文章目录

• 1函数
• • 1.1常见函数
  • 1.2反函数
  • • 1.2.3反函数的性质
  • 1.3复合函数
  • 1.4基本初等函数
  • • 1.4.1幂函数(Power Function)
    • 1.4.2指数函数(Exponential Function)
    • 1.4.3对数函数(Logarithmic Function)
    • 1.4.4三角函数(Trigonometric Function)
• 2极限
• • 2.1证明极限
  • 2.2例子
  • • 2.2.1例1
    • 2.2.2例2
    • 2.2.3例3
  • 2.3收敛数列的性质
  • • 2.3.1自变量 x → x 0 x \to x_0 x→x0​时函数的极限定义
    • 2.3.2例子1
    • 2.3.3例子2
    • 2.3.4自变量 x → ∞ x \to \infty x→∞ 时函数的极限定义
    • 2.3.5例子3
  • 2.4函数极限的性质
  • 2.5极限存在两个准则
  • • 2.5.1例子1
• 3导数
• • 3.1常数和基本初等函数的导数公式
  • 3.2函数的和、差、积、商的求导法则
  • 3.3反函数的求导法则
  • 3.4复合函数求导法则
  • 3.5导数的应用1:函数单调性
  • • 3.5.1曲线的凹凸性
  • 3.6导数的应用2：函数的极值与最值
  • • 3.6.1函数的极值及其求法
    • 3.6.2求极值的步骤
    • 3.6.3 函数的最大值、最小值问题
    • • 3.6.3.1具体求法
  • 3.7导数应用3:Taylor公式
  • • 3.7.1几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
    • 3.7.2Taylor公式应用1
    • 3.7.3Taylor公式应用2
• 4多元函数的极限
• • 4.1二元函数的定义

1函数

给定一个数集A，对A施加一个对应的法则/映射f，记做:f(A)，那么 可以得到另外一个数集B，也就是可以认为B=f(A);那么这个关系 就叫做函数关系式，简称函数。三个重要的因素: 定义域A、值域B、 对应的映射法则f。

映射的数学公式为：
B = f ( A ) = A + 1 B = f(A)=A+1 B=f(A)=A+1

1.1常见函数

常函数: y = C y=C y=C
一次函数: y = a x + b y=ax+b y=ax+b
二次函数: y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c
幂函数: y = x a y=x^a y=xa
指数函数: y = a x y=a^x y=ax，a的取值范围为:a>0&a!=1
对数函数: y = l o g a ( x ) y= log_{a}(x) y=loga​(x), a的取值范围为: a>0&a!=1

1.2反函数

若函数 f : D − > f ( D ) f : D -> f ( D ) f:D−>f(D) ,它存在逆映射 f − 1 : f ( D ) − > D f^-1 :f ( D ) ->D f−1:f(D)−>D，则此映射 f − 1 f^-1 f−1 称为函数 f f f的反函数.

1.2.3反函数的性质

(1) 函数 f ( x ) f (x) f(x) 与其反函数 f − 1 ( x ) f^{-1}(x) f−1(x)关于直线 y = x y = x y=x对称.
(2)若 f ( x ) f (x) f(x) 是定义在 D D D 上的单调函数，则与其反函数 f − 1 ( x ) f^{-1}(x) f−1(x)存在，且 f − 1 ( x ) f^{-1}(x) f−1(x)也是单调函数，且单调性相同。

1.3复合函数

设函数 y = f ( u ) y = f (u) y=f(u)的定义域为 D 1 D1 D1 , 函数 u = g ( x ) u = g(x) u=g(x)在 D D D上有定义，且 g ( D ) ∈ D 1 g(D)\in D1 g(D)∈D1，则函数 y = f [ g ( x ) ] y = f [g(x)] y=f[g(x)], ∀ x ∈ D {\forall}x\in D ∀x∈D称为由函数 u = g ( x ) u = g(x) u=g(x) 和函数 y = f ( u ) y =f (u) y=f(u) 构成的复 合函数，其定义域为 D D D，变量 u u u 称为中间变量. 函数 f f f和 g g g 构成的复合函 数通常记为 f ◦ g f ◦ g f◦g，即 ( f ◦ g ) ( x ) = f [ g ( x ) ] ( f ◦ g )(x) = f [ g(x)] (f◦g)(x)=f[g(x)].

1.4基本初等函数

1.4.1幂函数(Power Function)

幂函数的定义域随a而异，但不论 a 为何值, 它在(0, + ∞ \infty ∞)内总有定义。幂函 数图形都经过 (1, 1)点。
y = x a y=x^a y=xa

1.4.2指数函数(Exponential Function)

y = a x y=a^x y=ax(a>0,a!=1)
定义域为 ( − ∞ , + ∞ ) (-∞, +∞) (−∞,+∞)，值域为(0, +∞)，都通过(0, 1)点。 当a>1时，函数单调增加; 当0<a<1时，函数单调减少。

1.4.3对数函数(Logarithmic Function)

y = l o g a x y=log_a^x y=logax​(a>0,a!=1)
对数函数是指数函数y=ax的反函数, 定义域为 (0,+∞),图形通过(1, 0)点。 当 a>1 时, 函数单调增 加;当 0<a<1时, 函数单 调减少。

1.4.4三角函数(Trigonometric Function)

y = s i n x y=sinx y=sinx与 y = c o s x y=cosx y=cosx的定义域均为(-∞,+∞)，均以 2 π 2\pi 2π为周期。 y = s i n x y=sinx y=sinx为奇函数， y = c o s x y=cosx y=cosx为偶函数。他们都是有界函数

2极限

数列极限的定义：设 { x n } \{x_n\} { xn​}为一数列.若有常数a，定的正数ε(无论它有多小)， 总存在正整数 N， 使当 n > N 时，不等式 ∣ x n − a ∣ | x_n- a | ∣xn​−a∣ < ε 恒成立, 则称 a 是 数列 { x n } \{x_n\} { xn​}的极限或称 { x n } \{x_n\} { xn​}收敛于a, 记为:
lim ⁡ n → ∞ x n = a 或 者 x n → a ( n → ∞ ) \lim_{n \to \infty}x_n=a 或者 x_n\to a(n \to \infty) n→∞lim​xn​=a或者xn​→a(n→∞)
若这样的 a 不存在，则称数列 { x n } \{ x_n\} { xn​}无极限或 { x n } \{ x_n \} { xn​}发散或 不存在。
lim ⁡ n → ∞ x n = a ⟺ ∀ ε > 0 , ∃ 正 整 数 N ， 当 n > N 时 ， ∣ x n − a ∣ < ε \lim_{n \to \infty}x_n=a \Longleftrightarrow \forall\varepsilon >0, \exists正整数N，当n>N时，|x_n-a|<\varepsilon n→∞lim​xn​=a⟺∀ε>0,∃正整数N，当n>N时，∣xn​−a∣<ε
说明:
(1) ε \varepsilon ε 是任意的，这样才能表示无限接近。
(2) N 是相应于 ε \varepsilon ε的，只要 N N N 存在，而不必找其最小值。

2.1证明极限

a. 分析过程:
从最后的结论不等式 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<\varepsilon ∣xn​−a∣<ε出发，

• i. 解出 n n n应大于怎样的数， 对此数取整即得 N N N.
• ii. 解不出 n n n ，必须对结论不等式进行适当的放大，
  使放大后的不等式能解出 n n n.

b. 证明过程:
取定上述 N ，将分析过程逆推.

2.2例子

2.2.1例1

题：已知 x n = n + ( − 1 ) n n x_n=\frac{n+(-1)^n}{n} xn​=nn+(−1)n​，证明数列 { x n } \{x_n\} { xn​}的极限为1.
证：
∣ x n − 1 ∣ = ∣ n + ( − 1 ) n n − 1 ∣ = 1 n |x_n-1|=|\frac{n+(-1)^n}{n}-1|=\frac{1}{n} ∣xn​−1∣=∣nn+(−1)n​−1∣=n1​
∀ ε > 0 ， 预 使 ∣ x n − 1 ∣ < ε ， 即 1 n < ε ， 只 要 n > 1 ε . 因 此 ， 取 N = [ 1 ε ] ， 则 当 n > N 时 ， 就 有 ∣ n + ( − 1 ) n n − 1 ∣ < ε \forall\varepsilon>0，预使|x_n-1|<\varepsilon，即\frac{1}{n}<\varepsilon，只要n>\frac{1}{\varepsilon}.因此，取N=[\frac{1}{\varepsilon}]，则当n>N时，就有|\frac{n+(-1)^n}{n}-1|<\varepsilon ∀ε>0，预使∣xn​−1∣<ε，即n1​<ε，只要n>ε1​.因此，取N=[ε1​]，则当n>N时，就有∣nn+(−1)n​−1∣<ε
故
lim ⁡ n → ∞ x n = lim ⁡ n → ∞ n + ( − 1 ) n n = 1 \lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n+(-1)^n}{n}=1 n→∞lim​xn​=n→∞lim​nn+(−1)n​=1

2.2.2例2

题：证明
lim ⁡ n → ∞ c o s n π 2 n = 0 \lim_{n\to\infty}\frac{cos\frac{n\pi}{2}}{n}=0 n→∞lim​ncos2nπ​​=0
分析：
∣ x n − 0 ∣ = ∣ c o s n π 2 ∣ n ， ∀ ε > 0 ， 为 了 使 ∣ x n − 0 ∣ < ε ， 只 需 ∣ c o s n π 2 ∣ n < ε ， n 无 法 解 出 ！ |x_n-0|=\frac{|cos\frac{n\pi}{2}|}{n}，\forall\varepsilon>0，为了使|x_n-0|<\varepsilon，只需\frac{|cos\frac{n\pi}{2}|}{n}<\varepsilon，n无法解出！ ∣xn​−0∣=n∣cos2nπ​∣​，∀ε>0，为了使∣xn​−0∣<ε，只需n∣cos2nπ​∣​<ε，n无法解出！
注意到：
∣ c o s n π 2 ∣ n < = 1 n ， 故 只 需 要 1 n < ε 即 n > 1 ε \frac{|cos\frac{n\pi}{2}|}{n}<=\frac{1}{n}，故只需要\frac{1}{n}<\varepsilon即n>\frac{1}{\varepsilon} n∣cos2nπ​∣​<=n1​，故只需要n1​<ε即n>ε1​
证：
∀ ε > 0 ， 取 N = [ 1 ε ] ， 则 当 n > N 时 ， 就 有 ∣ x n − 0 ∣ = c o s n π 2 n < = 1 n < ε \forall\varepsilon>0，取N=[\frac{1}{\varepsilon}]，则当n>N时，就有|x_n-0|=\frac{cos\frac{n\pi}{2}}{n}<=\frac{1}{n}<\varepsilon ∀ε>0，取N=[ε1​]，则当n>N时，就有∣xn​−0∣=ncos2nπ​​<=n1​<ε
从 而 lim ⁡ n → ∞ c o s n π 2 n = 0 从而\lim_{n\to\infty}\frac{cos\frac{n\pi}{2}}{n}=0 从而n→∞lim​ncos2nπ​​=0

2.2.3例3

题：证明
lim ⁡ n → ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 ) 2 = 0 \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}=0 n→∞lim​(n+1)2(−1)n​=0
分析：
∣ x n − 0 ∣ = 1 ( n + 1 ) 2 ， ∀ ε > 0 ， 为 了 使 ∣ x n − 0 ∣ < ε ， 只 需 要 1 ( n + 1 ) 2 < ε ， 即 ( n + 1 ) 2 > 1 ε , 即 n > 1 ε − 1 |x_n-0|=\frac{1}{(n+1)^2}，\forall\varepsilon>0，为了使|x_n-0|<\varepsilon，只需要\frac{1}{(n+1)^2}<\varepsilon， 即(n+1)^2>\frac{1}{\varepsilon},即n>\frac{1}{\sqrt\varepsilon}-1 ∣xn​−0∣=(n+1)21​，∀ε>0，为了使∣xn​−0∣<ε，只需要(n+1)21​<ε，即(n+1)2>ε1​,即n>ε​1​−1
证：
∀ ε > 0 ( 设 ε < 1 ) ， 取 N = [ 1 ε − 1 ] ， 则 放 n > N 时 就 有 ∣ ( − 1 ) n ( n + 1 ) 2 − 0 ∣ < ε ， 即 lim ⁡ n → ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 ) 2 = 0 \forall\varepsilon>0(设\varepsilon<1)，取N=\[\\frac\{1\}\{\\sqrt\\varepsilon\}-1\]，则放n>N时就有|\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}-0|<\varepsilon，即\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}=0 ∀ε>0(设ε<1)，取N=\[ε​1​−1\]，则放n>N时就有∣(n+1)2(−1)n​−0∣<ε，即n→∞lim​(n+1)2(−1)n​=0

2.3收敛数列的性质

定理1. 若数列 { x n } \{ x_n \} { xn​}收敛，则它的极限唯一.
定理2. 若数列 { x n } \{x_n \} { xn​}收敛，则数列 { x n } \{x_n \} { xn​}一定有界.
定理3. 收敛数列的保号性

2.3.1自变量 x → x 0 x \to x_0 x→x0​时函数的极限定义

设函数 f ( x ) f (x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0​ 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数 A A A ，对任意给定的正数 ε \varepsilon ε(无论它有多小)，总存在正数 δ \delta δ ，使得当 x x x 满足 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0 < | x-x_0 | <\delta 0<∣x−x0​∣<δ时，对应的函数值都有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε | f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε，则称A为函数f(x)当 x → x 0 x\to x_0 x→x0​ 时 的极限, 记作:
lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( x → x 0 ) \lim_{x\to x_0}f(x)=A或f(x)\to A(x\to x_0) x→x0​lim​f(x)=A或f(x)→A(x→x0​)
几何解释：

2.3.2例子1

题：证明
lim ⁡ x → 1 2 ( x 2 − 1 ) x − 1 = 4 \lim_{x\to1}\frac{2(x^2-1)}{x-1}=4 x→1lim​x−12(x2−1)​=4
分析：
∣ f ( x ) − A ∣ = ∣ 2 ( x 2 − 1 ) x − 1 − 4 ∣ = ∣ 2 ( x + 1 ) − 4 ∣ = 2 ∣ x − 1 ∣ < ε |f(x)-A|=|\frac{2(x^2-1)}{x-1}-4|=|2(x+1)-4|=2|x-1|<\varepsilon ∣f(x)−A∣=∣x−12(x2−1)​−4∣=∣2(x+1)−4∣=2∣x−1∣<ε
证：
∀ ε > 0 ， 取 δ = ε 2 ， 当 0 < ∣ x − 1 ∣ < δ 时 ， 必 有 ∣ 2 ( x 2 − 1 ) x − 1 − 4 ∣ ， 必 有 ∣ 2 ( x 2 − 1 ) x − 1 − 4 ∣ < ε ， 因 此 lim ⁡ x → 1 2 ( x 2 − 1 ) x − 1 = 4 \forall\varepsilon>0，取\delta=\frac{\varepsilon}{2}，当0<|x-1|<\delta时，必有|\frac{2(x^2-1)}{x-1}-4|，必有|\frac{2(x^2-1)}{x-1}-4|<\varepsilon，因此\lim_{x\to1}\frac{2(x^2-1)}{x-1}=4 ∀ε>0，取δ=2ε​，当0<∣x−1∣<δ时，必有∣x−12(x2−1)​−4∣，必有∣x−12(x2−1)​−4∣<ε，因此x→1lim​x−12(x2−1)​=4

2.3.3例子2

试证明函数
f ( x ) = { e x , x < 1 0 , x = 1 x + 1 , x > 1 f(x)=\left\{ \begin{aligned} e^x,x<1\\\\ 0,x=1\\\\ x+1,x>1 \end{aligned} \right. f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧​ex,x<10,x=1x\+1,x>1​
当 x → 1 x\to 1 x→1时极限不存在。
证明：
从右图易见，
lim ⁡ x → 1 − f ( x ) = lim ⁡ x → 1 − e x = e lim ⁡ x → 1 + f ( x ) = lim ⁡ x → 1 + ( x + 1 ) = 2 \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}e^x=e \\ \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(x+1)=2 x→1−lim​f(x)=x→1−lim​ex=ex→1+lim​f(x)=x→1+lim​(x+1)=2
显然 e ≠ 2 e\neq2 e​=2从而
lim ⁡ x → 1 − f ( x ) ≠ lim ⁡ x → 1 + f ( x ) \lim_{x\to1^-}f(x)\neq\lim_{x\to1^+}f(x) x→1−lim​f(x)​=x→1+lim​f(x)
故极限不存在

2.3.4自变量 x → ∞ x \to \infty x→∞ 时函数的极限定义

设函数 f ( x ) f (x) f(x) 在当 ∣ x ∣ | x | ∣x∣ 大于某一正数时有定义。如果存在常数 A A A ，对任意 给定的正数 ε \varepsilon ε(无论它有多小)，总存在正数 X X X ，使得当 x x x 满足 ∣ x ∣ > X | x | > X ∣x∣>X 时，对应的函数值都有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|< \varepsilon ∣f(x)−A∣<ε，则称 A A A为函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → ∞ x\to\infty x→∞时的极限, 记作
lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( x → x 0 ) \lim_{x\to x_0}f(x)=A或f(x)\to A(x\to x_0) x→x0​lim​f(x)=A或f(x)→A(x→x0​)

2.3.5例子3

题：
证明
lim ⁡ n → ∞ 1 x = 0 \lim_{n\to\infty}\frac{1}{x}=0 n→∞lim​x1​=0
分析：
欲 使 ∣ 1 x − 0 ∣ = 1 ∣ x ∣ < ε ， 即 ∣ x ∣ > 1 ε 欲使|\frac{1}{x}-0|=\frac{1}{|x|}<\varepsilon，即|x|>\frac{1}{\varepsilon} 欲使∣x1​−0∣=∣x∣1​<ε，即∣x∣>ε1​
证：
∀ ε > 0 ， 取 x = 1 ε ， 则 当 ∣ x ∣ > X 时 ， 就 有 ∣ 1 x − 0 ∣ < ε ， 因 此 lim ⁡ n → ∞ 1 x = 0 \forall\varepsilon>0，取x=\frac{1}{\varepsilon}，则当|x|>X时，就有|\frac{1}{x}-0|<\varepsilon，因此\lim_{n\to\infty}\frac{1}{x}=0 ∀ε>0，取x=ε1​，则当∣x∣>X时，就有∣x1​−0∣<ε，因此n→∞lim​x1​=0

2.4函数极限的性质

定理 1(函数极限唯一性)

• 如果 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim_{x\to x_0}f(x) limx→x0​​f(x)存在，则极限唯一

定理 2(函数极限的局部有界性)

• 若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x\to x_0}f(x)=A limx→x0​​f(x)=A，则存在常数M>0和 δ > 0 \delta>0 δ>0，使得当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<\delta 0<∣x−x0​∣<δ时，有 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)| \leq M ∣f(x)∣≤M

定理 3 (函数极限的局部保号性)

• 若 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x\to x_0}f(x)=A limx→x0​​f(x)=A，而且 A > 0 ( A < 0 ) A>0(A<0) A>0(A<0)，那么存在常数 δ > 0 \delta>0 δ>0，使得当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<\delta 0<∣x−x0​∣<δ，有 f ( x ) > 0 ( f ( x ) < 0 ) f(x)>0(f(x)<0) f(x)>0(f(x)<0)

2.5极限存在两个准则

准则I (两边夹):若数列 { x n } , { y n } 和 { z n } \{ x_n \}, \{ y_n \} 和 \{ z_n \} { xn​},{ yn​}和{ zn​} 满足下列条件:

• ∃ n 0 ∈ N ， 当 n > n 0 时 ， y n ≤ x n ≤ z n \exist n_0 \in N，当n>n_0时，y_n \leq x_n \leq z_n ∃n0​∈N，当n>n0​时，yn​≤xn​≤zn​
• lim ⁡ n → ∞ y n = a ， lim ⁡ n → ∞ z n = a \lim_{n \to \infty}y_n=a，\lim_{n \to \infty}z_n=a limn→∞​yn​=a，limn→∞​zn​=a

准则II :单调有界数列必有极限。
注意：
lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e 或 者 lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e 或者 \lim_{x\to0}(1+x)^\frac{1}{x}=e x→0lim​xsinx​=1x→∞lim​(1+x1​)x=e或者x→0lim​(1+x)x1​=e

2.5.1例子1

题：求
lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 2 x ) x \lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{2x}) ^x x→∞lim​(1+2x1​)x
解:
lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 2 x ) x = lim ⁡ x → ∞ [ ( 1 + 1 2 x ) 2 x ] 1 2 = e 1 2 \lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{2x}) ^x=\lim_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{2x})^{2x}]^\frac{1}{2}=e^\frac{1}{2} x→∞lim​(1+2x1​)x=x→∞lim​[(1+2x1​)2x]21​=e21​

3导数

定义：设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0​的某邻域内有定义，若
lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x Δ y = f ( x ) − f ( x 0 ) Δ x = x − x 0 \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\Delta x \to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \Delta y=f(x)-f(x_0)\\ \Delta x=x-x_0 x→x0​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​=Δx→0lim​ΔxΔy​Δy=f(x)−f(x0​)Δx=x−x0​
存在, 则称函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0​处可导，并称此极限为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0​的导数。记做：
y ′ ∣ x = x 0 ; f ′ ( x 0 ) ; d y d x ∣ x = x 0 ; d f ( x ) d x ∣ x = x 0 即 y ′ ∣ x = x 0 = f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x y’|_{x=x_0};f’(x_0);\frac{dy}{dx}|_{x=x_0};\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}即\\ y’|{x=x_0}=f’(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\\ =\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} y′∣x=x0​​;f′(x0​);dxdy​∣x=x0​​;dxdf(x)​∣x=x0​​即y′∣x=x0​=f′(x)=Δx→0lim​ΔxΔy​=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​

3.1常数和基本初等函数的导数公式

( C ) ′ = 0 , ( x μ ) ′ = μ x μ − 1 , ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x , ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x , ( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x , ( cot ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ 2 x , ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x , ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x , ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a , ( e x ) ′ = e x , ( log ⁡ a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a , ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x , ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 , ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 , ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 , ( a r c c o t x ) ′ = − 1 1 + x 2 , (C )’=0,\\ (x^\mu)’=\mu x^{\mu-1},\\ (\sin x)’=\cos x,\\ (\cos x)’=-\sin x,\\ (\tan x)’=\sec^2 x,\\ (\cot x)’=-\csc^2 x,\\ (\sec x)’=\sec x\tan x,\\ (\csc x)’=-\csc x\cot x,\\ (a^x)’=a^x \ln a,\\ (e^x)’=e^x,\\ (\log_ax)’=\frac{1}{x\ln_a},\\ (\ln x)’=\frac{1}{x},\\ (\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt {1-x^2}},\\ (\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt {1-x^2}},\\ (\arctan x)’=\frac{1}{1+x^2},\\ (arccot x)’=-\frac{1}{1+x^2}, (C)′=0,(xμ)′=μxμ−1,(sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx,(tanx)′=sec2x,(cotx)′=−csc2x,(secx)′=secxtanx,(cscx)′=−cscxcotx,(ax)′=axlna,(ex)′=ex,(loga​x)′=xlna​1​,(lnx)′=x1​,(arcsinx)′=1−x2​1​,(arccosx)′=−1−x2​1​,(arctanx)′=1+x21​,(arccotx)′=−1+x21​,

3.2函数的和、差、积、商的求导法则

设 u = u ( x ) , v = v ( x ) u = u(x),v = v(x) u=u(x),v=v(x)都可导,则

• ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ (u\pm v)’=u’\pm v’ (u±v)′=u′±v′
• ( C u ) ′ = C u ′ (Cu)’=Cu’ (Cu)′=Cu′（C是常数）
• ( u v ) ′ = u ′ v ± u v ′ (uv)’=u’v\pm uv’ (uv)′=u′v±uv′
• ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 ( v ≠ 0 ) (\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2}(v\neq 0) (vu​)′=v2u′v−uv′​(v​=0)

3.3反函数的求导法则

如果函数 x = f ( y ) x=f(y) x=f(y)在区间 I y I_y Iy​内单调、可导且 f ′ ( y ) ≠ 0 f’(y)\neq0 f′(y)​=0，则他的反函数 y = f − 1 ( x ) y=f^{-1}(x) y=f−1(x)在区间 I x = x ∣ x = f ( y ) , y ∈ I y I_x={x|x=f(y),y\in I_y} Ix​=x∣x=f(y),y∈Iy​内也可导，且有 [ f − 1 ( x ) ] ′ = 1 f ′ ( y ) [f^{-1}(x)]‘=\frac{1}{f’(y)} [f−1(x)]′=f′(y)1​或者 d y d x = 1 d x d y \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}} dxdy​=dydx​1​

3.4复合函数求导法则

设 y = f ( u ) , u = φ ( x ) y=f(u),u=\varphi(x) y=f(u),u=φ(x)，则复合函数 y = f [ φ ( x ) ] y=f[\varphi(x)] y=f[φ(x)]的倒数为：
d y d x = d y d u ∗ d u d x = f ′ ( u ) ∗ φ ′ ( x ) \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}*\frac{du}{dx}=f’(u)*\varphi’(x) dxdy​=dudy​∗dxdu​=f′(u)∗φ′(x)

3.5导数的应用1:函数单调性

通过函数的导数的值，可以判断出函数的单调性、驻点以及极值点: 若导数大于0，则单调递增;若导数小于0，则单调递减;导数等于零d的点为函数驻点。
如果函数的导函数在某一个区间内恒大于零(或恒小于零)，那么函数
在这一个区间单调递增(或单调递减)，这种区间就叫做单调区间。
函数的驻点和不可导点处函数有可能取得极大值或者极小值(即极值可疑点);对于极值点的判断需要判断驻点附近的导函数的值符号，如果存在使得之前区间上导函数值都大于零，而之后的区间上都小于零，那么这个 点就是一个极大值点，反之则是一个极小值点。

3.5.1曲线的凹凸性

定义函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间I上连续, ∀ x 1 , x 2 ∈ I \forall x_1,x_2 \in I ∀x1​,x2​∈I，
(1)若恒有
f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} f(2x1​+x2​​)<2f(x1​)\+f(x2​)​ 则称 f ( x ) f(x) f(x)的图形是凹的。 (2)若恒有 f ( x 1 + x 2 2 ) > f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} f(2x1​+x2​​)>2f(x1​)+f(x2​)​
则称 f ( x ) f(x) f(x)的图形是凸的。
连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点
定理(凹凸判定法)
设函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上有二阶导数
(1)在 I I I内 f ′ ′ ( x ) > 0 f’’(x)>0 f′′(x)>0，则 f ( x ) f(x) f(x)在 I I I内图形是凹的；
(2)在 I I I内 f ′ ′ ( x ) < 0 f’’(x)<0 f′′(x)<0，则 f ( x ) f(x) f(x)在 I I I内图形是凸的。

3.6导数的应用2：函数的极值与最值

3.6.1函数的极值及其求法

1.定义设函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x x x 的某个邻域 U ( x 0 , δ ) U(x_0 ,\delta) U(x0​,δ)有定义, 且当 x ∈ U ( x 0 , δ ) x\in U(x_0,\delta) x∈U(x0​,δ)时,恒有 f ( x ) < f ( x 0 ) f(x) f ( x 0 ) f(x)>f(x_0) f(x)>f(x0​),则称 f ( x 0 ) 为 f ( x ) f(x_0)为f(x) f(x0​)为f(x)的一个极小值.
2.函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
3.若 f ( x ) f(x) f(x)在极值点 x 0 x_0 x0​ 处可导，则 f ′ ( x 0 ) = 0 f’(x_0)=0 f′(x0​)=0.
4.导数等于零的点称为驻点.
5.对可导函数来讲,极值点必为驻点,

3.6.2求极值的步骤

(1) 确定函数的定义域; (2)求导数 f ′ ( x ) f’(x) f′(x);
(3) 求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或一阶导数不存在的点);
(4) 用极值的判定第一或第二充分条件.注意第二充分条件只能 判定驻点的情形.

3.6.3 函数的最大值、最小值问题

极值是局部性的,而最值是全局性的.
若函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的最大值与最小值存在 .

3.6.3.1具体求法

(1) 求出定义域内部的极值嫌疑点(驻点和不可导点) x 1 , . . . , x k , x_1,…,x_k, x1​,…,xk​,并算出函数值 f ( x i ) ( i = 1 , 2 , . . . . , k ) f(x_i)(i=1,2,….,k) f(xi​)(i=1,2,….,k);
(2) 求出端点的函数值 f ( a ) , f ( b ) f (a), f (b) f(a),f(b) ;
(3) 最大值 M = m a x { f ( x 1 ) , . . . . , f ( x k ) , f ( a ) , f ( b ) } M=max\{f(x_1),….,f(x_k),f(a),f(b)\} M=max{ f(x1​),….,f(xk​),f(a),f(b)}
最小值 m = m i n { f ( x 1 ) , . . . . , f ( x k ) , f ( a ) , f ( b ) } m=min\{f(x_1),….,f(x_k),f(a),f(b)\} m=min{ f(x1​),….,f(xk​),f(a),f(b)}.

3.7导数应用3:Taylor公式

Taylor(泰勒)公式是用一个函数在某点的信息描述其附近取值的公式。 如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下， Taylor公式可以利用这些导数值来做系数构建一个多项式近似函数在这 一点的邻域中的值。

若函数 f ( x ) f(x) f(x)在包含 x 0 x_0 x0​的某个闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上具有 n n n阶函数，且在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上具有 n + 1 n+1 n+1阶函数，则对闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上任意一点 x x x，有Taylor公式如下: ( f ( n ) ( x ) (f^{(n)}(x) (f(n)(x)表示 f ( x ) f(x) f(x)的 n n n阶导数， R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)是Taylor公式的余项，是 ( x − x 0 ) n (x-x_0)^n (x−x0​)n的高阶无 穷小)

Taylor公式：
f ( x ) = f ( x 0 ) 0 ! + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . . + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f’(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f’’(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+….+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) f(x)=0!f(x0​)​+1!f′(x0​)​(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+….+n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n+Rn​(x)
麦克劳林公式:
f ( x ) = f ( 0 ) 0 ! + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + . . . + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + R n ( x ) f(x)=\frac{f(0)}{0!}+\frac{f’(0)}{1!}x+\frac{f’’(0)}{2!}x^2+…+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x) f(x)=0!f(0)​+1!f′(0)​x+2!f′′(0)​x2+…+n!f(n)(0)​xn+Rn​(x)
0 ! = 1 1 ! = 1 n ! = n ∗ ( n − 1 ) ! 0!=1\\1!=1\\n!=n*(n-1)! 0!=11!=1n!=n∗(n−1)!
Taylor公式-余项:
f ( x ) = Σ k = 0 n f ( k ) ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k + R n ( x ) f(x)=\varSigma^n_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x) f(x)=Σk=0n​k!f(k)(x0​)​(x−x0​)k+Rn​(x)
佩亚诺(Peano)余项:
R n ( x ) = o [ ( x − x 0 ) n ] R_n(x)=o[(x-x_0)^n] Rn​(x)=o[(x−x0​)n]
拉格朗日余项：
R n ( x ) = f ( n + 1 ) [ x 0 + θ ( x − x 0 ) ] ( x − x 0 ) n + 1 ( x + 1 ) ! R_n(x)=f^{(n+1)}[x_0+\theta(x-x_0)]\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(x+1)!} Rn​(x)=f(n+1)[x0​+θ(x−x0​)](x+1)!(x−x0​)n+1​

3.7.1几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式

e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + . . . . . + 1 n ! x n + o ( x n ) sin ⁡ x = x − 1 3 ! x 3 + . . . . . + ( − 1 ) m − 1 ( 2 m − 1 ) ! + o ( x 2 m − 1 ) cos ⁡ x = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − . . . . + ( − 1 ) m ( 2 m ) ! x 2 m + o ( x 2 m ) ln ⁡ ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − . . . . . + ( − 1 ) n − 1 n x n + o ( x n ) 1 1 − x = 1 + x + x 2 + . . . + x n + o ( x n ) ( 1 + x ) m = 1 + m x + m ( m − 1 ) 2 ! x 2 + . . . . + m ( m − 1 ) . . . . ( m − n + 1 ) n ! x n + o ( x n ) e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+…..+\frac{1}{n!}x^n+o(x^n)\\ \sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+…..+\frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)!}+o(x^{2m-1})\\ \cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-….+\frac{(-1)^m}{(2m)!}x^{2m}+o(x^{2m})\\ \ln (1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-…..+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+o(x^n)\\ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+…+x^n+o(x^n)\\ (1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+….+\frac{m(m-1)….(m-n+1)}{n!}x^n+o(x^n) ex=1+x+2!1​x2+…..+n!1​xn+o(xn)sinx=x−3!1​x3+…..+(2m−1)!(−1)m−1​+o(x2m−1)cosx=1−2!1​x2+4!1​x4−….+(2m)!(−1)m​x2m+o(x2m)ln(1+x)=x−21​x2+31​x3−…..+n(−1)n−1​xn+o(xn)1−x1​=1+x+x2+…+xn+o(xn)(1+x)m=1+mx+2!m(m−1)​x2+….+n!m(m−1)….(m−n+1)​xn+o(xn)

3.7.2Taylor公式应用1

展开三角函数 y = s i n ( x ) y=sin(x) y=sin(x)(使用麦克劳林公式进行展开操作)
f ( n ) ( x ) = sin ⁡ ( x + n π 2 ) f^{(n)}(x)=\sin (x+\frac{n\pi}{2}) f(n)(x)=sin(x+2nπ​)
sin ⁡ x = x − 1 3 ! x 3 + . . . . . + ( − 1 ) m − 1 ( 2 m − 1 ) ! + R 2 m − 1 ( x ) \sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+…..+\frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)!}+R_{2m-1}(x) sinx=x−3!1​x3+…..+(2m−1)!(−1)m−1​+R2m−1​(x)

3.7.3Taylor公式应用2

计算近似值
e = lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 n ) n e=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n e=x→∞lim​(1+n1​)n
并估计误差值
e x ≈ Σ k = 0 n e x 0 k ! ⇒ 令 x 0 = 0 e x ≈ 1 + x + 1 2 ! x 2 + . . . . . + 1 n ! x n ⇒ 令 x = 1 e ≈ 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 n ! ≈ 令 n = 10 e ≈ 2.7182815 e^x\approx \Sigma^n_{k=0}\frac{e^{x_0}}{k!}\Rightarrow^{令x_0=0}e^x\approx1+x+\frac{1}{2!}x^2+…..+\frac{1}{n!}x^n\Rightarrow^{令x=1}e\approx 1+1+\frac{1}{2!}+…+\frac{1}{n!}\approx^{令n=10}e\approx2.7182815 ex≈Σk=0n​k!ex0​​⇒令x0​=0ex≈1+x+2!1​x2+…..+n!1​xn⇒令x=1e≈1+1+2!1​+…+n!1​≈令n=10e≈2.7182815

4多元函数的极限

4.1二元函数的定义

设 D D D是平面上的一个点集，如果对于每个点 P ( x , y ) ∈ D P(x, y)\in D P(x,y)∈D，变量 z z z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称 z z z是变量$ x, y$的二元函数，记为
z = f ( x , y ) ( 或 记 为 z = f ( P ) ) z= f(x,y)(或记为z= f(P)) z=f(x,y)(或记为z=f(P))
定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.