[机器学习][数学基础]高等数学概括

╰+攻爆jí腚メ 2023-06-04 10:54 10阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  1函数
 *   *  1.1常见函数
     *  1.2反函数
     *   *  1.2.3反函数的性质
     *  1.3复合函数
     *  1.4基本初等函数
     *   *  1.4.1幂函数(Power Function)
         *  1.4.2指数函数(Exponential Function)
         *  1.4.3对数函数(Logarithmic Function)
         *  1.4.4三角函数(Trigonometric Function)
 *  2极限
 *   *  2.1证明极限
     *  2.2例子
     *   *  2.2.1例1
         *  2.2.2例2
         *  2.2.3例3
     *  2.3收敛数列的性质
     *   *  2.3.1自变量 x → x 0 x \\to x\_0 x→x0时函数的极限定义
         *  2.3.2例子1
         *  2.3.3例子2
         *  2.3.4自变量  x → ∞ x \\to \\infty x→∞ 时函数的极限定义
         *  2.3.5例子3
     *  2.4函数极限的性质
     *  2.5极限存在两个准则
     *   *  2.5.1例子1
 *  3导数
 *   *  3.1常数和基本初等函数的导数公式
     *  3.2函数的和、差、积、商的求导法则
     *  3.3反函数的求导法则
     *  3.4复合函数求导法则
     *  3.5导数的应用1:函数单调性
     *   *  3.5.1曲线的凹凸性
     *  3.6导数的应用2：函数的极值与最值
     *   *  3.6.1函数的极值及其求法
         *  3.6.2求极值的步骤
         *  3.6.3 函数的最大值、最小值问题
         *   *  3.6.3.1具体求法
     *  3.7导数应用3:Taylor公式
     *   *  3.7.1几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
         *  3.7.2Taylor公式应用1
         *  3.7.3Taylor公式应用2
 *  4多元函数的极限
 *   *  4.1二元函数的定义

# 1函数 #

给定一个数集A，对A施加一个对应的法则/映射f，记做:f(A)，那么 可以得到另外一个数集B，也就是可以认为B=f(A);那么这个关系 就叫做函数关系式，简称函数。三个重要的因素: 定义域A、值域B、 对应的映射法则f。

映射的数学公式为：  
 B = f ( A ) = A + 1 B = f(A)=A+1 B=f(A)=A\+1

## 1.1常见函数 ##

常函数:  y = C y=C y=C  
一次函数:  y = a x + b y=ax+b y=ax\+b  
二次函数:  y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y=ax2\+bx\+c  
幂函数:  y = x a y=x^a y=xa  
指数函数:  y = a x y=a^x y=ax，a的取值范围为:a>0&a!=1  
对数函数:  y = l o g a ( x ) y= log\_\{a\}(x) y=loga(x), a的取值范围为: a>0&a!=1

## 1.2反函数 ##

若函数  f : D − > f ( D ) f : D -> f ( D ) f:D−>f(D) ,它存在逆映射  f − 1 : f ( D ) − > D f^-1 :f ( D ) ->D f−1:f(D)−>D，则此映射  f − 1 f^-1 f−1 称为函数  f f f的反函数.

### 1.2.3反函数的性质 ###

(1) 函数  f ( x ) f (x) f(x) 与其反函数  f − 1 ( x ) f^\{-1\}(x) f−1(x)关于直线  y = x y = x y=x对称.  
(2)若  f ( x ) f (x) f(x) 是定义在  D D D 上的单调函数，则与其反函数 f − 1 ( x ) f^\{-1\}(x) f−1(x)存在，且  f − 1 ( x ) f^\{-1\}(x) f−1(x)也是单调函数，且单调性相同。

## 1.3复合函数 ##

设函数  y = f ( u ) y = f (u) y=f(u)的定义域为 D 1 D1 D1 , 函数  u = g ( x ) u = g(x) u=g(x)在  D D D上有定义，且  g ( D ) ∈ D 1 g(D)\\in D1 g(D)∈D1，则函数  y = f \[ g ( x ) \] y = f \[g(x)\] y=f\[g(x)\], ∀ x ∈ D \{\\forall\}x\\in D ∀x∈D称为由函数  u = g ( x ) u = g(x) u=g(x) 和函数  y = f ( u ) y =f (u) y=f(u) 构成的复 合函数，其定义域为 D D D，变量  u u u 称为中间变量. 函数  f f f和  g g g 构成的复合函 数通常记为  f ◦ g f ◦ g f◦g，即  ( f ◦ g ) ( x ) = f \[ g ( x ) \] ( f ◦ g )(x) = f \[ g(x)\] (f◦g)(x)=f\[g(x)\].

## 1.4基本初等函数 ##

### 1.4.1幂函数(Power Function) ###

幂函数的定义域随a而异，但不论 a 为何值, 它在(0, + ∞ \\infty ∞)内总有定义。幂函 数图形都经过 (1, 1)点。  
 y = x a y=x^a y=xa  
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### 1.4.2指数函数(Exponential Function) ###

y = a x y=a^x y=ax(a>0,a!=1)  
定义域为 ( − ∞ , + ∞ ) (-∞, +∞) (−∞,\+∞)，值域为(0, +∞)，都通过(0, 1)点。 当a>1时，函数单调增加; 当0<a<1时，函数单调减少。  
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### 1.4.3对数函数(Logarithmic Function) ###

y = l o g a x y=log\_a^x y=logax(a>0,a!=1)  
对数函数是指数函数y=ax的反函数, 定义域为 (0,+∞),图形通过(1, 0)点。 当 a>1 时, 函数单调增 加;当 0<a<1时, 函数单 调减少。  
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### 1.4.4三角函数(Trigonometric Function) ###

y = s i n x y=sinx y=sinx与 y = c o s x y=cosx y=cosx的定义域均为(-∞,+∞)，均以 2 π 2\\pi 2π为周期。 y = s i n x y=sinx y=sinx为奇函数， y = c o s x y=cosx y=cosx为偶函数。他们都是有界函数

# 2极限 #

数列极限的定义：设 \{ x n \} \\\{x\_n\\\} \{ xn\}为一数列.若有常数a，定的正数ε(无论它有多小)， 总存在正整数 N， 使当 n > N 时，不等式  ∣ x n − a ∣ | x\_n- a | ∣xn−a∣ < ε 恒成立, 则称 a 是 数列 \{ x n \} \\\{x\_n\\\} \{ xn\}的极限或称 \{ x n \} \\\{x\_n\\\} \{ xn\}收敛于a, 记为:  
 lim ⁡ n → ∞ x n = a 或 者 x n → a ( n → ∞ ) \\lim\_\{n \\to \\infty\}x\_n=a 或者 x\_n\\to a(n \\to \\infty) n→∞limxn=a或者xn→a(n→∞)  
若这样的 a 不存在，则称数列 \{ x n \} \\\{ x\_n\\\} \{ xn\}无极限或 \{ x n \} \\\{ x\_n \\\} \{ xn\}发散或 不存在。  
 lim ⁡ n → ∞ x n = a ⟺ ∀ ε > 0 , ∃ 正 整 数 N ， 当 n > N 时 ， ∣ x n − a ∣ < ε \\lim\_\{n \\to \\infty\}x\_n=a \\Longleftrightarrow \\forall\\varepsilon >0, \\exists正整数N，当n>N时，|x\_n-a|<\\varepsilon n→∞limxn=a⟺∀ε>0,∃正整数N，当n>N时，∣xn−a∣<ε  
说明:  
(1)  ε \\varepsilon ε 是任意的，这样才能表示无限接近。  
(2) N 是相应于 ε \\varepsilon ε的，只要  N N N 存在，而不必找其最小值。

## 2.1证明极限 ##

a. 分析过程:  
从最后的结论不等式  ∣ x n − a ∣ < ε |x\_n-a|<\\varepsilon ∣xn−a∣<ε出发，

*  i. 解出 n n n应大于怎样的数， 对此数取整即得  N N N.
 *  ii. 解不出 n n n ，必须对结论不等式进行适当的放大，  
    使放大后的不等式能解出 n n n.

b. 证明过程:  
取定上述 N ，将分析过程逆推.

## 2.2例子 ##

### 2.2.1例1 ###

题：已知 x n = n + ( − 1 ) n n x\_n=\\frac\{n+(-1)^n\}\{n\} xn=nn\+(−1)n，证明数列 \{ x n \} \\\{x\_n\\\} \{ xn\}的极限为1.  
证：  
 ∣ x n − 1 ∣ = ∣ n + ( − 1 ) n n − 1 ∣ = 1 n |x\_n-1|=|\\frac\{n+(-1)^n\}\{n\}-1|=\\frac\{1\}\{n\} ∣xn−1∣=∣nn\+(−1)n−1∣=n1  
 ∀ ε > 0 ， 预 使 ∣ x n − 1 ∣ < ε ， 即 1 n < ε ， 只 要 n > 1 ε . 因 此 ， 取 N = \[ 1 ε \] ， 则 当 n > N 时 ， 就 有 ∣ n + ( − 1 ) n n − 1 ∣ < ε \\forall\\varepsilon>0，预使|x\_n-1|<\\varepsilon，即\\frac\{1\}\{n\}<\\varepsilon，只要n>\\frac\{1\}\{\\varepsilon\}.因此，取N=\[\\frac\{1\}\{\\varepsilon\}\]，则当n>N时，就有|\\frac\{n+(-1)^n\}\{n\}-1|<\\varepsilon ∀ε>0，预使∣xn−1∣<ε，即n1<ε，只要n>ε1.因此，取N=\[ε1\]，则当n>N时，就有∣nn\+(−1)n−1∣<ε  
故  
 lim ⁡ n → ∞ x n = lim ⁡ n → ∞ n + ( − 1 ) n n = 1 \\lim\_\{n\\to\\infty\}x\_n=\\lim\_\{n\\to\\infty\}\\frac\{n+(-1)^n\}\{n\}=1 n→∞limxn=n→∞limnn\+(−1)n=1

### 2.2.2例2 ###

题：证明  
 lim ⁡ n → ∞ c o s n π 2 n = 0 \\lim\_\{n\\to\\infty\}\\frac\{cos\\frac\{n\\pi\}\{2\}\}\{n\}=0 n→∞limncos2nπ=0  
分析：  
 ∣ x n − 0 ∣ = ∣ c o s n π 2 ∣ n ， ∀ ε > 0 ， 为 了 使 ∣ x n − 0 ∣ < ε ， 只 需 ∣ c o s n π 2 ∣ n < ε ， n 无 法 解 出 ！ |x\_n-0|=\\frac\{|cos\\frac\{n\\pi\}\{2\}|\}\{n\}，\\forall\\varepsilon>0，为了使|x\_n-0|<\\varepsilon，只需\\frac\{|cos\\frac\{n\\pi\}\{2\}|\}\{n\}<\\varepsilon，n无法解出！ ∣xn−0∣=n∣cos2nπ∣，∀ε>0，为了使∣xn−0∣<ε，只需n∣cos2nπ∣<ε，n无法解出！  
注意到：  
 ∣ c o s n π 2 ∣ n < = 1 n ， 故 只 需 要 1 n < ε 即 n > 1 ε \\frac\{|cos\\frac\{n\\pi\}\{2\}|\}\{n\}<=\\frac\{1\}\{n\}，故只需要\\frac\{1\}\{n\}<\\varepsilon即n>\\frac\{1\}\{\\varepsilon\} n∣cos2nπ∣<=n1，故只需要n1<ε即n>ε1  
证：  
 ∀ ε > 0 ， 取 N = \[ 1 ε \] ， 则 当 n > N 时 ， 就 有 ∣ x n − 0 ∣ = c o s n π 2 n < = 1 n < ε \\forall\\varepsilon>0，取N=\[\\frac\{1\}\{\\varepsilon\}\]，则当n>N时，就有|x\_n-0|=\\frac\{cos\\frac\{n\\pi\}\{2\}\}\{n\}<=\\frac\{1\}\{n\}<\\varepsilon ∀ε>0，取N=\[ε1\]，则当n>N时，就有∣xn−0∣=ncos2nπ<=n1<ε  
 从 而 lim ⁡ n → ∞ c o s n π 2 n = 0 从而\\lim\_\{n\\to\\infty\}\\frac\{cos\\frac\{n\\pi\}\{2\}\}\{n\}=0 从而n→∞limncos2nπ=0

### 2.2.3例3 ###

题：证明  
 lim ⁡ n → ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 ) 2 = 0 \\lim\_\{n\\to\\infty\}\\frac\{(-1)^n\}\{(n+1)^2\}=0 n→∞lim(n\+1)2(−1)n=0  
分析：  
 ∣ x n − 0 ∣ = 1 ( n + 1 ) 2 ， ∀ ε > 0 ， 为 了 使 ∣ x n − 0 ∣ < ε ， 只 需 要 1 ( n + 1 ) 2 < ε ， 即 ( n + 1 ) 2 > 1 ε , 即 n > 1 ε − 1 |x\_n-0|=\\frac\{1\}\{(n+1)^2\}，\\forall\\varepsilon>0，为了使|x\_n-0|<\\varepsilon，只需要\\frac\{1\}\{(n+1)^2\}<\\varepsilon， 即(n+1)^2>\\frac\{1\}\{\\varepsilon\},即n>\\frac\{1\}\{\\sqrt\\varepsilon\}-1 ∣xn−0∣=(n\+1)21，∀ε>0，为了使∣xn−0∣<ε，只需要(n\+1)21<ε，即(n\+1)2>ε1,即n>ε1−1  
证：  
 ∀ ε > 0 ( 设 ε < 1 ) ， 取 N = \[ 1 ε − 1 \] ， 则 放 n > N 时 就 有 ∣ ( − 1 ) n ( n + 1 ) 2 − 0 ∣ < ε ， 即 lim ⁡ n → ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 ) 2 = 0 \\forall\\varepsilon>0(设\\varepsilon<1)，取N=\[\\frac\{1\}\{\\sqrt\\varepsilon\}-1\]，则放n>N时就有|\\frac\{(-1)^n\}\{(n+1)^2\}-0|<\\varepsilon，即\\lim\_\{n\\to\\infty\}\\frac\{(-1)^n\}\{(n+1)^2\}=0 ∀ε>0(设ε<1)，取N=\[ε1−1\]，则放n>N时就有∣(n\+1)2(−1)n−0∣<ε，即n→∞lim(n\+1)2(−1)n=0

## 2.3收敛数列的性质 ##

定理1. 若数列 \{ x n \} \\\{ x\_n \\\} \{ xn\}收敛，则它的极限唯一.  
定理2. 若数列 \{ x n \} \\\{x\_n \\\} \{ xn\}收敛，则数列 \{ x n \} \\\{x\_n \\\} \{ xn\}一定有界.  
定理3. 收敛数列的保号性

### 2.3.1自变量 x → x 0 x \\to x\_0 x→x0时函数的极限定义 ###

设函数  f ( x ) f (x) f(x) 在点  x 0 x\_0 x0 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数  A A A ，对任意给定的正数 ε \\varepsilon ε(无论它有多小)，总存在正数  δ \\delta δ ，使得当  x x x 满足  0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0 < | x-x\_0 | <\\delta 0<∣x−x0∣<δ时，对应的函数值都有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε | f(x)-A|<\\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε，则称A为函数f(x)当 x → x 0 x\\to x\_0 x→x0 时 的极限, 记作:  
 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( x → x 0 ) \\lim\_\{x\\to x\_0\}f(x)=A或f(x)\\to A(x\\to x\_0) x→x0limf(x)=A或f(x)→A(x→x0)  
几何解释：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI3Njk1NjU5_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

### 2.3.2例子1 ###

题：证明  
 lim ⁡ x → 1 2 ( x 2 − 1 ) x − 1 = 4 \\lim\_\{x\\to1\}\\frac\{2(x^2-1)\}\{x-1\}=4 x→1limx−12(x2−1)=4  
分析：  
 ∣ f ( x ) − A ∣ = ∣ 2 ( x 2 − 1 ) x − 1 − 4 ∣ = ∣ 2 ( x + 1 ) − 4 ∣ = 2 ∣ x − 1 ∣ < ε |f(x)-A|=|\\frac\{2(x^2-1)\}\{x-1\}-4|=|2(x+1)-4|=2|x-1|<\\varepsilon ∣f(x)−A∣=∣x−12(x2−1)−4∣=∣2(x\+1)−4∣=2∣x−1∣<ε  
证：  
 ∀ ε > 0 ， 取 δ = ε 2 ， 当 0 < ∣ x − 1 ∣ < δ 时 ， 必 有 ∣ 2 ( x 2 − 1 ) x − 1 − 4 ∣ ， 必 有 ∣ 2 ( x 2 − 1 ) x − 1 − 4 ∣ < ε ， 因 此 lim ⁡ x → 1 2 ( x 2 − 1 ) x − 1 = 4 \\forall\\varepsilon>0，取\\delta=\\frac\{\\varepsilon\}\{2\}，当0<|x-1|<\\delta时，必有|\\frac\{2(x^2-1)\}\{x-1\}-4|，必有|\\frac\{2(x^2-1)\}\{x-1\}-4|<\\varepsilon，因此\\lim\_\{x\\to1\}\\frac\{2(x^2-1)\}\{x-1\}=4 ∀ε>0，取δ=2ε，当0<∣x−1∣<δ时，必有∣x−12(x2−1)−4∣，必有∣x−12(x2−1)−4∣<ε，因此x→1limx−12(x2−1)=4

### 2.3.3例子2 ###

试证明函数  
 f ( x ) = \{ e x , x < 1 0 , x = 1 x + 1 , x > 1 f(x)=\\left\\\{ \\begin\{aligned\} e^x,x<1\\\\ 0,x=1\\\\ x+1,x>1 \\end\{aligned\} \\right. f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ex,x<10,x=1x\+1,x>1  
当 x → 1 x\\to 1 x→1时极限不存在。  
证明：  
从右图易见，  
 lim ⁡ x → 1 − f ( x ) = lim ⁡ x → 1 − e x = e lim ⁡ x → 1 + f ( x ) = lim ⁡ x → 1 + ( x + 1 ) = 2 \\lim\_\{x\\to1^-\}f(x)=\\lim\_\{x\\to 1^-\}e^x=e \\\\ \\lim\_\{x\\to1^+\}f(x)=\\lim\_\{x\\to 1^+\}(x+1)=2 x→1−limf(x)=x→1−limex=ex→1\+limf(x)=x→1\+lim(x\+1)=2  
显然 e ≠ 2 e\\neq2 e=2从而  
 lim ⁡ x → 1 − f ( x ) ≠ lim ⁡ x → 1 + f ( x ) \\lim\_\{x\\to1^-\}f(x)\\neq\\lim\_\{x\\to1^+\}f(x) x→1−limf(x)=x→1\+limf(x)  
故极限不存在  
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### 2.3.4自变量  x → ∞ x \\to \\infty x→∞ 时函数的极限定义 ###

设函数  f ( x ) f (x) f(x) 在当 ∣ x ∣ | x | ∣x∣ 大于某一正数时有定义。如果存在常数  A A A ，对任意 给定的正数  ε \\varepsilon ε(无论它有多小)，总存在正数  X X X ，使得当  x x x 满足 ∣ x ∣ > X | x | > X ∣x∣>X 时，对应的函数值都有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|< \\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε，则称 A A A为函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → ∞ x\\to\\infty x→∞时的极限, 记作  
 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( x → x 0 ) \\lim\_\{x\\to x\_0\}f(x)=A或f(x)\\to A(x\\to x\_0) x→x0limf(x)=A或f(x)→A(x→x0)

### 2.3.5例子3 ###

题：  
证明  
 lim ⁡ n → ∞ 1 x = 0 \\lim\_\{n\\to\\infty\}\\frac\{1\}\{x\}=0 n→∞limx1=0  
分析：  
 欲 使 ∣ 1 x − 0 ∣ = 1 ∣ x ∣ < ε ， 即 ∣ x ∣ > 1 ε 欲使|\\frac\{1\}\{x\}-0|=\\frac\{1\}\{|x|\}<\\varepsilon，即|x|>\\frac\{1\}\{\\varepsilon\} 欲使∣x1−0∣=∣x∣1<ε，即∣x∣>ε1  
证：  
 ∀ ε > 0 ， 取 x = 1 ε ， 则 当 ∣ x ∣ > X 时 ， 就 有 ∣ 1 x − 0 ∣ < ε ， 因 此 lim ⁡ n → ∞ 1 x = 0 \\forall\\varepsilon>0，取x=\\frac\{1\}\{\\varepsilon\}，则当|x|>X时，就有|\\frac\{1\}\{x\}-0|<\\varepsilon，因此\\lim\_\{n\\to\\infty\}\\frac\{1\}\{x\}=0 ∀ε>0，取x=ε1，则当∣x∣>X时，就有∣x1−0∣<ε，因此n→∞limx1=0

## 2.4函数极限的性质 ##

定理 1(函数极限唯一性)

*  如果 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \\lim\_\{x\\to x\_0\}f(x) limx→x0f(x)存在，则极限唯一

定理 2(函数极限的局部有界性)

*  若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \\lim\_\{x\\to x\_0\}f(x)=A limx→x0f(x)=A，则存在常数M>0和 δ > 0 \\delta>0 δ>0，使得当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x\_0|<\\delta 0<∣x−x0∣<δ时，有 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)| \\leq M ∣f(x)∣≤M

定理 3 (函数极限的局部保号性)

*  若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \\lim\_\{x\\to x\_0\}f(x)=A limx→x0f(x)=A，而且 A > 0 ( A < 0 ) A>0(A<0) A>0(A<0)，那么存在常数 δ > 0 \\delta>0 δ>0，使得当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x\_0|<\\delta 0<∣x−x0∣<δ，有 f ( x ) > 0 ( f ( x ) < 0 ) f(x)>0(f(x)<0) f(x)>0(f(x)<0)

## 2.5极限存在两个准则 ##

准则I (两边夹):若数列 \{ x n \} , \{ y n \} 和 \{ z n \} \\\{ x\_n \\\}, \\\{ y\_n \\\} 和 \\\{ z\_n \\\} \{ xn\},\{ yn\}和\{ zn\} 满足下列条件:

*   ∃ n 0 ∈ N ， 当 n > n 0 时 ， y n ≤ x n ≤ z n \\exist n\_0 \\in N，当n>n\_0时，y\_n \\leq x\_n \\leq z\_n ∃n0∈N，当n>n0时，yn≤xn≤zn
 *   lim ⁡ n → ∞ y n = a ， lim ⁡ n → ∞ z n = a \\lim\_\{n \\to \\infty\}y\_n=a，\\lim\_\{n \\to \\infty\}z\_n=a limn→∞yn=a，limn→∞zn=a

准则II :单调有界数列必有极限。  
注意：  
 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e 或 者 lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \\lim\_\{x\\to 0\}\\frac\{\\sin x\}\{x\}=1 \\\\ \\lim\_\{x\\to \\infty\}(1+\\frac\{1\}\{x\})^x=e 或者 \\lim\_\{x\\to0\}(1+x)^\\frac\{1\}\{x\}=e x→0limxsinx=1x→∞lim(1\+x1)x=e或者x→0lim(1\+x)x1=e

### 2.5.1例子1 ###

题：求  
 lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 2 x ) x \\lim\_\{x\\to\\infty\}(1+\\frac\{1\}\{2x\}) ^x x→∞lim(1\+2x1)x  
解:  
 lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 2 x ) x = lim ⁡ x → ∞ \[ ( 1 + 1 2 x ) 2 x \] 1 2 = e 1 2 \\lim\_\{x\\to\\infty\}(1+\\frac\{1\}\{2x\}) ^x=\\lim\_\{x\\to\\infty\}\[(1+\\frac\{1\}\{2x\})^\{2x\}\]^\\frac\{1\}\{2\}=e^\\frac\{1\}\{2\} x→∞lim(1\+2x1)x=x→∞lim\[(1\+2x1)2x\]21=e21

# 3导数 #

定义：设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x\_0 x0的某邻域内有定义，若  
 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x Δ y = f ( x ) − f ( x 0 ) Δ x = x − x 0 \\lim\_\{x\\to x\_0\}\\frac\{f(x)-f(x\_0)\}\{x-x\_0\}=\\lim\_\{\\Delta x \\to0\}\\frac\{\\Delta y\}\{\\Delta x\} \\\\ \\Delta y=f(x)-f(x\_0)\\\\ \\Delta x=x-x\_0 x→x0limx−x0f(x)−f(x0)=Δx→0limΔxΔyΔy=f(x)−f(x0)Δx=x−x0  
存在, 则称函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x\_0 x0处可导，并称此极限为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x\_0 x0的导数。记做：  
 y ′ ∣ x = x 0 ; f ′ ( x 0 ) ; d y d x ∣ x = x 0 ; d f ( x ) d x ∣ x = x 0 即 y ′ ∣ x = x 0 = f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x y'|\_\{x=x\_0\};f'(x\_0);\\frac\{dy\}\{dx\}|\_\{x=x\_0\};\\frac\{df(x)\}\{dx\}|\_\{x=x\_0\}即\\\\ y'|\{x=x\_0\}=f'(x)=\\lim\_\{\\Delta x\\to0\}\\frac\{\\Delta y\}\{\\Delta x\}\\\\ =\\lim\_\{\\Delta x\\to0\}\\frac\{f(x\_0+\\Delta x)-f(x\_0)\}\{\\Delta x\} y′∣x=x0;f′(x0);dxdy∣x=x0;dxdf(x)∣x=x0即y′∣x=x0=f′(x)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0\+Δx)−f(x0)

## 3.1常数和基本初等函数的导数公式 ##

( C ) ′ = 0 , ( x μ ) ′ = μ x μ − 1 , ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x , ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x , ( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x , ( cot ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ 2 x , ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x , ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x , ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a , ( e x ) ′ = e x , ( log ⁡ a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a , ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x , ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 , ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 , ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 , ( a r c c o t x ) ′ = − 1 1 + x 2 , (C )'=0,\\\\ (x^\\mu)'=\\mu x^\{\\mu-1\},\\\\ (\\sin x)'=\\cos x,\\\\ (\\cos x)'=-\\sin x,\\\\ (\\tan x)'=\\sec^2 x,\\\\ (\\cot x)'=-\\csc^2 x,\\\\ (\\sec x)'=\\sec x\\tan x,\\\\ (\\csc x)'=-\\csc x\\cot x,\\\\ (a^x)'=a^x \\ln a,\\\\ (e^x)'=e^x,\\\\ (\\log\_ax)'=\\frac\{1\}\{x\\ln\_a\},\\\\ (\\ln x)'=\\frac\{1\}\{x\},\\\\ (\\arcsin x)'=\\frac\{1\}\{\\sqrt \{1-x^2\}\},\\\\ (\\arccos x)'=-\\frac\{1\}\{\\sqrt \{1-x^2\}\},\\\\ (\\arctan x)'=\\frac\{1\}\{1+x^2\},\\\\ (arccot x)'=-\\frac\{1\}\{1+x^2\}, (C)′=0,(xμ)′=μxμ−1,(sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx,(tanx)′=sec2x,(cotx)′=−csc2x,(secx)′=secxtanx,(cscx)′=−cscxcotx,(ax)′=axlna,(ex)′=ex,(logax)′=xlna1,(lnx)′=x1,(arcsinx)′=1−x21,(arccosx)′=−1−x21,(arctanx)′=1\+x21,(arccotx)′=−1\+x21,

## 3.2函数的和、差、积、商的求导法则 ##

设  u = u ( x ) , v = v ( x ) u = u(x),v = v(x) u=u(x),v=v(x)都可导,则

*   ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ (u\\pm v)'=u'\\pm v' (u±v)′=u′±v′
 *   ( C u ) ′ = C u ′ (Cu)'=Cu' (Cu)′=Cu′（C是常数）
 *   ( u v ) ′ = u ′ v ± u v ′ (uv)'=u'v\\pm uv' (uv)′=u′v±uv′
 *   ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 ( v ≠ 0 ) (\\frac\{u\}\{v\})'=\\frac\{u'v-uv'\}\{v^2\}(v\\neq 0) (vu)′=v2u′v−uv′(v=0)

## 3.3反函数的求导法则 ##

如果函数 x = f ( y ) x=f(y) x=f(y)在区间 I y I\_y Iy内单调、可导且 f ′ ( y ) ≠ 0 f'(y)\\neq0 f′(y)=0，则他的反函数 y = f − 1 ( x ) y=f^\{-1\}(x) y=f−1(x)在区间 I x = x ∣ x = f ( y ) , y ∈ I y I\_x=\{x|x=f(y),y\\in I\_y\} Ix=x∣x=f(y),y∈Iy内也可导，且有 \[ f − 1 ( x ) \] ′ = 1 f ′ ( y ) \[f^\{-1\}(x)\]'=\\frac\{1\}\{f'(y)\} \[f−1(x)\]′=f′(y)1或者 d y d x = 1 d x d y \\frac\{dy\}\{dx\}=\\frac\{1\}\{\\frac\{dx\}\{dy\}\} dxdy=dydx1

## 3.4复合函数求导法则 ##

设 y = f ( u ) , u = φ ( x ) y=f(u),u=\\varphi(x) y=f(u),u=φ(x)，则复合函数 y = f \[ φ ( x ) \] y=f\[\\varphi(x)\] y=f\[φ(x)\]的倒数为：  
 d y d x = d y d u ∗ d u d x = f ′ ( u ) ∗ φ ′ ( x ) \\frac\{dy\}\{dx\}=\\frac\{dy\}\{du\}\*\\frac\{du\}\{dx\}=f'(u)\*\\varphi'(x) dxdy=dudy∗dxdu=f′(u)∗φ′(x)

## 3.5导数的应用1:函数单调性 ##

通过函数的导数的值，可以判断出函数的单调性、驻点以及极值点: **若导数大于0，则单调递增;若导数小于0，则单调递减**;导数等于零d的点为函数**驻点**。  
如果函数的导函数在某一个区间内恒大于零(或恒小于零)，那么函数  
在这一个区间单调递增(或单调递减)，这种区间就叫做**单调区间**。  
函数的驻点和不可导点处函数有可能取得极大值或者极小值(即极值可疑点);对于极值点的判断需要判断驻点附近的导函数的值符号，如果存在使得之前区间上导函数值都大于零，而之后的区间上都小于零，那么这个 点就是一个极大值点，反之则是一个极小值点。

### 3.5.1曲线的凹凸性 ###

定义函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间I上连续, ∀ x 1 , x 2 ∈ I \\forall x\_1,x\_2 \\in I ∀x1,x2∈I，  
(1)若恒有  
 f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 f(\\frac\{x\_1+x\_2\}\{2\})<\\frac\{f(x\_1)+f(x\_2)\}\{2\} f(2x1\+x2)<2f(x1)\+f(x2)  
则称 f ( x ) f(x) f(x)的图形是凹的。  
(2)若恒有  
 f ( x 1 + x 2 2 ) > f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 f(\\frac\{x\_1+x\_2\}\{2\})>\\frac\{f(x\_1)+f(x\_2)\}\{2\} f(2x1\+x2)>2f(x1)\+f(x2)  
则称 f ( x ) f(x) f(x)的图形是凸的。  
连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为曲线的**拐点**  
**定理(凹凸判定法)**  
设函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上有二阶导数  
(1)在 I I I内 f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x)>0 f′′(x)>0，则 f ( x ) f(x) f(x)在 I I I内图形是凹的；  
(2)在 I I I内 f ′ ′ ( x ) < 0 f''(x)<0 f′′(x)<0，则 f ( x ) f(x) f(x)在 I I I内图形是凸的。

## 3.6导数的应用2：函数的极值与最值 ##

### 3.6.1函数的极值及其求法 ###

1.定义设函数  f ( x ) f(x) f(x)在 x x x 的某个邻域 U ( x 0 , δ ) U(x\_0 ,\\delta) U(x0,δ)有定义, 且当  x ∈ U ( x 0 , δ ) x\\in U(x\_0,\\delta) x∈U(x0,δ)时,恒有  f ( x ) < f ( x 0 ) f(x)<f(x\_0) f(x)<f(x0),则称 f ( x 0 ) f(x\_0) f(x0)  
为  f ( x ) f(x) f(x)的一个**极大值**;如果当 x ∈ U ( x 0 , δ ) x\\in U(x\_0,\\delta) x∈U(x0,δ)时,恒有 f ( x ) > f ( x 0 ) f(x)>f(x\_0) f(x)>f(x0),则称 f ( x 0 ) 为 f ( x ) f(x\_0)为f(x) f(x0)为f(x)的一个**极小值**.  
2.函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为**极值点**.  
3.若  f ( x ) f(x) f(x)在极值点 x 0 x\_0 x0 处可导，则  f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x\_0)=0 f′(x0)=0.  
4.导数等于零的点称为驻点.  
5.对可导函数来讲,极值点必为驻点,

### 3.6.2求极值的步骤 ###

(1) 确定函数的定义域; (2)求导数  f ′ ( x ) f'(x) f′(x);  
(3) 求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或一阶导数不存在的点);  
(4) 用极值的判定第一或第二充分条件.注意第二充分条件只能 判定驻点的情形.

### 3.6.3 函数的最大值、最小值问题 ###

极值是局部性的,而最值是全局性的.  
若函数  f ( x ) f(x) f(x)在  \[ a , b \] \[a,b\] \[a,b\]上连续，则  f ( x ) f(x) f(x)在  \[ a , b \] \[a,b\] \[a,b\] 上的最大值与最小值存在 .

#### 3.6.3.1具体求法 ####

(1) 求出定义域内部的极值嫌疑点(驻点和不可导点)  x 1 , . . . , x k , x\_1,...,x\_k, x1,...,xk,并算出函数值  f ( x i ) ( i = 1 , 2 , . . . . , k ) f(x\_i)(i=1,2,....,k) f(xi)(i=1,2,....,k);  
(2) 求出端点的函数值  f ( a ) , f ( b ) f (a), f (b) f(a),f(b) ;  
(3) 最大值  M = m a x \{ f ( x 1 ) , . . . . , f ( x k ) , f ( a ) , f ( b ) \} M=max\\\{f(x\_1),....,f(x\_k),f(a),f(b)\\\} M=max\{ f(x1),....,f(xk),f(a),f(b)\}  
最小值  m = m i n \{ f ( x 1 ) , . . . . , f ( x k ) , f ( a ) , f ( b ) \} m=min\\\{f(x\_1),....,f(x\_k),f(a),f(b)\\\} m=min\{ f(x1),....,f(xk),f(a),f(b)\}.

## 3.7导数应用3:Taylor公式 ##

Taylor(泰勒)公式是用一个函数在某点的信息描述其附近取值的公式。 如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下， Taylor公式可以**利用这些导数值来做系数构建一个多项式近似函数在这 一点的邻域中的值。**

若函数 f ( x ) f(x) f(x)在包含 x 0 x\_0 x0的某个闭区间 \[ a , b \] \[a,b\] \[a,b\]上具有 n n n阶函数，且在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上具有 n + 1 n+1 n\+1阶函数，则对闭区间 \[ a , b \] \[a,b\] \[a,b\]上任意一点 x x x，有Taylor公式如下:  ( f ( n ) ( x ) (f^\{(n)\}(x) (f(n)(x)表示 f ( x ) f(x) f(x)的 n n n阶导数， R n ( x ) R\_n(x) Rn(x)是Taylor公式的余项，是 ( x − x 0 ) n (x-x\_0)^n (x−x0)n的高阶无 穷小)

Taylor公式：  
 f ( x ) = f ( x 0 ) 0 ! + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . . + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=\\frac\{f(x\_0)\}\{0!\}+\\frac\{f'(x\_0)\}\{1!\}(x-x\_0)+\\frac\{f''(x\_0)\}\{2!\}(x-x\_0)^2+....+\\frac\{f^\{(n)\}(x\_0)\}\{n!\}(x-x\_0)^n+R\_n(x) f(x)=0!f(x0)\+1!f′(x0)(x−x0)\+2!f′′(x0)(x−x0)2\+....\+n!f(n)(x0)(x−x0)n\+Rn(x)  
麦克劳林公式:  
 f ( x ) = f ( 0 ) 0 ! + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + . . . + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + R n ( x ) f(x)=\\frac\{f(0)\}\{0!\}+\\frac\{f'(0)\}\{1!\}x+\\frac\{f''(0)\}\{2!\}x^2+...+\\frac\{f^\{(n)\}(0)\}\{n!\}x^n+R\_n(x) f(x)=0!f(0)\+1!f′(0)x\+2!f′′(0)x2\+...\+n!f(n)(0)xn\+Rn(x)  
 0 ! = 1 1 ! = 1 n ! = n ∗ ( n − 1 ) ! 0!=1\\\\1!=1\\\\n!=n\*(n-1)! 0!=11!=1n!=n∗(n−1)!  
Taylor公式-余项:  
 f ( x ) = Σ k = 0 n f ( k ) ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k + R n ( x ) f(x)=\\varSigma^n\_\{k=0\}\\frac\{f^\{(k)\}(x\_0)\}\{k!\}(x-x\_0)^k+R\_n(x) f(x)=Σk=0nk!f(k)(x0)(x−x0)k\+Rn(x)  
佩亚诺(Peano)余项:  
 R n ( x ) = o \[ ( x − x 0 ) n \] R\_n(x)=o\[(x-x\_0)^n\] Rn(x)=o\[(x−x0)n\]  
拉格朗日余项：  
 R n ( x ) = f ( n + 1 ) \[ x 0 + θ ( x − x 0 ) \] ( x − x 0 ) n + 1 ( x + 1 ) ! R\_n(x)=f^\{(n+1)\}\[x\_0+\\theta(x-x\_0)\]\\frac\{(x-x\_0)^\{n+1\}\}\{(x+1)!\} Rn(x)=f(n\+1)\[x0\+θ(x−x0)\](x\+1)!(x−x0)n\+1

### 3.7.1几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式 ###

e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + . . . . . + 1 n ! x n + o ( x n ) sin ⁡ x = x − 1 3 ! x 3 + . . . . . + ( − 1 ) m − 1 ( 2 m − 1 ) ! + o ( x 2 m − 1 ) cos ⁡ x = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − . . . . + ( − 1 ) m ( 2 m ) ! x 2 m + o ( x 2 m ) ln ⁡ ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − . . . . . + ( − 1 ) n − 1 n x n + o ( x n ) 1 1 − x = 1 + x + x 2 + . . . + x n + o ( x n ) ( 1 + x ) m = 1 + m x + m ( m − 1 ) 2 ! x 2 + . . . . + m ( m − 1 ) . . . . ( m − n + 1 ) n ! x n + o ( x n ) e^x=1+x+\\frac\{1\}\{2!\}x^2+.....+\\frac\{1\}\{n!\}x^n+o(x^n)\\\\ \\sin x=x-\\frac\{1\}\{3!\}x^3+.....+\\frac\{(-1)^\{m-1\}\}\{(2m-1)!\}+o(x^\{2m-1\})\\\\ \\cos x=1-\\frac\{1\}\{2!\}x^2+\\frac\{1\}\{4!\}x^4-....+\\frac\{(-1)^m\}\{(2m)!\}x^\{2m\}+o(x^\{2m\})\\\\ \\ln (1+x)=x-\\frac\{1\}\{2\}x^2+\\frac\{1\}\{3\}x^3-.....+\\frac\{(-1)^\{n-1\}\}\{n\}x^n+o(x^n)\\\\ \\frac\{1\}\{1-x\}=1+x+x^2+...+x^n+o(x^n)\\\\ (1+x)^m=1+mx+\\frac\{m(m-1)\}\{2!\}x^2+....+\\frac\{m(m-1)....(m-n+1)\}\{n!\}x^n+o(x^n) ex=1\+x\+2!1x2\+.....\+n!1xn\+o(xn)sinx=x−3!1x3\+.....\+(2m−1)!(−1)m−1\+o(x2m−1)cosx=1−2!1x2\+4!1x4−....\+(2m)!(−1)mx2m\+o(x2m)ln(1\+x)=x−21x2\+31x3−.....\+n(−1)n−1xn\+o(xn)1−x1=1\+x\+x2\+...\+xn\+o(xn)(1\+x)m=1\+mx\+2!m(m−1)x2\+....\+n!m(m−1)....(m−n\+1)xn\+o(xn)

### 3.7.2Taylor公式应用1 ###

展开三角函数 y = s i n ( x ) y=sin(x) y=sin(x)(使用麦克劳林公式进行展开操作)  
 f ( n ) ( x ) = sin ⁡ ( x + n π 2 ) f^\{(n)\}(x)=\\sin (x+\\frac\{n\\pi\}\{2\}) f(n)(x)=sin(x\+2nπ)  
 sin ⁡ x = x − 1 3 ! x 3 + . . . . . + ( − 1 ) m − 1 ( 2 m − 1 ) ! + R 2 m − 1 ( x ) \\sin x=x-\\frac\{1\}\{3!\}x^3+.....+\\frac\{(-1)^\{m-1\}\}\{(2m-1)!\}+R\_\{2m-1\}(x) sinx=x−3!1x3\+.....\+(2m−1)!(−1)m−1\+R2m−1(x)

### 3.7.3Taylor公式应用2 ###

计算近似值  
 e = lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 n ) n e=\\lim\_\{x\\to\\infty\}(1+\\frac\{1\}\{n\})^n e=x→∞lim(1\+n1)n  
并估计误差值  
 e x ≈ Σ k = 0 n e x 0 k ! ⇒ 令 x 0 = 0 e x ≈ 1 + x + 1 2 ! x 2 + . . . . . + 1 n ! x n ⇒ 令 x = 1 e ≈ 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 n ! ≈ 令 n = 10 e ≈ 2.7182815 e^x\\approx \\Sigma^n\_\{k=0\}\\frac\{e^\{x\_0\}\}\{k!\}\\Rightarrow^\{令x\_0=0\}e^x\\approx1+x+\\frac\{1\}\{2!\}x^2+.....+\\frac\{1\}\{n!\}x^n\\Rightarrow^\{令x=1\}e\\approx 1+1+\\frac\{1\}\{2!\}+...+\\frac\{1\}\{n!\}\\approx^\{令n=10\}e\\approx2.7182815 ex≈Σk=0nk!ex0⇒令x0=0ex≈1\+x\+2!1x2\+.....\+n!1xn⇒令x=1e≈1\+1\+2!1\+...\+n!1≈令n=10e≈2.7182815

# 4多元函数的极限 #

## 4.1二元函数的定义 ##

设 D D D是平面上的一个点集，如果对于每个点  P ( x , y ) ∈ D P(x, y)\\in D P(x,y)∈D，变量 z z z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称  z z z是变量$ x, y$的二元函数，记为  
 z = f ( x , y ) ( 或 记 为 z = f ( P ) ) z= f(x,y)(或记为z= f(P)) z=f(x,y)(或记为z=f(P))  
定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

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