AVL树的实现（图文详解）

柔情只为你懂 2023-01-21 14:23 85阅读 0赞

# AVL树的实现 #

*  ### AVL树定义 ###

AVL树其实就是一棵特殊的二叉树，为什么会出现AVL树，AVL树比普通二叉树优势在什么地方呢？

我们知道，一棵普通的二叉搜索树，以其特殊的性质（左<根<右），中序遍历将得到有序的序列，同时在搜索目标值时可以根据其性质加快搜索，但数据如果有序或接近有序，二叉搜索树会退化成为单支树，查找目标值相当于在顺序表中查找，时间复杂度从O(lgn)退化到O(n)

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

具体参见[二叉搜索树图文详解][Link 1]

AVL树为了解决上述问题，规定其性质：

1.  左右子树均是AVL树
2.  左右子树的高度之差(平衡因子)不超过1（1/-1/0）

当在AVL树中插入一个新节点，通过对节点进行调整，保证高度之差不超过1，从而降低树高度，缩短搜索路径

*  ### **平衡因子** ###

**性质：**

*  **判断对应二叉树是否平衡的一个整型值**
 *  **每一个节点都存在一个平衡因子，来表示二叉树是否平衡**
 *  **平衡因子=右子树的层数-左子树的层数**
 *  **平衡因子范围（-1~1）**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

*  ### 结构定义 ###

AVL树结构与二叉搜索树结构类似，除左右孩子节点，数据外，添加父节点，平衡因子bf

template<class T>
    struct AVLTreeNode
    {
    	AVLTreeNode(const T& data)
    		: _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr)
    		, _val(data), _bf(0)
    	{}
    	AVLTreeNode<T>* _left; // 该节点的左孩子
    	AVLTreeNode<T>* _right; // 该节点的右孩子
    	AVLTreeNode<T>* _parent; // 该节点的双亲
    	T _val;
    	int _bf; // 该节点的平衡因子
    };

*  ### AVL树的旋转 ###

**（1）左****单旋：新节点插入较高右子树的右侧。左旋示意图如下：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

**创建subR，subRL，parent，pparent节点，根据图解**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

**代码如下**

void RotateL(Node* parent)//左旋
    	{
    		Node* subR = parent->_right;
    		Node* subRL = subR->_left;
    
    		subR->_left = parent;
    		parent->_right = subRL;
    
    		if (subRL)
    		{
    			subRL->_parent = parent;
    		}
    		if (parent == _root)
    		{
    			_root = subR;
    			subR->_parent = nullptr;
    		}
    		else
    		{
    			//subR链接在父亲的父亲
    			Node* pparent = parent->_parent;
    			if (pparent->_left == parent)
    				pparent->_left = subR;
    			else
    				pparent->_right= subR;
    
    			subR->_parent = pparent;
    		}
            //更新subR位置到父亲的父亲上
    		parent->_parent = subR;
    
    		subR->_bf = parent->_bf = 0;
    	}

**（2）右单旋：新节点插入较高左子树的左侧。右旋示意图如下：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

**创建subL，subLR，parent，pparent节点，根据图解**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]

**代码如下**

void RotateR(Node* parent)//右旋
    	{
    		Node* subL = parent->_left;
    		Node* subLR = subL->_right;
    
    		subL->_right = parent;
    		parent->_left = subLR;
    
    		if (subLR)
    		{
    			subLR->_parent = parent;
    		}
    		if (parent == _root)
    		{
    			_root = subL;
    			subL->_parent = nullptr;
    		}
    		else
    		{
    			//subL链接在父亲的父亲
    			Node* pparent = parent->_parent;
    			if (pparent->_left == parent)
    				pparent->_left = subL;
    			else
    				pparent->_right = subL;
    			subL->_parent = pparent;
    		}
            //更新subL位置到父亲的父亲上
    		parent->_parent = subL;
    
    		subL->_bf = parent->_bf = 0;
    	}

**（3）左右双旋：新节点插入较高左子树的右侧**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70 6][]

**（4）右左双旋：新节点插入较高右子树的左侧**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70 7][]

*  ### AVL树的插入 ###

1.  **先搜索，直至找到合适位置**
2.  **选择插入**
3.  **调整结构及平衡因子**

bool insert(const T& val)
    	{
    		if (_root == nullptr)
    		{
    			_root = new Node(val);
    			return true;
    		}
    		//搜索
    		Node* cur = _root;
    		Node* parent = nullptr;
    		while (cur)
    		{
    			parent = cur;//更新父节点
    			if (cur->_val == val)
    				return false;
    			else if (cur->_val < val)
    			{
    				cur = cur->_right;
    			}
    			else
    				cur = cur->_left;
    		}
    		//插入
    		cur = new Node(val);
    		if (parent->_val > val)
    		{
    			parent->_left = cur;
    		}
    		else
    			parent->_right = cur;
    
    		cur->_parent = parent;
    		while (parent)
    		{
    			//高度 调整平衡因子
    			if (parent->_left == cur)//左边增加
    				--parent->_bf;
    			else
    				++parent->_bf;
    			if (parent->_bf == 0)  //平衡因子达到0   说明此时对于该父节点，其子树较短的一侧被补齐 ，则停止更新
    				//停止更新
    				break;
    			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
    				//继续向上更新
    			{
    				cur = parent;
    				parent = parent->_parent;
    			}
    			else if (abs(parent->_bf) == 2)
    			{
    				if (parent->_bf == -2&&cur->_bf==-1)
    					RotateR(parent);
    				else if(parent->_bf == 2&&cur->_bf==1)
    					RotateL(parent);
    				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) //左边比右边高  bf=右-左
    				{
    					Node* subLR = cur->_right;
    					int bf = subLR->_bf;
    					RotateL(cur);
    					RotateR(parent);
    					if (bf == 1)
    					{
    						cur->_bf = -1;
    						parent->_bf = 0;
    					}
    					else if (bf == -1)
    					{
    						cur->_bf = 0;
    						parent->_bf = 1;
    					}
    				}
    				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) //右边比左边高  bf=右-左
    				{
    					//保存右左双旋平衡因子
    					Node* subRL = cur->_left;
    					int bf = subRL->_bf;
    					RotateR(cur);
    					RotateL(parent);
    					
    					//修正平衡因子
    					if (bf == 1)
    					{
    						cur->_bf = 0;
    						parent->_bf = -1;
    					}
    					else if(bf==-1)
    					{
    						cur->_bf = 1;
    						parent->_bf = 0;
    					}
    				}
    				break;
    			}
    		}
    		return true;
    	}

*  根据平衡因子计算结果：右子树高度-左子树高度

1.  **如果新加入节点在父节点的左侧，即左侧高度增加，平衡因子减一**
2.  **如果新加入节点在父节点的右侧，即右侧高度增加，平衡因子加一**

*  当父节点平衡因子为1或-1继续更新，直至平衡因子达到0 说明此时对于该父节点，其子树较短的一侧被补齐 ，则停止更新
 *  如果平衡因子调整过程中发现：父节点的平衡因子如果达到-2或2时，说明此时结构存在问题需要调整结构：

1.  parent->\_bf == -2&&cur->\_bf==-1 **右旋**
2.  parent->\_bf == 2&&cur->\_bf==1 **左旋**
3.  parent->\_bf == -2 && cur->\_bf == 1 **左右双旋**
4.  parent->\_bf == 2 && cur->\_bf == -1 **右左双旋**

*  左右双旋过程，修正平衡因子

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![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70 9][]

*  右左双旋过程，修正平衡因子

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70 10][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70 11][]

*  ### **代码测试：** ###

**（1）顺序插入5 3 1，当1插入后触发右旋**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70 12][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70 13][]![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70 14][]

**（2）测试随机生成数插入，构建AVL树**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTMxNjEx_size_16_color_FFFFFF_t_70 15][]

**（3）随机10个数，其经过结果变换和平衡因子调整为一棵AVL树**

**判断所构建的AVL树是否平衡**

int Height(Node* root)
    	{
    		if (root == nullptr)
    			return 0;
    		int left = Height(root->_left);
    		int right = Height(root->_right);
    		return left > right ? left + 1 : right + 1;
    	}
    	bool is_balance()
    	{
    		return is_balance(_root);
    	}
    	bool is_balance(Node* root)
    	{
    		if (root == nullptr)
    		{
    			return true;
    		}
    
    		int left = Height(root->_left);
    		int right = Height(root->_right);
    		if (right - left != root->_bf)
    		{
    			cout << "No AVL Tree" << endl;
    			return false;
    		}
    		return abs(root->_bf) < 2 && is_balance(root->_left) && is_balance(root->_right);
    	}

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[Link 1]: https://blog.csdn.net/qq_36131611/article/details/116792872
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