图文详解AVL树

野性酷女 2023-01-10 05:22 150阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  1.AVL树的概念
 *  2.AVL树节点的定义
 *  3.AVL树的插入
 *  4.AVL树的旋转
 *   *  4.1 右单旋
     *  4.2 左单旋
     *  4.3 先左单旋再右单旋
     *  4.4 先右单旋再左单旋
 *  5.AVL树的验证
 *  6.AVL树的性能

# 1.AVL树的概念 #

AVL树又称平衡二叉搜索树。二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。下图为AVL树：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
**满足以下性质：**

1.  它的左右子树都是AVL树
2.  左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
3.  如果它有n个结点，其高度可保持在log2n ，搜索时间复杂度O(log2n)

# 2.AVL树节点的定义 #

template<class T>
    struct AVLTreeNode
    {
        
        AVLTreeNode(const T& data)
        : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
        , _data(data), _bf(0)
        {
        }
        AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
        AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
        AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
        T _data;
        int _bf; // 该节点的平衡因子
    };

# 3.AVL树的插入 #

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1.  按照二叉搜索树的方式插入新节点
2.  调整节点的平衡因子

bool Insert(const T& data)
    {
        
        // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
        // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性
        /*
        pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
        的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
        1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
        2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
        
        此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
        1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插     入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
        2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
        3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理
        */
    
        if (nullptr == _root)
    	{
        
    		_root = new Node(data);
    		return true;
    	}
    
    	// 非空
    	// 1. 按照二叉搜索树的规则插入新节点
    	// 找新节点在树中的插入位置，并记录其双亲
    	Node* cur = _root;
    	Node* parent = nullptr;
    	while (cur)
    	{
        
    		parent = cur;
    		if (data < cur->data)
    			cur = cur->left;
    		else if (data>cur->data)
    			cur = cur->right;
    		else
    			return false;
    	}
    
    	// 将新节点插入的位置已经找到了---插入新节点
    	cur = new Node(data);
    	if (data < parent->data)
    		parent->left = cur;
    	else
    		parent->right = cur;
    	cur->parent = parent;
    
    	while (parent)
    	{
        
    		// 新节点插入之后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏
    		// 必须要更新平衡因子
    		if (cur == parent->left)
    			parent->bf--;
    		else
    			parent->bf++;
    
    		if (0 == parent->bf)
    			return true;
    		else if (1 == parent->bf || -1 == parent->bf)
    		{
        
    			cur = parent;
    			parent = cur->parent;
    		}
    		else
    		{
        
    			// parent的平衡因子可能为：2 || -2
    			if (2 == parent->bf)
    			{
        
    				// 右子树高--->最终旋转是左单旋
    				if (1 == cur->bf)
    					RotateLeft(parent);
    				else
    					RotateRL(parent);
    			}
    			else
    			{
        
    				// 左子树高---->最终旋转是右单旋
    				if (-1 == cur->bf)
    					RotateRight(parent);
    				else
    					RotateLR(parent);
    			}
    			break;
    		}
    	}
    	return true;
    }

# 4.AVL树的旋转 #

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

## 4.1 右单旋 ##

**新节点插入较高左子树的左侧。**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1.  30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2.  60可能是根节点，也可能是子树  
    如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点；  
    如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树。

void RotateRight(Node* parent)
    {
        
        // subL: parent的左孩子
        // subLR: parent左孩子的右孩子
        Node* subL = parent->left;
    	Node* subLR = subL->right;
        // 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
        parent->left = subLR;
        // 如果30的左孩子的右孩子存在，更新双亲
        if (subLR)
    		subLR->parent = parent;
        
        // 60作为30的右孩子
        subL->right = parent;
    
        // 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
        Node* pparent = parent->parent;
    
        // 更新60的双亲
        parent->parent = subL;
    
        // 更新30的双亲
        subL->parent = pparent;
        // 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
        if (nullptr == pparent)
    			_root = subL;
        else
        {
        
        // 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
            if (parent == pparent->left)
    			pparent->left = subL;
    		else
    			pparent->right = subL;
        }
        // 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
        parent->bf = subL->bf = 0;
    }

## 4.2 左单旋 ##

**新节点插入较高右子树的右侧**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
情况参考右单旋。

void RotateLeft(Node* parent)
    {
        
    	Node* subR = parent->right;
    	Node* subRL = subR->left;
    
    	parent->right = subRL;
    	if (subRL)
    		subRL->parent = parent;
    
    	subR->left = parent;
    
    	Node* pparent = parent->parent;
    	subR->parent = pparent;
    	parent->parent = subR;
    
    	if (nullptr == pparent)
    		_root = subR;
    	else
    	{
        
    		if (parent == pparent->left)
    			pparent->left = subR;
    		else
    			pparent->right = subR;
    	}
    
    	parent->bf = subR->bf = 0;
    }

## 4.3 先左单旋再右单旋 ##

**新节点插入较高左子树的右侧。**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
    void RotateLR(Node* parent)
    {
        
    	Node* subL = parent->left;
    	Node* subLR = subL->right;
    	// 旋转之前，保存subLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
    	int bf = subLR->bf;
    	
    	// 先对30进行左单旋
    	RotateLeft(parent->left);
    	// 再对90进行右单旋
    	RotateRight(parent);
    
    	if (1 == bf)
    		subL->bf = -1;
    	else if (-1 == bf)
    		parent->bf = 1;
    }

## 4.4 先右单旋再左单旋 ##

**新节点插入较高右子树的左侧。**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
情况参考先左单旋再右单旋。

void RotateRL(Node* parent)
    {
        
    	RotateRight(parent->right);
    	RotateLeft(parent);
    }

# 5.AVL树的验证 #

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1.  验证其为二叉搜索树  
    如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。

void _InOrder(Node* root)
    {
        
    	if (root)
    	{
        
    		_InOrder(root->left);
    		cout << root->data << " ";
    		_InOrder(root->right);
    	}
    }

1.  验证其为平衡树  
    每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)；节点的平衡因子是否计算正确。

int _Height(Node* root)
    {
        
    	if (nullptr == root)
    		return 0;
    
    	int leftHeight = _Height(root->left);
    	int rightHeight = _Height(root->right);
    	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
    }
    
    bool _IsBalanceTree(Node* root)
    {
        
    	if (nullptr == root)
    		return true;
    	int leftHeight = _Height(root->left);
    	int rightHeight = _Height(root->right);
    	if (abs(root->bf) > 1 || (rightHeight - leftHeight != root->bf))
    	{
        
    		cout << root->data << ":" << root->bf << endl;
    		return false;
    	}
    
    	return _IsBalanceTree(root->left) && _IsBalanceTree(root->right);
    }

# 6.AVL树的性能 #

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2N。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

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