\_2 x+b\_2\} \\\\ \\\\ & \\frac\{P\_n(x)\}\{Q\_m(x)(ax+b)^3\} = \\frac\{A(x)\}\{Q\_m(x)\} + \\frac\{A\_1\}\{(ax+b)^3\} + \\frac\{A\_2\}\{(ax+b)^2\} + \\frac\{A\_3\}\{(ax+b)\} \\\\ \\\\ & \\frac\{P\_n(x)\}\{Q\_m(x)(ax^2+bx+c)^3\} = \\frac\{A(x)\}\{Q\_m(x)\} + \\frac\{A\_1x+B\_1\}\{(ax^2+bx+c)^3\} + \\frac\{A\_2x+B\_2\}\{(ax^2+bx+c)^2\} + \\frac\{A\_3x+B\_3\}\{(ax^2+bx+c)\} \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} (a1x\+b1)(a2x\+b2)(a3x\+b3)Pn(x)=a1x\+b1A1\+a2x\+b2A2\+a2x\+b2A3Qm(x)(ax\+b)3Pn(x)=Qm(x)A(x)\+(ax\+b)3A1\+(ax\+b)2A2\+(ax\+b)A3Qm(x)(ax2\+bx\+c)3Pn(x)=Qm(x)A(x)\+(ax2\+bx\+c)3A1x\+B1\+(ax2\+bx\+c)2A2x\+B2\+(ax2\+bx\+c)A3x\+B3

## 积分求平均值 ##

f ( x ) 在 \[ a , b \] 上 的 平 均 值 为 ： ∫ a b f ( x ) d x b − a f(x) 在\[a,b\]上的平均值为： \\frac\{\\int\_a^b f(x) dx\}\{b-a\} f(x)在\[a,b\]上的平均值为：b−a∫abf(x)dx

## 定积分应用 ##

### 定积分求平面图形面积 ###

y = y 1 ( x ) 与 y = y 2 ( x ) ， 及 x = a ， x = b （ a < b ） 所 围 成 的 平 面 图 形 面 积 ： S = ∫ a b ∣ y 1 ( x ) − y 2 ( x ) ∣ d x 曲 线 r = r 1 ( θ ) 与 r = r 2 ( θ ) 与 两 射 线 θ = α 与 θ = β （ 0 < β − α ≤ 2 π ） 所 围 成 的 曲 边 扇 形 的 面 积 ： S = 1 2 ∫ α β ∣ r 1 2 ( θ ) − r 2 2 ( θ ) ∣ d θ \\begin\{aligned\} & y=y\_1(x) 与 y=y\_2(x)，及x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形面积：\\\\ \\\\ & S= \\int\_a^b |y\_1(x)-y\_2(x)|dx \\\\ \\\\ \\\\ & 曲线 r=r\_1(\\theta) 与 r=r\_2(\\theta) 与 两射线 \\theta = \\alpha 与 \\theta = \\beta （0<\\beta - \\alpha \\le 2\\pi）所围成的曲边扇形的面积：\\\\ \\\\ & S = \\frac\{1\}\{2\}\\int\_\\alpha^\\beta |\{r\_1\}^2(\\theta) - \{r\_2\}^2(\\theta)|d\\theta \\end\{aligned\} y=y1(x)与y=y2(x)，及x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形面积：S=∫ab∣y1(x)−y2(x)∣dx曲线r=r1(θ)与r=r2(θ)与两射线θ=α与θ=β（0<β−α≤2π）所围成的曲边扇形的面积：S=21∫αβ∣r12(θ)−r22(θ)∣dθ

### 定积分求旋转体的体积 ###

曲 线 y = y ( x ) 与 x = a ， x = b ( a < b ) 及 x 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 旋 转 体 的 体 积 V = π ∫ a b y 2 ( x ) d x 曲 线 y = y 1 ( x ) ≥ 0 与 y = y 2 ( x ) ≥ 0 及 x = a ， x = b （ a < b ） 所 围 成 的 平 面 图 形 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 的 到 的 旋 转 体 的 体 积 V = π ∫ a b ∣ y 1 2 ( x ) − y 2 2 ( x ) ∣ d x 曲 线 y = y ( x ) 与 x = a , x = b （ 0 ≤ a < b ） 及 x 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 的 旋 转 体 的 体 积 V y = 2 π ∫ a b x ∣ y ( x ) ∣ d x 曲 线 y = y 1 ( x ) 与 y = y 2 ( x ) 及 x = a ， x = b （ 0 ≤ a ≤ b ） 所 围 成 的 圆 形 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 成 的 旋 转 体 的 体 积 V = 2 π ∫ a b x ∣ y 1 ( x ) − y 2 ( x ) ∣ d x \\begin\{aligned\} & 曲线 y=y(x)与x=a，x=b(a<b)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积 \\\\ \\\\ & V = \\pi\\int\_a^b y^2(x) dx \\\\ \\\\ \\\\ & 曲线y=y\_1(x) \\ge 0 与 y = y\_2(x) \\ge 0 及 x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所的到的旋转体的体积 \\\\ \\\\ & V = \\pi \\int\_a^b |\{y\_1\}^2(x) - \{y\_2\}^2(x)| dx \\\\ \\\\ \\\\ & 曲线 y=y(x) 与 x=a,x=b（0\\le a < b） 及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的的旋转体的体积 \\\\ \\\\ & V\_y = 2\\pi \\int\_a^b x|y(x)|dx \\\\ \\\\ \\\\ & 曲线y=y\_1(x)与y=y\_2(x)及x=a，x=b（0\\le a \\le b）所围成的圆形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积 \\\\\\\\ & V= 2\\pi \\int\_a^b x |\{y\_1\}(x) - \{y\_2\}(x)| dx \\end\{aligned\} 曲线y=y(x)与x=a，x=b(a<b)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=π∫aby2(x)dx曲线y=y1(x)≥0与y=y2(x)≥0及x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所的到的旋转体的体积V=π∫ab∣y12(x)−y22(x)∣dx曲线y=y(x)与x=a,x=b（0≤a<b）及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的的旋转体的体积Vy=2π∫abx∣y(x)∣dx曲线y=y1(x)与y=y2(x)及x=a，x=b（0≤a≤b）所围成的圆形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V=2π∫abx∣y1(x)−y2(x)∣dx

### 平面曲线的弧长 ###

L = ∫ a b 1 + \[ y ′ ( x ) \] 2 d x L = ∫ α β \[ x ′ ( t ) \] 2 + \[ y ′ ( t ) \] 2 d t L = ∫ α β \[ r ( θ ) \] 2 + \[ r ′ ( θ ) \] 2 d θ \\begin\{aligned\} & L = \\int\_a^b \\sqrt\{1+\[y'(x)\]^2\}dx \\\\ \\\\ & L = \\int\_\\alpha^\\beta \\sqrt\{\[x'(t)\]^2 + \[y'(t)\]^2\}dt \\\\ \\\\ & L = \\int\_\\alpha^\\beta \\sqrt\{\[r(\\theta)\]^2+\[r'(\\theta)\]^2\}d\\theta \\end\{aligned\} L=∫ab1\+\[y′(x)\]2dxL=∫αβ\[x′(t)\]2\+\[y′(t)\]2dtL=∫αβ\[r(θ)\]2\+\[r′(θ)\]2dθ

### 旋转曲面的面积 ###

曲 线 y = y ( x ) 在 区 间 \[ a , b \] 上 的 曲 线 弧 段 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 旋 转 曲 面 的 “ 面 积 ” S = 2 π ∫ a b ∣ y ( x ) ∣ 1 + \[ y ′ ( x ) \] 2 d x S = 2 π ∫ a b ∣ y ( t ) ∣ \[ x ′ ( t ) \] 2 + \[ y ′ ( t ) \] 2 d t S = 2 π ∫ α β r sin ⁡ θ r 2 + ( r ′ ) 2 d θ \\begin\{aligned\} & 曲线y=y(x)在区间\[a,b\]上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的“面积” \\\\\\\\ & S = 2\\pi \\int\_a^b |y(x)| \\sqrt\{1+\[y'(x)\]^2\}dx \\\\ \\\\ & S = 2\\pi \\int\_a^b |y(t)| \\sqrt\{\[x'(t)\]^2 + \[y'(t)\]^2\} dt \\\\ \\\\ & S = 2\\pi \\int\_\\alpha^\\beta r\\sin \\theta \\sqrt\{r^2 + (r')^2\} d\\theta \\end\{aligned\} 曲线y=y(x)在区间\[a,b\]上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的“面积”S=2π∫ab∣y(x)∣1\+\[y′(x)\]2dxS=2π∫ab∣y(t)∣\[x′(t)\]2\+\[y′(t)\]2dtS=2π∫αβrsinθr2\+(r′)2dθ

### 平面截面面积为已知的立体体积 ###

在 区 间 \[ a , b \] 上 ， 垂 直 于 x 轴 的 平 面 截 立 体 Ω 所 得 到 截 面 面 积 为 x 的 连 续 函 数 A ( x ) ， 则 Ω 的 体 积 为 V = ∫ a b A ( x ) d x \\begin\{aligned\} & 在区间\[a,b\]上，垂直于x轴的平面截立体\\Omega所得到截面面积为x的连续函数A(x)，则\\Omega的体积为 \\\\ \\\\ & V = \\int\_a^b A(x)dx \\end\{aligned\} 在区间\[a,b\]上，垂直于x轴的平面截立体Ω所得到截面面积为x的连续函数A(x)，则Ω的体积为V=∫abA(x)dx

### 变力沿直线做功 ###

设 力 函 数 为 F ( x ) （ a ≤ x ≤ b ） ， 则 物 体 沿 x 轴 从 点 a 移 动 到 点 b 时 ， 变 力 F ( x ) 所 做 的 功 为 W = ∫ a b F ( x ) d x \\begin\{aligned\} & 设力函数为F(x) （a\\le x \\le b），则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力F(x)所做的功为 \\\\\\\\ & W = \\int\_a^bF(x)dx \\end\{aligned\} 设力函数为F(x)（a≤x≤b），则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力F(x)所做的功为W=∫abF(x)dx

### 抽水做功 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9ob25nZmVpXzM1OA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

W = ρ g ∫ a b x A ( x ) d x       （ ρ 为 水 的 密 度 ， g 为 重 力 加 速 度 ， A ( x ) 为 水 平 截 面 面 积 ） \\begin\{aligned\} & W = \\rho g \\int\_a^b xA(x)dx ~~~~~\\\\\\\\ &（\\rho为水的密度，g为重力加速度，A(x)为水平截面面积） \\end\{aligned\} W=ρg∫abxA(x)dx     （ρ为水的密度，g为重力加速度，A(x)为水平截面面积）

### 水压力 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9ob25nZmVpXzM1OA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

P = ρ g ∫ a b x \[ f ( x ) − h ( x ) \] d x       （ ρ 为 水 的 密 度 ， g 为 重 力 加 速 度 ， f ( x ) − h ( x ) 是 矩 形 条 的 宽 度 ， d x 是 矩 形 条 的 高 度 ） \\begin\{aligned\} & P = \\rho g \\int\_a^b x\[f(x)-h(x)\]dx ~~~~~\\\\\\\\ &（\\rho为水的密度，g为重力加速度，f(x)-h(x)是矩形条的宽度，dx是矩形条的高度） \\end\{aligned\} P=ρg∫abx\[f(x)−h(x)\]dx     （ρ为水的密度，g为重力加速度，f(x)−h(x)是矩形条的宽度，dx是矩形条的高度）

### 质心 ###

#### 直线段的质心（一维） ####

x ˉ = ∫ a b x ρ ( x ) d x ∫ a b ρ ( x ) d x ρ ( x ) 为 不 均 匀 物 体 的 密 度 与 x 的 函 数 关 系 \\begin\{aligned\} & \\bar\{x\} = \\frac\{\\int\_a^b x \\rho(x)dx\}\{\\int\_a^b \\rho(x)dx\} \\\\\\\\ & \\rho(x) 为不均匀物体的密度与x的函数关系 \\end\{aligned\} xˉ=∫abρ(x)dx∫abxρ(x)dxρ(x)为不均匀物体的密度与x的函数关系

#### 不均匀薄片质心（二维） ####

x ˉ = M y M = ∬ D x ρ ( x , y ) d x d y ∬ D ρ ( x , y ) d x d y y ˉ = M x M = ∬ D y ρ ( x , y ) d x d y ∬ D ρ ( x , y ) d x d y ρ ( x , y ) 为 不 均 匀 物 体 的 密 度 与 x , y 的 函 数 关 系 \\begin\{aligned\} & \\bar\{x\} = \\frac\{M\_y\}\{M\} = \\frac\{\\iint\\limits\_D x \\rho(x,y)dxdy\}\{\\iint\\limits\_D \\rho(x,y) dxdy\} \\\\\\\\ & \\bar\{y\} = \\frac\{M\_x\}\{M\} = \\frac\{\\iint\\limits\_D y \\rho(x,y)dxdy\}\{\\iint\\limits\_D \\rho(x,y) dxdy\} \\\\\\\\ & \\rho(x,y) 为不均匀物体的密度与x,y的函数关系 \\end\{aligned\} xˉ=MMy=D∬ρ(x,y)dxdyD∬xρ(x,y)dxdyyˉ=MMx=D∬ρ(x,y)dxdyD∬yρ(x,y)dxdyρ(x,y)为不均匀物体的密度与x,y的函数关系

### 形心 ###

x ˉ = M y M = ∬ D x d x d y ∬ D d x d y y ˉ = M x M = ∬ D y d x d y ∬ D d x d y 质 量 均 匀 的 情 况 下 ， 质 心 与 形 心 重 合 ， 即 舍 去 密 度 ρ ( x , y ) \\begin\{aligned\} & \\bar\{x\} = \\frac\{M\_y\}\{M\} = \\frac\{\\iint\\limits\_D x dxdy\}\{\\iint\\limits\_D dxdy\} \\\\\\\\ & \\bar\{y\} = \\frac\{M\_x\}\{M\} = \\frac\{\\iint\\limits\_D y dxdy\}\{\\iint\\limits\_D dxdy\} \\\\\\\\ & 质量均匀的情况下，质心与形心重合，即舍去密度\\rho(x,y) \\end\{aligned\} xˉ=MMy=D∬dxdyD∬xdxdyyˉ=MMx=D∬dxdyD∬ydxdy质量均匀的情况下，质心与形心重合，即舍去密度ρ(x,y)

### 质量 ###

m = ∬ D ρ ( x , y ) d x d y m = \\iint\\limits\_D \\rho (x,y)dxdy m=D∬ρ(x,y)dxdy

### 转动惯量 ###

I x = ∬ D y 2 ρ ( x , y ) d x d y I y = ∬ D x 2 ρ ( x , y ) d x d y \\begin\{aligned\} & I\_x = \\iint\\limits\_D y^2 \\rho(x,y)dxdy \\\\\\\\ & I\_y = \\iint\\limits\_D x^2 \\rho(x,y)dxdy \\\\\\\\ \\end\{aligned\} Ix=D∬y2ρ(x,y)dxdyIy=D∬x2ρ(x,y)dxdy

### 物理公式 ###

浮 力 公 式 ：     F 浮 = ρ 液 g V 排 压 强 ：     P = F S         ( F 为 压 力 ， S 为 受 力 面 积 ) 压 强 与 气 体 体 积 成 反 比 ：     P V = k       ( k = n R T ， n 是 分 子 个 数 ， R 为 常 数 ， T 为 温 度 ) 水 深 h 处 的 压 强 ：     P = ρ g h 在 水 中 的 压 力 ：     F 压 = P 压 S 受 压 面 积 = ρ g h S 受 压 面 积 力 ：     F = G 重 力 = m g 重 力 加 速 度 做 功 ：     W 功 = F 力 S 距 离 = m g h 高 度 = ρ g h V = ρ g s h 2 密 度 公 式 ：     ρ = m V 引 力 ：     F = G m 1 m 2 r 2         ( 质 量 为 m 1 , m 2 相 距 为 r 的 两 质 点 间 的 引 力 大 小 ) \\begin\{aligned\} 浮力公式：~~~ & F\_\{浮\} = \\rho\_\{\_液\}gV\_\{\_排\} \\\\\\\\ 压强：~~~& P = \\frac\{F\}\{S\} ~~~~~~~(F为压力，S为受力面积)\\\\\\\\ 压强与气体体积成反比：~~~& PV=k ~~~~~(k=nRT，n是分子个数，R为常数，T为温度) \\\\\\\\ 水深h处的压强：~~~& P=\\rho gh \\\\\\\\ 在水中的压力：~~~& F\_\{\_压\} = P\_\{\_压\}S\_\{\_\{受压面积\}\} = \\rho g h S\_\{\_\{受压面积\}\} \\\\ \\\\ 力：~~~& F = G\_\{\_\{重力\}\} = mg\_\{\_\{重力加速度\}\} \\\\ \\\\ 做功：~~~& W\_功 = F\_\{\_力\} S\_\{\_\{距离\}\} = mgh\_\{\_\{高度\}\} = \\rho g h V =\\rho g s h^2 \\\\ \\\\ 密度公式：~~~& \\rho = \\frac\{m\}\{V\} \\\\\\\\ 引力：~~~ & F = G \\frac\{m\_1 m\_2\}\{r^2\} ~~~~~~~(质量为m\_1,m\_2相距为r的两质点间的引力大小) \\end\{aligned\} 浮力公式：   压强：   压强与气体体积成反比：   水深h处的压强：   在水中的压力：   力：   做功：   密度公式：   引力：   F浮=ρ液gV排P=SF       (F为压力，S为受力面积)PV=k     (k=nRT，n是分子个数，R为常数，T为温度)P=ρghF压=P压S受压面积=ρghS受压面积F=G重力=mg重力加速度W功=F力S距离=mgh高度=ρghV=ρgsh2ρ=VmF=Gr2m1m2       (质量为m1,m2相距为r的两质点间的引力大小)

# 泰勒公式 #

f ( x ) = f ( a ) 0 ! + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + . . . + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R n ( x ) = lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 0 n f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n \\begin\{aligned\} f(x) & = \\frac\{f(a)\}\{0!\} + \\frac\{f'(a)\}\{1!\} (x-a) + \\frac\{f''(a)\}\{2!\} (x-a)^2 + ... + \\frac\{f^\{(n)\}(a)\}\{n!\} (x-a)^n + R\_n(x) \\\\ \\\\ & = \\lim\_\{n \\to \\infty\} \\displaystyle\\sum\_\{i=0\}^n \\frac\{f^\{(n)\}(a)\}\{n!\} (x-a)^n \\end\{aligned\} f(x)=0!f(a)\+1!f′(a)(x−a)\+2!f′′(a)(x−a)2\+...\+n!f(n)(a)(x−a)n\+Rn(x)=n→∞limi=0∑nn!f(n)(a)(x−a)n

## 拉格朗日余项的泰勒公式 ##

f ( x ) = f ( a ) 0 ! + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + . . . + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1       其 中 ξ 介 于 x , a 之 间 . f(x) = \\frac\{f(a)\}\{0!\} + \\frac\{f'(a)\}\{1!\} (x-a) + \\frac\{f''(a)\}\{2!\} (x-a)^2 + ... + \\frac\{f^\{(n)\}(a)\}\{n!\} (x-a)^n + \\frac\{f^\{(n+1)\}(\\xi)\}\{(n+1)!\}(x-a)^\{n+1\} ~~~~~其中\\xi 介于x,a之间. f(x)=0!f(a)\+1!f′(a)(x−a)\+2!f′′(a)(x−a)2\+...\+n!f(n)(a)(x−a)n\+(n\+1)!f(n\+1)(ξ)(x−a)n\+1     其中ξ介于x,a之间.

## 佩亚诺余项的泰勒公式 ##

f ( x ) = f ( a ) 0 ! + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + . . . + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + o ( ( x − a ) n ) f(x) = \\frac\{f(a)\}\{0!\} + \\frac\{f'(a)\}\{1!\} (x-a) + \\frac\{f''(a)\}\{2!\} (x-a)^2 + ... + \\frac\{f^\{(n)\}(a)\}\{n!\} (x-a)^n + o((x-a)^n) f(x)=0!f(a)\+1!f′(a)(x−a)\+2!f′′(a)(x−a)2\+...\+n!f(n)(a)(x−a)n\+o((x−a)n)

## 常用的泰勒展开式 ##

sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + o ( x 3 ) cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! + o ( x 4 ) arcsin ⁡ x = x + x 3 3 ! + o ( x 3 ) tan ⁡ x = x + x 3 3 + o ( x 3 ) arctan ⁡ x = x − x 3 3 + x 5 5 + o ( x 5 ) ( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + o ( x 2 ) 1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + o ( x 3 ) 1 1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + o ( x 3 ) ln ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + o ( x 4 ) 1 1 + x 2 = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + o ( x 6 ) e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + o ( x 3 ) \\begin\{aligned\} & \\\\ & \\sin x = x - \\frac\{x^3\}\{3!\} + o(x^3) \\\\ \\\\ & \\cos x = 1 - \\frac\{x^2\}\{2!\} + \\frac\{x^4\}\{4!\} + o(x^4) \\\\ \\\\ & \\arcsin x = x + \\frac\{x^3\}\{3!\} + o(x^3) \\\\ \\\\ \\\\ & \\tan x = x + \\frac\{x^3\}\{3\} + o (x^3) \\\\ \\\\ & \\arctan x = x - \\frac\{x^3\}\{3\} + \\frac\{x^5\}\{5\} + o(x^5) \\\\ \\\\ \\\\ & (1+x)^\\alpha = 1 + \\alpha x + \\frac\{\\alpha (\\alpha - 1)\}\{2!\} x^2 + o(x^2) \\\\ \\\\ & \\frac\{1\}\{1-x\} = 1 + x + x^2 + x^3 + o(x^3) \\\\ \\\\ & \\frac\{1\}\{1+x\} = 1 - x + x^2 - x^3 + o(x^3) \\\\ \\\\ & \\ln (1+x) = x - \\frac\{x^2\}\{2\} + \\frac\{x^3\}\{3\} - \\frac\{x^4\}\{4\} + o(x^4) \\\\ \\\\ & \\frac\{1\}\{1+x^2\} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + o(x^6) \\\\ \\\\ & e^x = 1 + x + \\frac\{x^2\}\{2!\} + \\frac\{x^3\}\{3!\} + o(x^3) \\end\{aligned\} sinx=x−3!x3\+o(x3)cosx=1−2!x2\+4!x4\+o(x4)arcsinx=x\+3!x3\+o(x3)tanx=x\+3x3\+o(x3)arctanx=x−3x3\+5x5\+o(x5)(1\+x)α=1\+αx\+2!α(α−1)x2\+o(x2)1−x1=1\+x\+x2\+x3\+o(x3)1\+x1=1−x\+x2−x3\+o(x3)ln(1\+x)=x−2x2\+3x3−4x4\+o(x4)1\+x21=1−x2\+x4−x6\+o(x6)ex=1\+x\+2!x2\+3!x3\+o(x3)

口诀：指对连，三角断，三角对数隔一换，三角指数有感叹，反三角它同又乱  
指对连：指数函数、对数函数，都是12345连续的  
三角断：三角函数的展开式是135,246这样不连续的  
三角对数隔一换：三角函数和对数函数的符号隔一个换一次  
三角指数有感叹：三角函数和指数函数中分母有阶层（感叹号）  
反三角它同又乱：反三角函数的和三角函数第一项相同，第二项为相反数

# 中值定理 #

## 罗尔定理 ##

设 f ( x ) 满 足 \{ （ 1 ） \[ a , b \] 上 连 续 （ 2 ） ( a , b ) 内 可 导 （ 3 ） f ( a ) = f ( b )    ⟹    则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) ， 使 得 f ′ ( ξ ) = 0 设f(x)满足 \\begin\{cases\} （1）\[a,b\]上连续 \\\\ （2）(a,b) 内可导 \\\\ （3）f(a) = f(b) \\end\{cases\} \\implies则\\exists \\xi \\in (a,b)，使得 f'(\\xi)=0 设f(x)满足⎩⎪⎨⎪⎧（1）\[a,b\]上连续（2）(a,b)内可导（3）f(a)=f(b)⟹则∃ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0

## 罗尔定理推论 ##

若 f ( n ) ( x ) = 0 至 多 k 个 根    ⟹    则 f ( n − 1 ) ( x ) = 0 至 多 k + 1 个 根 若 f^\{(n)\}(x)=0 至多k个根 \\implies 则 f^\{(n-1)\}(x)=0至多k+1个根 若f(n)(x)=0至多k个根⟹则f(n−1)(x)=0至多k\+1个根

## 罗尔定理证明题辅助函数构造 ##

f ′ ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) = 0    ⟹    F ( x ) = f ′ ( x ) e ∫ g ( x ) d x f ( x ) + g ( x ) ∫ 0 x f ( t ) d t = 0    ⟹    F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t ⋅ e ∫ g ( x ) d x f ′ ( x ) + g ( x ) \[ f ( x ) − 1 \] = 0    ⟹    F ( x ) = \[ f ( x ) − 1 \] ⋅ e ∫ g ( x ) d x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ \\begin\{aligned\} & f''(x) + g(x)f'(x) = 0 \\implies F(x) = f'(x) e^\{\\int g(x)dx\} \\\\ \\\\ & f(x) + g(x)\\int\_0^x f(t)dt = 0 \\implies F(x) = \\int\_0^x f(t) dt \\cdot e^\{\\int g(x)dx\} \\\\ \\\\ & f'(x) + g(x)\[f(x)-1\] =0 \\implies F(x) = \[f(x) -1\] \\cdot e^\{\\int g(x)dx\} \\\\ \\\\ & \\cdot\\cdot\\cdot\\cdot\\cdot\\cdot\\cdot\\cdot \\end\{aligned\} f′′(x)\+g(x)f′(x)=0⟹F(x)=f′(x)e∫g(x)dxf(x)\+g(x)∫0xf(t)dt=0⟹F(x)=∫0xf(t)dt⋅e∫g(x)dxf′(x)\+g(x)\[f(x)−1\]=0⟹F(x)=\[f(x)−1\]⋅e∫g(x)dx⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

## 微分方程构造罗尔定理辅助函数 ##

欲 证 ： F \[ ξ , f ( ξ ) , f ′ ( ξ ) \] = 0 1 ) 求 微 分 方 程 F ( x , y , y ′ ) = 0 的 通 解 H ( x , y ) = C 2 ) 设 辅 助 函 数 ： g ( x ) = H ( x , f ( x ) ) \\begin\{aligned\} & 欲证：F\[\\xi, f(\\xi), f'(\\xi)\] = 0 \\\\ \\\\ & 1) 求微分方程 F(x, y, y') =0的通解H(x,y) =C \\\\ \\\\ & 2) 设辅助函数：g(x) = H(x, f(x)) \\end\{aligned\} 欲证：F\[ξ,f(ξ),f′(ξ)\]=01)求微分方程F(x,y,y′)=0的通解H(x,y)=C2)设辅助函数：g(x)=H(x,f(x))

## 拉格朗日中值定理 ##

设 f ( x ) 满 足 \{ （ 1 ） \[ a , b \] 上 连 续 （ 2 ） ( a , b ) 内 可 导    ⟹    则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) ， 使 得 f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) ， 或 者 写 成 f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) b − a \\begin\{aligned\} & 设f(x)满足 \\begin\{cases\} （1）\[a,b\]上连续 \\\\ （2）(a,b) 内可导 \\\\ \\end\{cases\} \\\\ \\\\ & \\implies则\\exists \\xi \\in (a,b)，使得 f(b)-f(a) = f'(\\xi)(b-a)，或者写成 \\\\ \\\\ & f'(\\xi) = \\frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\} \\end\{aligned\} 设f(x)满足\{ （1）\[a,b\]上连续（2）(a,b)内可导⟹则∃ξ∈(a,b)，使得f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)，或者写成f′(ξ)=b−af(b)−f(a)

## 柯西中值定理 ##

设 f ( x ) ， g ( x ) 满 足 \{ （ 1 ） \[ a , b \] 上 连 续 （ 2 ） ( a , b ) 内 可 导 （ 3 ） g ′ ( x ) ≠ 0    ⟹    则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) ， 使 得 f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) \\begin\{aligned\} & 设f(x)，g(x)满足 \\begin\{cases\} （1）\[a,b\]上连续 \\\\ （2）(a,b) 内可导 \\\\ （3）g'(x) \\neq 0 \\end\{cases\} \\\\ \\\\ & \\implies则\\exists \\xi \\in (a,b)，使得 \\frac\{f(b)-f(a)\}\{g(b)-g(a)\} = \\frac\{f'(\\xi)\}\{g'(\\xi)\} \\end\{aligned\} 设f(x)，g(x)满足⎩⎪⎨⎪⎧（1）\[a,b\]上连续（2）(a,b)内可导（3）g′(x)=0⟹则∃ξ∈(a,b)，使得g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)

## 积分中值定理 ##

f ( x ) 在 \[ a , b \] 上 连 续    ⟹    存 在 η ∈ \[ a , b \] , 使 得 ∫ a b f ( x ) d x = f ( η ) ( b − a ) f ( x ) ， g ( x ) 在 \[ a , b \] 上 连 续 ， 且 g ( x ) 不 变 号    ⟹    ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( η ) ∫ a b g ( x ) d x 二 重 积 分 中 值 定 理 ， D 上 连 续 ， A 为 D 的 面 积    ⟹    ∬ D f ( x , y ) d x d y = f ( ξ , η ) A \\begin\{aligned\} & f(x)在\[a,b\]上连续 \\implies 存在 \\eta \\in \[a,b\], 使得 \\\\ & \\int\_a^b f(x) dx = f(\\eta)(b-a) \\\\ \\\\ \\\\ & f(x)，g(x)在\[a,b\]上连续，且g(x)不变号 \\implies \\\\ & \\int\_a^b f(x)g(x)dx = f(\\eta)\\int\_a^b g(x)dx \\\\\\\\\\\\ & 二重积分中值定理，D上连续，A为D的面积 \\implies \\\\ & \\iint\\limits\_D f(x,y) dxdy = f(\\xi, \\eta)A \\end\{aligned\} f(x)在\[a,b\]上连续⟹存在η∈\[a,b\],使得∫abf(x)dx=f(η)(b−a)f(x)，g(x)在\[a,b\]上连续，且g(x)不变号⟹∫abf(x)g(x)dx=f(η)∫abg(x)dx二重积分中值定理，D上连续，A为D的面积⟹D∬f(x,y)dxdy=f(ξ,η)A

# 多元微积分相关公式 #

## 多元微分定义 ##

定 义 ： Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ )        ( ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 ) 全 增 量 ： Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) 线 性 增 量 ： A Δ x + B Δ y        其 中    A = f x ′ ( x 0 , y 0 ) ， B = f y ′ ( x 0 , y 0 ) 可 微 判 定 ： lim ⁡ Δ x → 0 Δ y → 0 Δ z − ( A Δ x + B Δ y ) ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2    ⟹    \{ = 0    ⟹    可 微 ≠ 0    ⟹    不 可 微 \\begin\{aligned\} 定义：& \\Delta z = A \\Delta x + B \\Delta y + o (\\rho) ~~~~~~ (\\rho = \\sqrt\{(\\Delta x)^2 + (\\Delta y) ^2\}) \\\\ \\\\ 全增量：& \\Delta z =f(x\_0 + \\Delta x, y\_0 + \\Delta y) - f(x\_0, y\_0) \\\\ \\\\ 线性增量：& A\\Delta x + B \\Delta y ~~~~~~ 其中 ~~ A=f'\_x(x\_0, y\_0)，B=f'\_y(x\_0, y\_0) \\\\ \\\\ 可微判定：& \\lim\_\{\\underset\{\\Delta y \\to 0\}\{\\Delta x \\to 0\}\} \\frac\{\\Delta z - (A\\Delta x + B \\Delta y)\}\{\\sqrt\{(\\Delta x)^2 + (\\Delta y )^2\}\} \\implies \\begin\{cases\} = 0 \\implies 可微 \\\\ \\ne 0 \\implies 不可微 \\end\{cases\} \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} 定义：全增量：线性增量：可微判定：Δz=AΔx\+BΔy\+o(ρ)      (ρ=(Δx)2\+(Δy)2)Δz=f(x0\+Δx,y0\+Δy)−f(x0,y0)AΔx\+BΔy      其中  A=fx′(x0,y0)，B=fy′(x0,y0)Δy→0Δx→0lim(Δx)2\+(Δy)2Δz−(AΔx\+BΔy)⟹\{ =0⟹可微=0⟹不可微

## 多元隐函数求导 ##

∂ z ∂ x = − F x ′ F z ′ ∂ z ∂ y = − F y ′ F z ′ \\begin\{aligned\} & \\frac\{\\partial z\}\{\\partial x\} = - \\frac\{F'\_x\}\{F'\_z\} \\\\ \\\\ & \\frac\{\\partial z\}\{\\partial y\} = - \\frac\{F'\_y\}\{F'\_z\} \\\\ \\end\{aligned\} ∂x∂z=−Fz′Fx′∂y∂z=−Fz′Fy′

## 极坐标下二重积分计算法 ##

∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) r d r \\underset\{D\}\{\\iint\} f(x,y)d\\sigma = \\int\_\\alpha^\\beta d\\theta \\int\_\{r\_1(\\theta)\}^\{r\_2(\\theta)\}f(r\\cos \\theta, r\\sin\\theta)rdr D∬f(x,y)dσ=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr

## 隐函数存在定理 ##

F 函 数 F ( x , y , z ) 在 点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的 某 一 邻 域 内 具 有 连 续 偏 导 数 F ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 ， F z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0    ⟹    方 程 F ( x , y , z ) = 0 在 点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的 某 一 邻 域 内 能 唯 一 确 定 一 个 连 续 且 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数 z = f ( x , y ) \\begin\{aligned\} & F函数F(x,y,z)在点P(x\_0,y\_0,z\_0)的某一邻域内具有连续偏导数 \\\\ & F(x\_0, y\_0, z\_0) =0， F'\_z(x\_0, y\_0, z\_0) \\ne 0 \\\\ \\implies & 方程F(x,y,z)=0 在点(x\_0, y\_0, z\_0)的某一邻域内能唯一确定\\\\ &一个连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y) \\end\{aligned\} ⟹F函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续偏导数F(x0,y0,z0)=0，Fz′(x0,y0,z0)=0方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y)

## 多元函数极值判定 ##

1.     求 出 同 时 满 足 f x ′ ( x , y ) = 0 ， f y ′ ( x , y ) = 0 的 “ 一 组 ” ( x 0 , y 0 ) 2.     记 \{ f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = A f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = B f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = C    则 Δ = B 2 − A C \{ < 0    ⟹    极 值 \{ A < 0    ⟹    极 大 值 A > 0    ⟹    极 小 值 > 0    ⟹    非 极 值 = 0    ⟹    方 法 失 效 ， 另 谋 他 法 \\begin\{aligned\} 1.&~~~ 求出同时满足 f'\_x(x,y) =0，f'\_y(x,y) =0的“一组”(x\_0,y\_0) \\\\ \\\\ 2. &~~~ 记 \\begin\{cases\} f''\_\{xx\}(x\_0,y\_0) =A \\\\ f''\_\{xy\}(x\_0,y\_0) =B \\\\ f''\_\{yy\}(x\_0,y\_0)=C \\end\{cases\} ~~则 \\Delta=B^2-AC \\begin\{cases\} <0 \\implies 极值 \\begin\{cases\} A<0 \\implies 极大值 \\\\ A>0 \\implies 极小值 \\end\{cases\} \\\\ >0 \\implies 非极值 \\\\ =0 \\implies 方法失效，另谋他法 \\end\{cases\} \\end\{aligned\} 1.2.   求出同时满足fx′(x,y)=0，fy′(x,y)=0的“一组”(x0,y0)   记⎩⎪⎨⎪⎧fxx′′(x0,y0)=Afxy′′(x0,y0)=Bfyy′′(x0,y0)=C  则Δ=B2−AC⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧<0⟹极值\{ A<0⟹极大值A>0⟹极小值>0⟹非极值=0⟹方法失效，另谋他法

## 拉格朗日数乘法求最值 ##

求 u = f ( x , y , z ) 在 条 件 \{ ϕ ( x , y , z ) = 0 ψ ( x , y , z ) = 0 的 最 值 1.     构 造 辅 助 函 数    F ( x , y , z , λ , μ ) = f ( x , y , z ) + λ ϕ ( x , y , z ) + μ ψ ( x , y , z ) 2.     得 \{ F x ′ = f x ′ + λ ϕ x ′ + μ ψ x ′ = 0 F y ′ = f y ′ + λ ϕ y ′ + μ ψ y ′ = 0 F z ′ = f z ′ + λ ϕ z ′ + μ ψ z ′ = 0 F λ ′ = ϕ ( x , y , z ) = 0 F μ ′ = ψ ( x , y , z ) = 0 3.     解 方 程 得 备 选 点 P i , i = 1 , 2 , 3 , ⋯   , n 4.     求 f ( P i ) ， 取 最 大 值 为 u m a x ， 最 小 值 为 u m i n \\begin\{aligned\} & 求 u = f(x,y,z) 在条件\\begin\{cases\} \\phi(x,y,z) =0 \\\\ \\psi(x,y,z) = 0 \\end\{cases\} 的最值 \\\\\\\\\\\\ 1.&~~~ 构造辅助函数~~ F(x,y,z,\\lambda, \\mu) = f(x,y,z) + \\lambda \\phi(x,y,z) + \\mu \\psi(x,y,z) \\\\\\\\ 2.&~~~ 得 \\begin\{cases\} F\_x' = f\_x' + \\lambda\\phi \_x' +\\mu \\psi\_x' = 0 \\\\ F\_y' = f\_y' + \\lambda\\phi \_y' +\\mu \\psi\_y' = 0 \\\\ F\_z' = f\_z' + \\lambda\\phi \_z' +\\mu \\psi\_z' = 0 \\\\ F\_\{\\lambda\}' = \\phi(x,y,z) = 0 \\\\ F\_\{\\mu\}' = \\psi(x,y,z) = 0 \\\\ \\end\{cases\} \\\\\\\\ 3.& ~~~解方程得备选点 P\_i, i=1,2,3, \\cdots,n \\\\\\\\ 4.& ~~~求f(P\_i) ，取最大值为 u\_\{max\}，最小值为u\_\{min\} \\end\{aligned\} 1.2.3.4.求u=f(x,y,z)在条件\{ ϕ(x,y,z)=0ψ(x,y,z)=0的最值   构造辅助函数  F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)\+λϕ(x,y,z)\+μψ(x,y,z)   得⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧Fx′=fx′\+λϕx′\+μψx′=0Fy′=fy′\+λϕy′\+μψy′=0Fz′=fz′\+λϕz′\+μψz′=0Fλ′=ϕ(x,y,z)=0Fμ′=ψ(x,y,z)=0   解方程得备选点Pi,i=1,2,3,⋯,n   求f(Pi)，取最大值为umax，最小值为umin

## 多重积分的应用 ##

### 空间曲面的面积 ###

A = ∬ D 1 + ( ∂ z ∂ x ) 2 + ( ∂ z ∂ y ) 2   d x d y \\begin\{aligned\} & \\\\ & A = \\iint\\limits\_D \\sqrt\{1+(\\frac\{\\partial z\}\{\\partial x\})^2 + (\\frac\{\\partial z\}\{\\partial y\})^2\} ~ dxdy \\end\{aligned\} A=D∬1\+(∂x∂z)2\+(∂y∂z)2 dxdy

# 微分方程 #

## 一阶线性微分方程 ##

y ′ + p ( x ) y = q ( x )       其 中 p ( x ) , q ( x ) 为 连 续 函 数    ⟹    y = e − ∫ p ( x ) d x ( ∫ e ∫ p ( x ) d x ⋅ q ( x ) d x + C ) \\begin\{aligned\} & y' + p(x)y = q(x) ~~~~~其中p(x),q(x)为连续函数 \\implies \\\\\\\\ &y = e^\{-\\int p(x)dx\} (\\int e^\{\\int p(x)dx\} \\cdot q(x) dx + C) \\end\{aligned\} y′\+p(x)y=q(x)     其中p(x),q(x)为连续函数⟹y=e−∫p(x)dx(∫e∫p(x)dx⋅q(x)dx\+C)

## 二阶常系数齐次线性微分方程的通解 ##

y ′ ′ + p y ′ + q y = 0          p , q 为 常 数 ⇒ 特 征 方 程 为    λ 2 + p λ + q = 0    ⟹    \{ p 2 − 4 q > 0 , ⇒ 通 解 为 y = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x p 2 − 4 q = 0 , ⇒ 通 解 为 y = ( C 1 + C 2 x ) e λ x p 2 − 4 q < 0 , λ 1 , 2 = α ± i β     ⇒ 通 解 为 y = e α x ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x ) \\begin\{aligned\} & y'' + py' + qy =0 ~~~~~~~~p,q为常数 \\\\ \\\\ \\xRightarrow\{特征方程为\} & ~~ \\lambda^2 + p\\lambda + q = 0 \\\\ \\\\ \\implies & \\begin\{cases\} p^2 - 4q>0 , \\xRightarrow\{通解为\} y=C\_1 e^\{\\lambda \_1x\} + C\_2 e^\{\\lambda \_2 x\} \\\\ \\\\ p^2 - 4q=0 , \\xRightarrow\{通解为\} y = (C\_1+C\_2x)e^\{\\lambda x\}\\\\ \\\\ p^2 - 4q<0 , \\lambda\_\{1,2\}=\\alpha \\pm i\\beta ~~~ \\xRightarrow\{通解为\} y = e^\{\\alpha x\} (C\_1 \\cos \\beta x + C\_2\\sin \\beta x) \\end\{cases\} \\end\{aligned\} 特征方程为⟹y′′\+py′\+qy=0        p,q为常数  λ2\+pλ\+q=0⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧p2−4q>0,通解为y=C1eλ1x\+C2eλ2xp2−4q=0,通解为y=(C1\+C2x)eλxp2−4q<0,λ1,2=α±iβ   通解为y=eαx(C1cosβx\+C2sinβx)

## 三阶常系数齐次线性微分方程的通解 ##

y ′ ′ ′ + p y ′ ′ + q y ′ + r y = 0          p , q , r 为 常 数 ⇒ 特 征 方 程 为    λ 3 + p λ 2 + q λ + r = 0    ⟹    \{ λ 1 , λ 2 , λ 3 ∈ R , 且 λ 1 ≠ λ 2 ≠ λ 3 , ⇒ 通 解 为 y = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x + C 3 e λ 3 x λ 1 , λ 2 , λ 3 ∈ R , 且 λ 1 = λ 2 ≠ λ 3 ⇒ 通 解 为 y = ( C 1 + C 2 x ) e λ 1 x + C 3 e λ 3 x λ 1 , λ 2 , λ 3 ∈ R , 且 λ 1 = λ 2 = λ 3 ⇒ 通 解 为 y = ( C 1 + C 2 x + C 3 x 2 ) e λ 1 x λ 1 ∈ R , λ 2 , 3 = α ± i β     ⇒ 通 解 为 y = C 1 e λ 1 x + e α x ( C 2 cos ⁡ β x + C 3 sin ⁡ β x ) \\begin\{aligned\} & y''' + py'' + qy' +ry =0 ~~~~~~~~p,q,r为常数 \\\\ \\\\ \\xRightarrow\{特征方程为\} & ~~ \\lambda^3 + p\\lambda^2 + q\\lambda + r = 0 \\\\ \\\\ \\implies & \\begin\{cases\} \\lambda\_1,\\lambda\_2,\\lambda\_3\\in R, 且\\lambda\_1 \\ne \\lambda\_2 \\ne \\lambda\_3, \\xRightarrow\{通解为\} y=C\_1 e^\{\\lambda \_1x\} + C\_2 e^\{\\lambda \_2 x\} + C\_3 e^\{\\lambda \_3 x\} \\\\ \\\\ \\lambda\_1,\\lambda\_2,\\lambda\_3\\in R, 且\\lambda\_1 = \\lambda\_2 \\ne \\lambda\_3 \\xRightarrow\{通解为\} y = (C\_1+C\_2x)e^\{\\lambda\_1 x\} + C\_3 e^\{\\lambda\_3 x\}\\\\ \\\\ \\lambda\_1,\\lambda\_2,\\lambda\_3\\in R, 且\\lambda\_1 = \\lambda\_2 = \\lambda\_3 \\xRightarrow\{通解为\} y = (C\_1+C\_2x + C\_3x^2)e^\{\\lambda\_1 x\}\\\\ \\\\ \\lambda\_1 \\in R, \\lambda\_\{2,3\}=\\alpha \\pm i\\beta ~~~ \\xRightarrow\{通解为\} y = C\_1e^\{\\lambda\_1x\} + e^\{\\alpha x\} (C\_2 \\cos \\beta x + C\_3\\sin \\beta x) \\end\{cases\} \\end\{aligned\} 特征方程为⟹y′′′\+py′′\+qy′\+ry=0        p,q,r为常数  λ3\+pλ2\+qλ\+r=0⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧λ1,λ2,λ3∈R,且λ1=λ2=λ3,通解为y=C1eλ1x\+C2eλ2x\+C3eλ3xλ1,λ2,λ3∈R,且λ1=λ2=λ3通解为y=(C1\+C2x)eλ1x\+C3eλ3xλ1,λ2,λ3∈R,且λ1=λ2=λ3通解为y=(C1\+C2x\+C3x2)eλ1xλ1∈R,λ2,3=α±iβ   通解为y=C1eλ1x\+eαx(C2cosβx\+C3sinβx)

## 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 ##

y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) （ 1 ） 自 由 项 f ( x ) = P n ( x ) e a x   时 ， 特 解 为   y ∗ = e a x Q n ( x ) x k 其 中 \{ e a x    照 抄 Q n ( x ) 为 x 的 n 次 一 般 多 项 式 k = \{ 0 ，     a ≠ λ 1 , a ≠ λ 2 1 ，     a = λ 1 或 a = λ 2 2 ，     a = λ 1 = λ 2 ( 2 ) 自 由 项   f ( x ) = e a x \[ P m ( x ) cos ⁡ β x + P n ( x ) sin ⁡ β x \]   时 ， y ∗ = e a x \[ Q l ( 1 ) ( x ) cos ⁡ β x + Q l ( 2 ) ( x ) sin ⁡ β x \] x k 其 中 ， \{ e a x    照 抄 l = m a x \{ m , n \} ， Q l ( 1 ) ( x ) , Q l ( 2 ) ( x ) 分 别 为 x 的 两 个 不 同 的 l 次 一 般 多 项 式 k = \{ 0 ，     a ± β i   不 是 特 征 根 1 ，     a ± β i   是 特 征 根 \\begin\{aligned\} & y'' + py'+qy = f(x) \\\\ \\\\ （1）& 自由项f(x)=P\_n(x)e^\{ax\} ~时，特解为 ~ y^\*= e^\{ax\}Q\_n(x) x^k \\\\ \\\\ 其中 & \\begin\{cases\} e^\{ax\} ~~照抄 \\\\ Q\_n(x) 为x的n次一般多项式 \\\\ k = \\begin\{cases\} 0，~~~ a\\ne \\lambda\_1, a \\ne \\lambda\_2 \\\\ 1，~~~ a = \\lambda\_1 或a=\\lambda\_2 \\\\ 2，~~~ a = \\lambda\_1 = \\lambda\_2 \\end\{cases\} \\end\{cases\} \\\\ \\\\ \\\\ (2) & 自由项~ f(x) = e^\{ax\}\[P\_m(x) \\cos \\beta x + P\_n(x) \\sin \\beta x\] ~时， \\\\ \\\\ & y^\* = e^\{ax\} \[ Q\_l^\{(1)\}(x) \\cos \\beta x + Q\_l^\{(2)\}(x)\\sin \\beta x\]x^k \\\\ \\\\ 其中，& \\begin\{cases\} e^\{ax\} ~~照抄 \\\\ l=max\\\{ m, n \\\} ，Q\_l^\{(1)\}(x), Q\_l^\{(2)\}(x)分别为x的两个不同的l次一般多项式 \\\\ \\\\ k = \\begin\{cases\} 0，~~~ a \\pm \\beta i ~不是特征根 \\\\ 1，~~~ a \\pm \\beta i ~是特征根 \\\\ \\end\{cases\} \\end\{cases\} \\end\{aligned\} （1）其中(2)其中，y′′\+py′\+qy=f(x)自由项f(x)=Pn(x)eax 时，特解为 y∗=eaxQn(x)xk⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧eax  照抄Qn(x)为x的n次一般多项式k=⎩⎪⎨⎪⎧0，   a=λ1,a=λ21，   a=λ1或a=λ22，   a=λ1=λ2自由项 f(x)=eax\[Pm(x)cosβx\+Pn(x)sinβx\] 时，y∗=eax\[Ql(1)(x)cosβx\+Ql(2)(x)sinβx\]xk⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧eax  照抄l=max\{ m,n\}，Ql(1)(x),Ql(2)(x)分别为x的两个不同的l次一般多项式k=\{ 0，   a±βi 不是特征根1，   a±βi 是特征根

## “算子法”求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 ##

y ( n ) + a 1 y ( n − 1 ) + a 2 y ( n − 2 ) + ⋯ + a n y = f ( x ) 记 ： d d x = D ,     D 表 示 求 导 ， 1 D 表 示 积 分 F ( D ) = D n + a 1 D n − 1 + a 2 D n − 2 + ⋯ + a n − 1 D + a n 则 ， 特 解     y ∗ = 1 F ( D ) f ( x ) ( 1 )     y ′ ′ + p y ′ + q y = a e k x 则    y ∗ = 1 D 2 + p D + q a e k x = 1 k 2 + p k + q a e k x       （ 将 D 换 成 k ） = x 1 2 k + p a e k x        ( 上 式 分 母 为 零 ， 提 x ， 求 导 )    以 此 类 推 ( 2 )     y ′ ′ + p y ′ + q y = sin ⁡ a x ( 或 cos ⁡ a x ) 则    y ∗ = 1 D 2 + p D + q sin ⁡ a x = 1 − a 2 + p D + q sin ⁡ a x        ( 将 D 2 换 成 − a 2 ， 若 为 0 与 ( 1 ) 一 样 ， 提 x 求 导 ) = p D − ( q − a 2 ) p 2 D 2 − ( q − a 2 ) 2 sin ⁡ α x        ( 若 分 母 包 含 D ， 则 通 过 ( a + b ) ( a − b ) 得 出 D 2 ) ( 3 )     y ′ ′ + a 1 y ′ + a 2 y = P n ( x ) y ∗ = 1 D 2 + a 1 D + a 2 P n ( x ) = 1 D u 1 1 − ( k D ) m P n ( x )    （ 大 概 化 成 这 种 形 式 ） = 1 D u ( 1 + k D + ( k D ) 2 + ⋯   ) P n ( x )        （ 1 1 − ( k D ) m 泰 勒 展 开 ） = Q n ( x ) ( 4 )      y ′ ′ + a 1 y ′ + a 2 y = e k x f ( x ) = e k x 1 F ( D + k ) f ( x )         （ 然 后 看 右 边 ， 根 据 f ( x ) 的 形 式 ， 转 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 方 法 求 解 ） \\begin\{aligned\} & y^\{(n)\} + a\_1 y^\{(n-1)\} + a\_2 y^\{(n-2)\} + \\cdots + a\_n y = f(x) \\\\\\\\\\\\ 记：& \\frac\{d\}\{dx\} = D, ~~~D表示求导，\\frac\{1\}\{D\} 表示积分 \\\\ \\\\ & F(D) = D^n + a\_1D^\{n-1\} + a\_2D^\{n-2\} + \\cdots + a\_\{n-1\}D + a\_n \\\\\\\\ 则，特解~~~& y^\* = \\frac\{1\}\{F(D)\} f(x) \\\\ \\\\ \\\\ & (1) ~~~ y'' + py' + qy = ae^\{kx\} \\\\\\\\ & 则 ~~y^\*= \\frac\{1\}\{D^2 + pD + q\} ae^\{kx\} \\\\\\\\ & = \\frac\{1\}\{k^2+pk+q\} ae^\{kx\} ~~~~~（将D换成k） \\\\ \\\\ & = x \\frac\{1\}\{2k+p\} ae^\{kx\} ~~~~~~(上式分母为零，提x，求导) ~~ 以此类推 \\\\ \\\\ \\\\ & (2)~~~ y'' + py' + qy = \\sin a x (或\\cos a x) \\\\\\\\ & 则 ~~y\*= \\frac\{1\}\{D^2 + pD + q\} \\sin a x \\\\\\\\ & = \\frac\{1\}\{-a^2+pD+q\} \\sin a x ~~~~~~(将D^2换成-a^2，若为0与(1)一样，提x求导) \\\\ \\\\ & = \\frac\{pD-(q-a^2)\}\{p^2D^2 - (q-a^2)^2\} \\sin \\alpha x ~~~~~~(若分母包含D，则通过(a+b)(a-b)得出D^2) \\\\ \\\\ \\\\ & (3) ~~~ y '' + a\_1 y ' + a\_2 y = P\_n(x) \\\\\\\\ & y^\* = \\frac\{1\}\{D^2 + a\_1D + a\_2\} P\_n(x) \\\\\\\\ & = \\frac\{1\}\{D^u\} \\frac\{1\}\{1 - (kD)^m\} P\_n(x) ~~（大概化成这种形式）\\\\\\\\ & = \\frac\{1\}\{D^u\} (1 + kD + (kD)^2 + \\cdots)P\_n(x) ~~~~~~（\\frac\{1\}\{1 - (kD)^m\}泰勒展开）\\\\\\\\ & = Q\_n(x) \\\\\\\\\\\\ & (4)~~~~ y'' + a\_1y' + a\_2y = e^\{kx\} f(x) \\\\\\\\ & = e^\{kx\} \\frac\{1\}\{F(D+k)\} f(x) ~~~~~~~（然后看右边，根据f(x)的形式，转(1)(2)(3)方法求解） \\end\{aligned\} 记：则，特解   y(n)\+a1y(n−1)\+a2y(n−2)\+⋯\+any=f(x)dxd=D,   D表示求导，D1表示积分F(D)=Dn\+a1Dn−1\+a2Dn−2\+⋯\+an−1D\+any∗=F(D)1f(x)(1)   y′′\+py′\+qy=aekx则  y∗=D2\+pD\+q1aekx=k2\+pk\+q1aekx     （将D换成k）=x2k\+p1aekx      (上式分母为零，提x，求导)  以此类推(2)   y′′\+py′\+qy=sinax(或cosax)则  y∗=D2\+pD\+q1sinax=−a2\+pD\+q1sinax      (将D2换成−a2，若为0与(1)一样，提x求导)=p2D2−(q−a2)2pD−(q−a2)sinαx      (若分母包含D，则通过(a\+b)(a−b)得出D2)(3)   y′′\+a1y′\+a2y=Pn(x)y∗=D2\+a1D\+a21Pn(x)=Du11−(kD)m1Pn(x)  （大概化成这种形式）=Du1(1\+kD\+(kD)2\+⋯)Pn(x)      （1−(kD)m1泰勒展开）=Qn(x)(4)    y′′\+a1y′\+a2y=ekxf(x)=ekxF(D\+k)1f(x)       （然后看右边，根据f(x)的形式，转(1)(2)(3)方法求解）

情况3可以用多项式除法求解：例题见下图，就是画圈的那个可以变成 (-1/3 - 2/9D …)。用1除以分母，分母从低次幂到高次幂写。（**先将就下吧，马上考试了，考完试再整理，md政治还没背**）  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9ob25nZmVpXzM1OA_size_16_color_FFFFFF_t_70]

# 线性代数 #

## 行列式 ##

∣ A ∣ = ∣ A T ∣ ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ A i j = ( − 1 ) i + j M i j \\begin\{aligned\} & |A| = |A^T| \\\\ \\\\ & |kA| = k^n|A| \\\\ \\\\ & |AB| = |A||B| \\\\ \\\\ & A\_\{ij\} = (-1)^\{i+j\}M\_\{ij\} \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ∣A∣=∣AT∣∣kA∣=kn∣A∣∣AB∣=∣A∣∣B∣Aij=(−1)i\+jMij

## 几个重要的行列式 ##

∣ a 11 0 … 0 0 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … a n n ∣ = ∣ a 11 0 … 0 a 21 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ = ∣ a 11 a 12 … a 1 n 0 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … a n n ∣ = ∏ i = 1 n a i i ∣ 0 … 0 a 1 n 0 … a 2 , n − 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 … 0 0 ∣ = ∣ 0 … 0 a 1 n 0 … a 2 , n − 1 ⋮ a n 1 ∣ = ∣ a 1 n a 2 , n − 1 0 ⋮ ⋮ a n 1 … 0 0 ∣ = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 , n − 1 … a n 1 ∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i ) ∣ a b b ⋯ b b a b ⋯ b b b a ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b b b ⋯ a ∣ = \[ a + ( n − 1 ) b \] ( a − b ) n − 1 ∣ A O O B ∣ = ∣ A C O B ∣ = ∣ A O C B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ ∣ O A n × n B m × m O ∣ = ∣ O A B C ∣ = ∣ C A B O ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ∣ B ∣ \\begin\{aligned\} & \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & 0 & \\dots & 0 \\\\ 0 & a\_\{22\} & \\dots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\dots & a\_\{nn\} \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & 0 & \\dots & 0 \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & \\dots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & \\dots & a\_\{nn\} \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & a\_\{12\} & \\dots & a\_\{1n\} \\\\ 0 & a\_\{22\} & \\dots & a\_\{2n\} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\dots & a\_\{nn\} \\end\{vmatrix\} = \\prod\_\{i=1\}^na\_\{ii\} \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} 0 & \\dots & 0 & a\_\{1n\} \\\\ 0 & \\dots & a\_\{2,n-1\} & 0 \\\\ \\vdots & & \\vdots & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & \\dots & 0 & 0 \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} 0 & \\dots & 0 & a\_\{1n\} \\\\ 0 & \\dots & a\_\{2,n-1\} & \\\\ \\vdots & & & \\\\ a\_\{n1\} & & & \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} & & & a\_\{1n\} \\\\ & & a\_\{2,n-1\} & 0 \\\\ & & \\vdots & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & \\dots & 0 & 0 \\end\{vmatrix\} = (-1)^\{\\frac\{n(n-1)\}\{2\}\}a\_\{1n\}a\_\{2,n-1\}\\dots a\_\{n1\} \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} 1 & 1 & \\cdots & 1 \\\\ x\_1 & x\_2 & \\cdots & x\_n \\\\ x\_1^2 & x\_2^2 & \\cdots & x\_n^2 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ x\_1^\{n-1\} & x\_2^\{n-1\} & \\cdots & x\_n^\{n-1\} \\\\ \\end\{vmatrix\} = \\prod\_\{1\\le i <j \\le n\}(x\_j-x\_i) \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} a & b & b & \\cdots & b \\\\ b & a & b & \\cdots & b \\\\ b & b & a & \\cdots & b \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ b & b & b & \\cdots & a \\\\ \\end\{vmatrix\} = \[a+(n-1)b\](a-b)^\{n-1\} \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} A & O \\\\ O & B \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} A & C \\\\ O & B \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} A & O \\\\ C & B \\end\{vmatrix\} = |A||B| \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{vmatrix\} O & A\_\{n\\times n\} \\\\ B\_\{m\\times m\} & O \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} O & A \\\\ B & C \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} C & A \\\\ B & O \\end\{vmatrix\} = (-1)^\{mn\}|A||B| \\end\{aligned\} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a110⋮00a22⋮0………00⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an10a22⋮an2………00⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a110⋮0a12a22⋮0………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=i=1∏naii∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮an1………0a2,n−1⋮0a1n0⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮an1……0a2,n−1a1n∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣an1…a2,n−1⋮0a1n0⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)2n(n−1)a1na2,n−1…an1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋯1xnxn2⋮xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=1≤i<j≤n∏(xj−xi)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣abb⋮bbab⋮bbba⋮b⋯⋯⋯⋯bbb⋮a∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=\[a\+(n−1)b\](a−b)n−1∣∣∣∣AOOB∣∣∣∣=∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣=∣∣∣∣ACOB∣∣∣∣=∣A∣∣B∣∣∣∣∣OBm×mAn×nO∣∣∣∣=∣∣∣∣OBAC∣∣∣∣=∣∣∣∣CBAO∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣∣B∣

## 矩阵 ##

( A T ) T = A ( k A ) T = k A T ( A + B ) T = A T + B T ( A B ) T = B T A T A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A = ∣ A ∣ ( A ∗ ) − 1 ( A − 1 ) − 1 = A ( k A ) − 1 = k − 1 A − 1 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T ( A T ) ∗ = ( A ∗ ) T ( A − 1 ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 ( A B ) ∗ = B ∗ A ∗ ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 \[ A ∣ E \] → 初 等 行 变 换 \[ E ∣ A − 1 \] \[ A ∣ B \] → 初 等 行 变 换 \[ E ∣ A − 1 B \] \\begin\{aligned\} & (A^T)^T = A \\\\ \\\\ & (kA)^T = kA^T \\\\ \\\\ & (A+B)^T = A^T + B^T \\\\ \\\\ & (AB)^T = B^TA^T \\\\ \\\\ & AA^\* = A^\*A = |A|E \\\\ \\\\ & |A^\*|=|A|^\{n-1\} \\\\ \\\\ & A^\{-1\} = \\frac\{1\}\{|A|\}A^\* \\\\ \\\\ & A = |A|(A^\*)^\{-1\} \\\\ \\\\ & (A^\{-1\})^\{-1\} = A \\\\ \\\\ & (kA)^\{-1\} = k^\{-1\}A^\{-1\} \\\\ \\\\ & (AB)^\{-1\} =B^\{-1\}A^\{-1\} \\\\ \\\\ & (A^T)^\{-1\} = (A^\{-1\})^T \\\\ \\\\ & (A^T)^\* = (A^\*)^T \\\\ \\\\ & (A^\{-1\})^\* = (A^\*)^\{-1\} \\\\ \\\\ & (AB)^\* = B^\*A^\* \\\\ \\\\ & (A^\*)^\* = |A|^\{n-2\}A \\\\ \\\\ & |A^\{-1\}| = |A|^\{-1\} \\\\ \\\\ & \[A|E\] \\xrightarrow\{初等行变换\}\[E|A^\{-1\}\] \\\\\\\\ & \[A|B\] \\xrightarrow\{初等行变换\}\[E|A^\{-1\}B\] \\\\\\\\ \\end\{aligned\} (AT)T=A(kA)T=kAT(A\+B)T=AT\+BT(AB)T=BTATAA∗=A∗A=∣A∣E∣A∗∣=∣A∣n−1A−1=∣A∣1A∗A=∣A∣(A∗)−1(A−1)−1=A(kA)−1=k−1A−1(AB)−1=B−1A−1(AT)−1=(A−1)T(AT)∗=(A∗)T(A−1)∗=(A∗)−1(AB)∗=B∗A∗(A∗)∗=∣A∣n−2A∣A−1∣=∣A∣−1\[A∣E\]初等行变换\[E∣A−1\]\[A∣B\]初等行变换\[E∣A−1B\]

## 分块矩阵 ##

\[ A O O B \] n = \[ A n O O B n \] \\begin\{aligned\} \\begin\{bmatrix\} A & O \\\\ O & B \\end\{bmatrix\}^n = \\begin\{bmatrix\} A^n & O \\\\ O & B^n \\end\{bmatrix\} \\end\{aligned\} \[AOOB\]n=\[AnOOBn\]

## 正交矩阵 ##

A 是 正 交 矩 阵    ⟺    A T = A − 1    ⟺    A T A = A A T = E    ⟺    A 的 行 （ 列 ） 向 量 组 是 标 准 正 交 向 量 组    ⟹    ∣ A ∣ = ± 1    ⟹    λ = ± 1 \\begin\{aligned\} & A是正交矩阵 \\\\\\\\ \\iff & A^T =A^\{-1\} \\\\ \\\\ \\iff & A^T A = AA^T = E \\\\ \\\\ \\iff & A的行（列）向量组是标准正交向量组 \\\\ \\\\ \\implies & |A| = \\pm 1 \\\\ \\\\ \\implies & \\lambda = \\pm 1 \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟹⟹A是正交矩阵AT=A−1ATA=AAT=EA的行（列）向量组是标准正交向量组∣A∣=±1λ=±1

## 施密特正交化 ##

β 1 = α 1 β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 β 3 = α 3 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 ⋯ ⋯ β n = α n − ( α n , β n − 1 ) ( β n − 1 , β n − 1 ) β n − 1 − ( α n , β n − 2 ) ( β n − 2 , β n − 2 ) β n − 2 − ⋯ − ( α n , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 η 1 = β 1 ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ , η 2 = β 2 ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ , ⋯   , η n = β n ∣ ∣ β n ∣ ∣ 其 中 ： ( α , β ) = α T β = β T α = ∑ i = 1 n a i b i ( α , α ) = a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 = ∑ i = 1 n a i 2 ∣ ∣ β ∣ ∣ = ( β , β ) = b 1 2 + b 2 2 + ⋯ + b n 2 \\begin\{aligned\} & \\beta\_1 = \\alpha\_1 \\\\ \\\\ & \\beta\_2 = \\alpha\_2 - \\frac\{(\\alpha\_2,\\beta\_1)\}\{(\\beta\_1, \\beta\_1)\}\\beta\_1 \\\\ \\\\ & \\beta\_3 = \\alpha\_3 - \\frac\{(\\alpha\_3,\\beta\_2)\}\{(\\beta\_2,\\beta\_2)\}\\beta\_2 - \\frac\{(\\alpha\_3,\\beta\_1)\}\{(\\beta\_1,\\beta\_1)\}\\beta\_1 \\\\ \\\\ & \\cdots\\cdots \\\\\\\\ & \\beta\_n = \\alpha\_n - \\frac\{(\\alpha\_n,\\beta\_\{n-1\})\}\{(\\beta\_\{n-1\},\\beta\_\{n-1\})\}\\beta\_\{n-1\} - \\frac\{(\\alpha\_n,\\beta\_\{n-2\})\}\{(\\beta\_\{n-2\},\\beta\_\{n-2\})\}\\beta\_\{n-2\} - \\cdots - \\frac\{(\\alpha\_n,\\beta\_1)\}\{(\\beta\_1,\\beta\_1)\}\\beta\_1 \\\\ \\\\ \\\\ & \\eta\_1 = \\frac\{\\beta\_1\}\{||\\beta\_1||\}, \\eta\_2 = \\frac\{\\beta\_2\}\{||\\beta\_2||\}, \\cdots , \\eta\_n = \\frac\{\\beta\_n\}\{||\\beta\_n||\} \\\\\\\\\\\\ 其中：& (\\alpha, \\beta) = \\alpha^T\\beta = \\beta^T\\alpha=\\sum\_\{i=1\}^na\_ib\_i \\\\ \\\\ & (\\alpha,\\alpha) = a\_1^2 + a\_2^2 + \\cdots +a\_n^2 = \\sum\_\{i=1\}^n a\_i^2 \\\\ \\\\ & || \\beta || = \\sqrt\{(\\beta,\\beta)\} = \\sqrt\{b\_1^2+b\_2^2 + \\cdots + b\_n^2 \} \\end\{aligned\} 其中：β1=α1β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1β3=α3−(β2,β2)(α3,β2)β2−(β1,β1)(α3,β1)β1⋯⋯βn=αn−(βn−1,βn−1)(αn,βn−1)βn−1−(βn−2,βn−2)(αn,βn−2)βn−2−⋯−(β1,β1)(αn,β1)β1η1=∣∣β1∣∣β1,η2=∣∣β2∣∣β2,⋯,ηn=∣∣βn∣∣βn(α,β)=αTβ=βTα=i=1∑naibi(α,α)=a12\+a22\+⋯\+an2=i=1∑nai2∣∣β∣∣=(β,β)=b12\+b22\+⋯\+bn2

## 可逆矩阵 ##

A 可 逆    ⟺    ∣ A ∣ ≠ 0    ⟺    A 的 行 （ 列 ） 向 量 组 线 性 无 关    ⟺    A x = 0 有 唯 一 零 解    ⟺    A x = b 有 唯 一 解    ⟺    r ( A ) = n    ⟺    特 征 值 λ i ≠ 0 \\begin\{aligned\} & A可逆 \\\\\\\\ \\iff & |A| \\ne 0 \\\\ \\\\ \\iff & A的行（列）向量组线性无关 \\\\\\\\ \\iff & Ax=0 有唯一零解 \\\\\\\\ \\iff & Ax=b 有唯一解 \\\\\\\\ \\iff & r(A)=n \\\\\\\\ \\iff & 特征值 \\lambda\_i \\ne 0 \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺A可逆∣A∣=0A的行（列）向量组线性无关Ax=0有唯一零解Ax=b有唯一解r(A)=n特征值λi=0

## 等价矩阵 ##

A , B 等 价    ⟺    A ≅ B    ⟺    P A Q = B ,       P , Q 可 逆    ⟺    r ( A ) = r ( B ) \{ α 1 , α 2 , ⋯   , α s \} ≅ \{ β 1 , β 2 , ⋯   , β t \}    ⟺    \{ α 1 , α 2 , ⋯   , α s \} 与 \{ β 1 , β 2 , ⋯   , β t \} 可 以 互 相 表 出    ⟺    r ( α 1 , α 2 , ⋯   , α s ) = r ( β 1 , β 2 , ⋯   , β t ) ， 且 可 单 方 向 表 出    ⟺    r ( α 1 , α 2 , ⋯   , α s ) = r ( β 1 , β 2 , ⋯   , β t ) = r ( α 1 , α 2 , ⋯   , α s , β 1 , β 2 , ⋯   , β t ) \\begin\{aligned\} & A, B等价 \\\\\\\\ \\iff & A \\cong B \\\\ \\\\ \\iff & PAQ = B , ~~~~~P,Q可逆 \\\\ \\\\ \\iff & r(A) = r(B) \\\\\\\\\\\\ & \\\{\\alpha\_1,\\alpha\_2, \\cdots, \\alpha\_s\\\} \\cong \\\{\\beta\_1,\\beta\_2, \\cdots, \\beta\_t \\\} \\\\ \\\\ \\iff & \\\{\\alpha\_1,\\alpha\_2, \\cdots, \\alpha\_s\\\} 与 \\\{\\beta\_1,\\beta\_2, \\cdots, \\beta\_t \\\} 可以互相表出 \\\\ \\\\ \\iff & r(\\alpha\_1,\\alpha\_2, \\cdots, \\alpha\_s) = r(\\beta\_1,\\beta\_2, \\cdots, \\beta\_t )，且可单方向表出 \\\\ \\\\ \\iff & r(\\alpha\_1,\\alpha\_2, \\cdots, \\alpha\_s) = r(\\beta\_1,\\beta\_2, \\cdots, \\beta\_t ) = r(\\alpha\_1,\\alpha\_2, \\cdots, \\alpha\_s, \\beta\_1,\\beta\_2, \\cdots, \\beta\_t) \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺A,B等价A≅BPAQ=B,     P,Q可逆r(A)=r(B)\{ α1,α2,⋯,αs\}≅\{ β1,β2,⋯,βt\}\{ α1,α2,⋯,αs\}与\{ β1,β2,⋯,βt\}可以互相表出r(α1,α2,⋯,αs)=r(β1,β2,⋯,βt)，且可单方向表出r(α1,α2,⋯,αs)=r(β1,β2,⋯,βt)=r(α1,α2,⋯,αs,β1,β2,⋯,βt)

## 秩相关公式 ##

A 是 m × n 矩 阵 ， 则 ： r ( A ) ≤ m i n \{ m , n \} r ( A ) = r ( A T ) r ( k A ) = r ( A )    ( k ≠ 0 ) r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r ( A B ) ≤ m i n \{ r ( A ) , r ( B ) \} r ( A ) + r ( B ) − n ≤ r ( A B ) r ( A ) + r ( B ) ≤ n      （ 其 中 ， A B = O , n 是 A 的 列 数 或 B 的 行 数 ） r ( A O O B ) = r ( A ) + r ( B ) r ( A ) + r ( B ) ≤ r ( A O C B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) + r ( C ) r ( A ) = r ( A T A ) r ( A ) = 1    ⟹    ∃ 非 零 α , β ， 使 得 A = α β T r ( α α T ) = 1 \{ r ( A ) = n               ⟹        r ( A ∗ ) = n r ( A ) = n − 1        ⟹        r ( A ∗ ) = 1 r ( A ) < n − 1        ⟹        r ( A ∗ ) = 0 \\begin\{aligned\} & A是m\\times n矩阵，则：\\\\\\\\ & r(A) \\le min\\\{m,n\\\} \\\\ \\\\ & r(A) = r(A^T) \\\\ \\\\ & r(kA) = r(A) ~~(k\\ne0)\\\\ \\\\ & r(A+B) \\le r(A) + r(B) \\\\ \\\\ & r(AB) \\le min\\\{r(A), r(B)\\\} \\\\ \\\\ & r(A) + r(B) -n \\le r(AB) \\\\ \\\\ & r(A) + r(B) \\le n ~~~~（其中，AB=O,n是A的列数或B的行数） \\\\\\\\ & r\\begin\{pmatrix\} A & O \\\\ O & B \\end\{pmatrix\} = r(A) + r(B) \\\\ \\\\ & r(A) + r(B) \\le r\\begin\{pmatrix\} A & O \\\\ C & B \\end\{pmatrix\} \\le r(A) + r(B) + r(C) \\\\\\\\ & r(A) = r(A^T A) \\\\ \\\\ & r(A) = 1 \\implies \\exists 非零 \\alpha, \\beta ，使得 A = \\alpha\\beta^T \\\\ \\\\ & r(\\alpha \\alpha^T) = 1 \\\\ \\\\ & \\begin\{cases\} r(A) = n ~~~~~~~~~~ \\implies ~~~ r(A^\*) = n \\\\ r(A) = n - 1 ~~~ \\implies ~~~ r(A^\*) = 1 \\\\ r(A) < n - 1 ~~~ \\implies ~~~ r(A^\*) = 0 \\\\ \\end\{cases\} \\\\\\\\ \\end\{aligned\} A是m×n矩阵，则：r(A)≤min\{ m,n\}r(A)=r(AT)r(kA)=r(A)  (k=0)r(A\+B)≤r(A)\+r(B)r(AB)≤min\{ r(A),r(B)\}r(A)\+r(B)−n≤r(AB)r(A)\+r(B)≤n    （其中，AB=O,n是A的列数或B的行数）r(AOOB)=r(A)\+r(B)r(A)\+r(B)≤r(ACOB)≤r(A)\+r(B)\+r(C)r(A)=r(ATA)r(A)=1⟹∃非零α,β，使得A=αβTr(ααT)=1⎩⎪⎨⎪⎧r(A)=n          ⟹   r(A∗)=nr(A)=n−1   ⟹   r(A∗)=1r(A)<n−1   ⟹   r(A∗)=0

## 特征值与特征向量 ##

∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i ∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \\begin\{aligned\} & \\sum\_\{i=1\}^n \\lambda\_i = \\sum\_\{i=1\}^n a\_\{ii\} \\\\ \\\\ & \\prod\_\{i=1\}^n \\lambda\_i = |A| \\\\\\\\ \\end\{aligned\} i=1∑nλi=i=1∑naiii=1∏nλi=∣A∣

矩 阵 A k A A k f ( A ) A − 1 A ∗ A − 1 + f ( A ) 特 征 值 λ k λ λ k f ( λ ) λ − 1 ∣ A ∣ λ 1 λ + f ( λ ) 对 应 的 特 征 向 量 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ \\def\\arraystretch\{2\} \\begin\{array\}\{c:c:c:c:c:c:c:c\} 矩阵 & A & kA & A^k & f(A) & A^\{-1\} & A^\* & A^\{-1\} + f(A) \\\\ \\hline 特征值 & \\lambda & k\\lambda & \\lambda^k & f(\\lambda) & \\lambda^\{-1\} & \\frac\{|A|\}\{\\lambda\} & \\frac\{1\}\{\\lambda\} + f(\\lambda) \\\\ \\hline 对应的特征向量 & \\xi & \\xi&\\xi&\\xi&\\xi&\\xi&\\xi \\end\{array\} 矩阵特征值对应的特征向量AλξkAkλξAkλkξf(A)f(λ)ξA−1λ−1ξA∗λ∣A∣ξA−1\+f(A)λ1\+f(λ)ξ

## 相似矩阵 ##

A ∼ B    ⟺    P − 1 A P = B    ⟺    λ E − A ∼ λ E − B    ⟺    μ E − A ≅ μ E − B （ 其 中 μ 为 任 意 实 数 ， 即 r ( μ E − A ) = r ( μ E − B ) ）    ⟹    r ( A ) = r ( B )    ⟹    ∣ A ∣ = ∣ B ∣    ⟹    ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − B ∣    ⟹    r ( λ E − A ) = r ( λ E − B )    ⟹    A , B 特 征 值 相 同 ， 且 相 同 特 征 值 对 应 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 个 数 相 同    ⟹    ∑ a i i = ∑ b i i    ⟹    A 与 B 均 可 对 角 化 ， 或 均 不 可 对 角 化    ⟹    A ⋍ B     （ A , B 合 同 ）    ⟹    A m ∼ B m    ⟹    A T ∼ B T    ⟹    f ( A ) ∼ f ( B )    ⟹    A − 1 ∼ B − 1    ⟹    f ( A − 1 ) ∼ f ( B − 1 ) \\begin\{aligned\} & A \\sim B \\\\ \\\\ \\iff & P^\{-1\}AP = B \\\\\\\\ \\iff & \\lambda E-A \\sim \\lambda E-B \\\\\\\\ \\iff & \\mu E-A \\cong \\mu E-B （其中\\mu 为任意实数，即 r(\\mu E-A) = r(\\mu E-B)） \\\\\\\\\\\\ \\implies & r(A) = r(B) \\\\ \\\\ \\implies & |A| = |B| \\\\ \\\\ \\implies & |\\lambda E-A| = |\\lambda E-B| \\\\ \\\\ \\implies & r(\\lambda E-A) = r(\\lambda E-B) \\\\ \\\\ \\implies & A,B特征值相同，且相同特征值对应的线性无关的特征向量个数相同 \\\\ \\\\ \\implies & \\sum a\_\{ii\} = \\sum b\_\{ii\} \\\\ \\\\ \\implies & A与B均可对角化，或均不可对角化 \\\\ \\\\ \\implies & A\\backsimeq B ~~~（A,B合同） \\\\\\\\ \\implies & A^m \\sim B^m \\\\ \\\\ \\implies & A^T \\sim B^T \\\\ \\\\ \\implies & f(A) \\sim f(B) \\\\ \\\\ \\implies & A^\{-1\} \\sim B^\{-1\} \\\\ \\\\ \\implies & f(A^\{-1\}) \\sim f(B^\{-1\}) \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹A∼BP−1AP=BλE−A∼λE−BμE−A≅μE−B（其中μ为任意实数，即r(μE−A)=r(μE−B)）r(A)=r(B)∣A∣=∣B∣∣λE−A∣=∣λE−B∣r(λE−A)=r(λE−B)A,B特征值相同，且相同特征值对应的线性无关的特征向量个数相同∑aii=∑biiA与B均可对角化，或均不可对角化A⋍B   （A,B合同）Am∼BmAT∼BTf(A)∼f(B)A−1∼B−1f(A−1)∼f(B−1)

## 相似对角化 ##

A ∼ Λ    ⟺    A 有 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量    ⟺    A 的 r i 重 特 征 值 有 r i 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 A = A T       （ A 是 实 对 称 矩 阵 ）    ⟹    A 的 特 征 值 为 实 数 ， 特 征 向 量 为 实 向 量    ⟹    A ∼ Λ    ⟹    A 的 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 相 互 正 交 \\begin\{aligned\} & A \\sim \\Lambda \\\\ \\\\ \\iff & A有n个线性无关的特征向量 \\\\\\\\ \\iff & A的r\_i重特征值有r\_i个线性无关的特征向量 \\\\ \\\\ \\\\ \\\\ & A = A^T ~~~~~（A是实对称矩阵） \\\\ \\\\ \\implies & A的特征值为实数，特征向量为实向量 \\\\ \\\\ \\implies & A \\sim \\Lambda \\\\\\\\ \\implies & A的属于不同特征值的特征向量相互正交 \\\\ \\\\ \\end\{aligned\} ⟺⟺⟹⟹⟹A∼ΛA有n个线性无关的特征向量A的ri重特征值有ri个线性无关的特征向量A=AT     （A是实对称矩阵）A的特征值为实数，特征向量为实向量A∼ΛA的属于不同特征值的特征向量相互正交

# 矩阵合同 #

A ， B 合 同    ⟺    A ⋍ B    ⟺    ∃ 可 逆 矩 阵 C ， 使 得 C T A C = B    ⟺    A ， B 正 负 惯 性 指 数 相 同    ⟹    r ( A ) = r ( B ) = 不 能 推 出 ⇏ A ， B 相 似 合 同 判 别 法 ： A , B 均 为 实 对 称 矩 阵 ， A , B 合 同 的 充 分 必 要 条 件 是 A , B 的 正 负 惯 性 指 数 相 同 \\begin\{aligned\} & A，B合同 \\\\\\\\ \\iff & A \\backsimeq B \\\\\\\\ \\iff & \\exist 可逆矩阵 C，使得 C^TAC=B \\\\\\\\ \\iff & A，B正负惯性指数相同 \\\\\\\\\\\\ \\implies & r(A) = r(B) \\\\\\\\ \\xlongequal\{不能推出\}\\nRightarrow & A，B相似 \\\\\\\\\\\\ 合同判别法：& A,B均为实对称矩阵，A,B合同的充分必要条件是A,B的正负惯性指数相同 \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟹不能推出⇏合同判别法：A，B合同A⋍B∃可逆矩阵C，使得CTAC=BA，B正负惯性指数相同r(A)=r(B)A，B相似A,B均为实对称矩阵，A,B合同的充分必要条件是A,B的正负惯性指数相同

## 正定二次型 ##

f = x T A x 正 定    ⟺    对 任 意 x ≠ 0 , x T A x > 0    ⟺    f 的 正 惯 性 指 数 p = n    ⟺    ∃ 可 逆 阵 D ， 使 A = D T D    ⟺    A ⋍ E    ⟺    A 与 一 正 定 矩 阵 合 同    ⟺    ∃ 可 逆 矩 阵 P ， 使 P T A P = E    ⟺    A 的 所 有 特 征 值 λ i > 0    ⟺    A 的 全 部 顺 序 主 子 式 > 0    ⟹    a i i > 0    ⟹    ∣ A ∣ > 0    ⟹    k A , A T , A k , A − 1 , A ∗ , f ( A ) 正 定 ( A O O B ) 正 定    ⟺    A ， B 正 定 \\begin\{aligned\} & f=x^TAx正定 \\\\\\\\ \\iff & 对任意x \\ne 0, x^TAx>0 \\\\ \\\\ \\iff & f的正惯性指数 p = n \\\\ \\\\ \\iff & \\exists 可逆阵D，使 A = D^TD \\\\ \\\\ \\iff & A \\backsimeq E \\\\ \\\\ \\iff & A与一正定矩阵合同 \\\\ \\\\ \\iff & \\exists 可逆矩阵P，使 P^TAP = E \\\\\\\\ \\iff & A的所有特征值 \\lambda\_i>0 \\\\ \\\\ \\iff & A的全部顺序主子式 > 0 \\\\ \\\\ \\implies & a\_\{ii\} >0 \\\\ \\\\ \\implies & |A| > 0 \\\\ \\\\ \\implies & kA, A^T,A^k, A^\{-1\}, A^\*, f(A)正定 \\\\ \\\\ \\\\ & \\begin\{pmatrix\} A & O \\\\ O & B \\end\{pmatrix\} 正定 \\iff A，B正定 \\end\{aligned\} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺⟺⟺⟹⟹⟹f=xTAx正定对任意x=0,xTAx>0f的正惯性指数p=n∃可逆阵D，使A=DTDA⋍EA与一正定矩阵合同∃可逆矩阵P，使PTAP=EA的所有特征值λi>0A的全部顺序主子式>0aii>0∣A∣>0kA,AT,Ak,A−1,A∗,f(A)正定(AOOB)正定⟺A，B正定

## 二次型配方法（通法） ##

情 形 1 ： 二 次 型 含 有 平 方 项 ， 即 ∃ a i i ≠ 0 ， 不 妨 设 a 11 ≠ 0 1. 记 f 1 = 1 2 ∂ f ∂ x 1 2. 令 f ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . ) = 1 a 11 ( f 1 ) 2 + g ， 此 时 g 中 不 含 x 1 情 形 2 ： 二 次 型 不 含 平 方 项 ， 即 任 意 a i i = 0 ， 但 至 少 存 在 一 个 a 1 j ≠ 0 ， 不 妨 设 a 12 ≠ 0 1. 记 f 1 = 1 2 ∂ f ∂ x 1 ,    f 2 = 1 2 ∂ f ∂ x 1 2. 令 f ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . ) = 1 a 12 \[ ( f 1 + f 2 ) 2 − ( f 1 − f 2 ) 2 \] + ϕ ， 此 时 ， ϕ 不 含 x 1 , x 2 根 据 当 前 未 配 出 的 多 项 式 ， 根 据 情 况 进 行 相 应 处 理 \\begin\{aligned\} 情形1：& 二次型含有平方项，即\\exist a\_\{ii\} \\neq 0，不妨设a\_\{11\}\\neq 0 \\\\\\\\ & 1. 记 f\_1 = \\frac\{1\}\{2\} \\frac\{\\partial f\}\{\\partial x\_1\} \\\\\\\\ & 2. 令 f(x\_1, x\_2, x\_3, ...) = \\frac\{1\}\{a\_\{11\}\} (f\_1)^2 +g，此时g中不含x1 \\\\\\\\ 情形2：&二次型不含平方项，即任意 a\_\{ii\} = 0，但至少存在一个 a\_\{1j\} \\neq 0，不妨设 a\_\{12\} \\neq 0 \\\\ \\\\ & 1. 记 f\_1 = \\frac\{1\}\{2\} \\frac\{\\partial f\}\{\\partial x\_1\},~~f\_2 = \\frac\{1\}\{2\} \\frac\{\\partial f\}\{\\partial x\_1\} \\\\ \\\\ & 2. 令 f(x\_1,x\_2,x\_3,...) = \\frac\{1\}\{a\_\{12\}\} \[(f\_1+f\_2)^2 - (f\_1-f\_2)^2\] + \\phi， 此时，\\phi不含x\_1,x\_2 \\\\ \\\\ \\\\ & 根据当前未配出的多项式，根据情况进行相应处理 \\end\{aligned\} 情形1：情形2：二次型含有平方项，即∃aii=0，不妨设a11=01.记f1=21∂x1∂f2.令f(x1,x2,x3,...)=a111(f1)2\+g，此时g中不含x1二次型不含平方项，即任意aii=0，但至少存在一个a1j=0，不妨设a12=01.记f1=21∂x1∂f,  f2=21∂x1∂f2.令f(x1,x2,x3,...)=a121\[(f1\+f2)2−(f1−f2)2\]\+ϕ，此时，ϕ不含x1,x2根据当前未配出的多项式，根据情况进行相应处理

[Link 1]: https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/106039576
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9ob25nZmVpXzM1OA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20230312/f2d97cacdef045d68e1b167fc6a69ccb.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9ob25nZmVpXzM1OA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: /images/20230312/a18ce09dbe2c406884f55b0deec1e2db.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9ob25nZmVpXzM1OA_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20230312/edafab3a7faa497f854f3ce0f031d870.png