Java数据结构与算法 day08 树结构实际应用(一)

小咪咪 2023-02-16 06:06 83阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  第10章 树结构实际应用
 *   *  堆排序
     *   *  大顶堆和小顶堆图解说明
         *  堆排序的思路图解与实现
     *  赫夫曼树
     *   *  赫夫曼树的基本介绍
         *  赫夫曼树创建步骤图解与实现

# 第10章 树结构实际应用 #

> 本章源码：https://github.com/name365/Java-Data-structure

## 堆排序 ##

### 大顶堆和小顶堆图解说明 ###

> 堆排序基本介绍

>     1.堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。
>     2.堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆, 注意 : 没有要求结点的左孩子的值和右孩子的值的大小关系。
>     3.每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆
>     4.大顶堆举例说明

![在这里插入图片描述][20200608192934471.png_pic_center]

> 对堆中的结点按层进行编号，映射到数组中就是下面这个样子:

![在这里插入图片描述][20200608193008312.png_pic_center]

大顶堆特点：arr[i] >= arr[2*i+1] && arr[i] >= arr[2*i+2]  // i 对应第几个节点，i从0开始编号7

*  小顶堆举例说明

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

小顶堆：arr[i] <= arr[2*i+1] && arr[i] <= arr[2*i+2] // i 对应第几个节点，i从0开始编号

> 综上：一般**升序采用大顶堆**，**降序采用小顶堆**

--------------------

### 堆排序的思路图解与实现 ###

> **堆排序基本思想**

1.将待排序序列构造成一个大顶堆
    2.此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。
    3.将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。
    4.然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。
    
    可以看到在构建大顶堆的过程中，元素的个数逐渐减少，最后就得到一个有序序列了.

> 要求:给你一个数组 \{4,6,8,5,9\} , 要求使用堆排序法，将数组升序排序。
> 
> **堆排序步骤图解说明**:

> **步骤一:构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。原始的数组\[4,6,8,5,9\]**

*  假设给定无序序列结构如下 :

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

*  此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

*  找到第二个非叶节点4，由于\[4,9,8\]中9元素最大，4和9交换。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

*  这时，交换导致了子根\[4,5,6\]结构混乱，继续调整，\[4,5,6\]中6最大，交换4和6。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]

*  此时，就将一个无序序列构造成了一个大顶堆。

> **步骤二:将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换,得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。**

*  将堆顶元素9和末尾元素4进行交换 。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]

*  重新调整结构，使其继续满足堆定义。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]

*  再将堆顶元素 8 与末尾元素 5 进行交换，得到第二大元素 8。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]

*  后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]

对上述思路进行总结:
    1.将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆; 
    2.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端; 
    3.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤， 直到整个序列有序。

> 核心代码说明:

public static void adHeap(int arr[],int i,int length){ 
    		int temp = arr[i];	//先取出当前元素的值,保存在临时变量
    		//说明:
    		//1. j = i * 2 + 1 j 是 i结点的左子结点
    		for(int j = i * 2 + 1;j < length;j = j * 2 + 1){ 
    			if(j+1 < length && arr[j] < arr[j+1]){ 	//说明左子节点的值小于右子节点的值
    				j++;	//j指向右子节点
    			}
    			if(arr[j] > temp){  //如果子节点大于父结点
    				arr[i] = arr[j];	//将较大的值赋给当前节点
    				i = j;	//让i指向j,继续循环
    			}else{ 
    				break;
    			}
    			//当for 循环结束后,已经将以 i 为父结点的树的最大值,放在了最顶(局部)
    			arr[i] = temp;	//将temp值放到调整后的位置
    		}
    	}

> 初始情况:
> 
> arr = \{4,6,8,5,9\}
> 
> 当 i = 1 时:

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9]

> 首先，当temp=arr\[i\] ==> temp=6;进入for循环，j=i\*2+1 ==> j=3,
> 
> 进入if判断，执行j++,即j指向右子节点，j=4；
> 
> arr\[j\] ==> arr\[4\] 即: arr\[j\]为9，
> 
> 此时，arr\[j\] > temp ==> 9 > 6，进入判断

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 10]

> 此时，子节点大于父节点，
> 
> 而此时 i=1，j=4，即arr\[i\]=arr\[j\]进行赋值，arr\[i\] = arr\[j\] ==> arr\[1\]=9，将6替换成9。
> 
> i=j ==> i=4 ,继续让i指向j,因为节点可能下面还有节点，继续执行循环.

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 11]

> 但此时 j=4 ,经过循环赋值语句，j=9,temp=6，不符合判断条件，直接执行 arr\[i\] = temp ==> arr\[4\]=6;

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 12]

> 上述过程代码化实现：

import java.util.Arrays;
    
    public class HeapSort { 
    
    	public static void main(String[] args) { 
    		//要求:将数组进行升序排序
    		int arr[] = { 4,6,8,5,9};
    		headSort(arr);
    	}
    	
    	//编写一个堆排序的方法
    	public static void headSort(int arr[]){ 
    		System.out.println("堆排序:");
    		
    		//分布完成
    		adHeap(arr,1,arr.length);
    		System.out.println("第一次:" + Arrays.toString(arr)); //4,9,8,5,6
    		
    		adHeap(arr,0,arr.length);
    		System.out.println("第二次:" + Arrays.toString(arr)); //9,6,8,5,4
    
    	}
    	
    	//将一个数组(二叉树),调整成一个大顶堆
    	/** * 功能: 完成 将 以 i 对应的非叶子结点的树调整成大顶堆 * 举例: int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9}; => i = 1 => adHeap => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} * 如果我们再次调用 adHeap 传入的是 i = 0 => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} => {9,6,8,5,4} * @Description * @author subei * @date 2020年6月8日上午10:29:31 * @param arr 待调整的数组 * @param i 非叶子结点的索引 * @param length 表示对多少个元素进行调整 */
    	public static void adHeap(int arr[],int i,int length){ 
    		int temp = arr[i];	//先取出当前元素的值,保存在临时变量
    		//说明:
    		//1. j = i * 2 + 1 j 是 i结点的左子结点
    		for(int j = i * 2 + 1;j < length;j = j * 2 + 1){ 
    			if(j+1 < length && arr[j] < arr[j+1]){ 	//说明左子节点的值小于右子节点的值
    				j++;	//j指向右子节点
    			}
    			if(arr[j] > temp){  //如果子节点大于父结点
    				arr[i] = arr[j];	//将较大的值赋给当前节点
    				i = j;	//让i指向j,继续循环
    			}else{ 
    				break;
    			}
    			//当for 循环结束后,已经将以 i 为父结点的树的最大值,放在了最顶(局部)
    			arr[i] = temp;	//将temp值放到调整后的位置
    		}
    	}
    }

--------------------

> 最终完整代码实现如下:

import java.util.Arrays;
    
    public class HeapSort2 { 
    
    	public static void main(String[] args) { 
    		//要求:将数组进行升序排序
    		int arr[] = { 4,6,8,5,9};
    		headSort(arr);
    	}
    	
    	//编写一个堆排序的方法
    	public static void headSort(int arr[]){ 
    		System.out.println("堆排序:");
    		int temp = 0;
    		//完成我们最终代码
    		//1.将无序序列构建成一个堆,根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆
    		for(int i=arr.length / 2 - 1;i >= 0;i--){ 
    			adHeap(arr,i,arr.length);
    		}
    		System.out.println("步骤一的数组排序结果=" + Arrays.toString(arr));
    		
    		//2.将堆顶元素与末尾元素交换,将最大元素"沉"到数组末端;
    		//3.重新调整结构,使其满足堆定义,然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素,反复执行调整+交换步骤,直到整个序列有序。
    		for(int j=arr.length - 1;j >0 ;j--){ 
    			//交换
    			temp=arr[j];
    			arr[j]=arr[0];
    			arr[0]=temp;
    			adHeap(arr, 0, j); 
    		}
    		System.out.println("最后的数组排序结果=" + Arrays.toString(arr));
    	}
    	
    	//将一个数组(二叉树),调整成一个大顶堆
    	/** * 功能: 完成 将 以 i 对应的非叶子结点的树调整成大顶堆 * 举例: int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9}; => i = 1 => adHeap => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} * 如果我们再次调用 adHeap 传入的是 i = 0 => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} => {9,6,8,5,4} * @Description * @author subei * @date 2020年6月8日上午10:29:31 * @param arr 待调整的数组 * @param i 非叶子结点的索引 * @param length 表示对多少个元素进行调整 */
    	public static void adHeap(int arr[],int i,int length){ 
    		int temp = arr[i];	//先取出当前元素的值,保存在临时变量
    		//说明:
    		//1. j = i * 2 + 1 j 是 i结点的左子结点
    		for(int j = i * 2 + 1;j < length;j = j * 2 + 1){ 
    			if(j+1 < length && arr[j] < arr[j+1]){ 	//说明左子节点的值小于右子节点的值
    				j++;	//j指向右子节点
    			}
    			if(arr[j] > temp){  //如果子节点大于父结点
    				arr[i] = arr[j];	//将较大的值赋给当前节点
    				i = j;	//让i指向j,继续循环
    			}else{ 
    				break;
    			}
    			//当for 循环结束后,已经将以 i 为父结点的树的最大值,放在了最顶(局部)
    			arr[i] = temp;	//将temp值放到调整后的位置
    		}
    	}
    }

--------------------

> 对上述堆排序进行速度测试：

import java.text.SimpleDateFormat;
    import java.util.Date;
    
    public class HeapSort2 { 
    
    	public static void main(String[] args) { 
    		//要求:将数组进行升序排序
    		
    		//创建要给80000个的随机的数组
    		int[] arr = new int[8000000];
    		for (int i = 0; i < 8000000; i++) { 
    			arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
    		}
    
    		System.out.println("排序前");
    		Date data1 = new Date();
    		SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
    		String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
    		System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);
    		
    		headSort(arr);
    		
    		Date data2 = new Date();
    		String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
    		System.out.println("排序后的时间是=" + date2Str);
    	}
    	
    	//编写一个堆排序的方法
    	public static void headSort(int arr[]){ 
    		System.out.println("堆排序:");
    		int temp = 0;
    		//完成我们最终代码
    		//1.将无序序列构建成一个堆,根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆
    		for(int i=arr.length / 2 - 1;i >= 0;i--){ 
    			adHeap(arr,i,arr.length);
    		}
    		
    		//2.将堆顶元素与末尾元素交换,将最大元素"沉"到数组末端;
    		//3.重新调整结构,使其满足堆定义,然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素,反复执行调整+交换步骤,直到整个序列有序。
    		for(int j=arr.length - 1;j >0 ;j--){ 
    			//交换
    			temp=arr[j];
    			arr[j]=arr[0];
    			arr[0]=temp;
    			adHeap(arr, 0, j); 
    		}
    	}
    	
    	//将一个数组(二叉树),调整成一个大顶堆
    	/** * 功能: 完成 将 以 i 对应的非叶子结点的树调整成大顶堆 * 举例: int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9}; => i = 1 => adHeap => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} * 如果我们再次调用 adHeap 传入的是 i = 0 => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} => {9,6,8,5,4} * @Description * @author subei * @date 2020年6月8日上午10:29:31 * @param arr 待调整的数组 * @param i 非叶子结点的索引 * @param length 表示对多少个元素进行调整 */
    	public static void adHeap(int arr[],int i,int length){ 
    		int temp = arr[i];	//先取出当前元素的值,保存在临时变量
    		//说明:
    		//1. j = i * 2 + 1 j 是 i结点的左子结点
    		for(int j = i * 2 + 1;j < length;j = j * 2 + 1){ 
    			if(j+1 < length && arr[j] < arr[j+1]){ 	//说明左子节点的值小于右子节点的值
    				j++;	//j指向右子节点
    			}
    			if(arr[j] > temp){  //如果子节点大于父结点
    				arr[i] = arr[j];	//将较大的值赋给当前节点
    				i = j;	//让i指向j,继续循环
    			}else{ 
    				break;
    			}
    			//当for 循环结束后,已经将以 i 为父结点的树的最大值,放在了最顶(局部)
    			arr[i] = temp;	//将temp值放到调整后的位置
    		}
    	}
    }

## 赫夫曼树 ##

### 赫夫曼树的基本介绍 ###

>     给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度(wpl)达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree), 还有的书翻译为霍夫曼树。
>     
>     赫夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

> **赫夫曼树几个重要概念和举例**:

1.路径和路径长度：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1
    2.结点的权及带权路径长度：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 13]

3.树的带权路径长度：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL(weighted path length) ,权值越大的结点离根结点越近的二叉树才是最优二叉树。
    4.WPL最小的就是赫夫曼树

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 14]

### 赫夫曼树创建步骤图解与实现 ###

> 要求:给你一个数列 \{13, 7, 8, 3, 29, 6, 1\}，要求转成一颗赫夫曼树.

> 构成赫夫曼树的步骤：
> 
> 1.  从小到大进行排序, 将每一个数据，每个数据都是一个节点 ， 每个节点可以看成是一颗最简单的二叉树
> 2.  取出根节点权值最小的两颗二叉树
> 3.  组成一颗新的二叉树, 该新的二叉树的根节点的权值是前面两颗二叉树根节点权值的和

![在这里插入图片描述][20200608193326625.png_pic_center]

> 1.  再将这颗新的二叉树，以根节点的权值大小 再次排序， 不断重复 1-2-3-4 的步骤，直到数列中，所有的数据都被处理，就得到一颗赫夫曼树

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 15]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 16]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 17]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 18]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 19]

> 赫夫曼树创建代码实现

import java.util.ArrayList;
    import java.util.Collections;
    import java.util.List;
    
    public class HuffTreeTest { 
    
    	public static void main(String[] args) { 
    		int arr[] = {  13, 7, 8, 3, 29, 6, 1 };
    		Node root = creatHFTree(arr);
    
    		preOrder(root);
    	}
    
    	// 前序遍历方法
    	public static void preOrder(Node root) { 
    		if (root != null) { 
    			root.preOrder();
    		} else { 
    			System.out.println("这是一个空树。无法遍历");
    		}
    	}
    
    	// 创建赫夫曼树的方法
    	public static Node creatHFTree(int[] arr) { 
    		// 第一步,为了操作方法
    		// 1.遍历 arr 数组
    		// 2.将arr的每个元素构成一个Node
    		// 3.将Node 放入到ArrayList中
    		List<Node> nodes = new ArrayList<Node>();
    		for (int value : arr) { 
    			nodes.add(new Node(value));
    		}
    
    		// int count = 0; //统计处理次数
    
    		// 处理的过程是循环的过程
    		while (nodes.size() > 1) { 
    
    			// 排序:从小到大排序
    			Collections.sort(nodes);
    
    			// System.out.println("第" + count + "次排序后的结果:nodes = " + nodes);
    
    			// 取出根节点权值最小的两颗二叉树
    			// (1)取出权值最小的结点(二叉树)
    			Node leftNode = nodes.get(0);
    			// (1)取出权值另一个最小的结点(二叉树)
    			Node rightNode = nodes.get(1);
    
    			// (3)构建一个新的二叉树
    			Node parents = new Node(leftNode.value + rightNode.value);
    			parents.left = leftNode;
    			parents.right = rightNode;
    
    			// (4)从ArrayList删除处理过的二叉树
    			nodes.remove(leftNode);
    			nodes.remove(rightNode);
    
    			// (5)将parent加入到nodes
    			nodes.add(parents);
    
    			// count++;
    			// System.out.println("第" + count + "次处理后的结果:" + nodes);
    		}
    
    		// 返回赫夫曼树的root结点
    		return nodes.get(0);
    	}
    
    }
    
    // 创建结点类
    // 为了让Node 对象持续排序Collections集合排序
    // 让Node 实现Comparable接口
    class Node implements Comparable<Node> { 
    	int value; // 结点权值
    	Node left; // 指向左子结点
    	Node right; // 指向右子结点
    
    	public Node(int value) { 
    		this.value = value;
    	}
    
    	@Override
    	public String toString() { 
    		return "Node [value=" + value + "]";
    	}
    
    	@Override
    	public int compareTo(Node o) { 
    		// 表示从小到大排序
    		return this.value - o.value;
    	}
    
    	// 前序遍历
    	public void preOrder() { 
    		// 当前结点
    		System.out.println(this);
    		// 左子结点
    		if (this.left != null) { 
    			this.left.preOrder();
    		}
    		// 右子结点
    		if (this.right != null) { 
    			this.right.preOrder();
    		}
    	}
    }

[20200608192934471.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608192934471.png#pic_center
[20200608193008312.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193008312.png#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193017828.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193045856.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193058157.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193109260.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193120232.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193129551.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193139331.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193149117.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020060819315723.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193209362.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 10]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193224485.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 11]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193240736.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 12]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193249636.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 13]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193308907.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 14]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193317270.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[20200608193326625.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193326625.png#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 15]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020060819333646.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 16]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193346460.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 17]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193359380.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 18]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200608193407296.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 19]: https://img-blog.csdnimg.cn/202006081934210.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MTUzOTQ5,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center