线性代数基本概念

骑猪看日落 2023-01-06 01:30 252阅读 0赞

# [线性代数基本概念总结 ][Link 1] #

## **一、行列式** ##

**线性方程组：各个方程 关于未知量均为一次的方程组**

**行列式：|A|**  
行列式的计算：一阶，二阶，三阶，等等  
行列式的变换性质和计算：交换变号，单行单列提k，k倍加另一行不变

余子式：没带数字，M

代数余子式：带了数字-1，A

多个代数余子式带系数相加：下标找位置，系数替换，求得行列式为结果  
行列式的展开：各个元素乘对应的代数余子式  
克拉默法则：AX=b，Xi=Di/D

## 二、矩阵及其运算 ##

数量矩阵：![kI][]（k是常数）

可交换：AB=BA

A^n：1.数学归纳法        2.拆为列向量\*行向量    3.A 可相似对角化，即存在可逆矩阵P 使得![P^-^1AP=\\Lambda][P_-_1AP_Lambda] ，求出P,求出![A^n][A_n]

对称矩阵：![A^T=A][A_T_A]

反称矩阵：![A^T= - A][A_T_ - A]

幂等矩阵：![B^n=B][B_n_B]  
对角矩阵：一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于零  
线性变换：矩阵常数元素转为线性方程组  
矩阵的加减乘除和转置  
方阵和N阶行列式的区别：N阶行列式是数，方阵是二维组合  
逆矩阵：![AA^-^1=I][AA_-_1_I]或![A^-^1A=I][A_-_1A_I]

行等价：A和B行等价，就是说A经过若干次初等行变换可以变成B，方程组AX=0与BX=0同解，两个矩阵的行向量组可以互相线性表示，两个矩阵的秩相同  
可逆的充分必要条件：|A|不等于0，A和I行等价，r（A）=n  
矩阵分块：把大矩阵计算转换为小矩阵的计算

矩阵的标准型：I  O

O O

秩的定义： 非零子式的最高阶数

![AA^T=][AA_T]\[A一行平方和...An行平方和\]

**![a\_\{ij\}=A\_\{ij\}][a_ij_A_ij]：![A^\*=A^T][A_A_T]，A可逆**

![a\_\{ij\}=-A\_\{ij\}][a_ij_-A_ij]：![A^\*=-A^T][A_-A_T]

A为方阵，AB=0：|A|=0或者B=O

行满秩：矩阵秩等于行数

列满秩：若矩阵秩等于列数

满秩矩阵：A是n阶矩阵, r（A） = n, 则称A为满秩矩阵

## 三、矩阵的初等变换和线性方程组 ##

**等价**：A经过有限次初等变换为B，A与B等价，施密特正交化并单位化后的向量组与原向量组等价

向量组等价：两个向量组可以互相线性表示

**基础解系：极大线性无关组，可以线性表示方程的全部解**

**基础解系个数![=n-r(A)][n-r_A]**

矩阵变换的意义：用于线性方程组求解、求逆矩阵和矩阵理论探讨  
矩阵初等变换：矩阵的行列初等变换统  
**初等矩阵**：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵  
把矩阵变换转换为矩阵的加减乘除计算  
判断线性方程组的有解性：矩阵的秩  
增广矩阵：变量y列移到矩阵最右边

> ![R(A)=R(A^T)=R(AA^T)=R(A^TA)][R_A_R_A_T_R_AA_T_R_A_TA]
> 
> ![R(A+B)\\leq R(A)+R(B)][R_A_B_leq R_A_R_B]
> 
> ![R(A)+R(B)-n\\leq R(AB)\\leq min(R(A),R(B))][R_A_R_B_-n_leq R_AB_leq min_R_A_R_B]
> 
> AB=0   ![R(A)+R(B)\\leq n][R_A_R_B_leq n]
> 
> R (A)![\\leq R(A)+R(B)][leq R_A_R_B]
> 
>     B
> 
> R(A  O)=R(A)+R(B)
> 
>     O  B

Ax=0有唯一解，而Ax=b无解：A不一定是方阵，如果A的行数>列数就可能出现Ax=0有唯一解，而Ax=0=b无解的情况

## 四、向量组的线性相关性 ##

**部分相关——>整体相关**

**整体无关——>部分无关**

**原来相关——>缩短相关**

**原来无关——>延长无关**

**多组由少组线性表示时，多组线性相关**

**特征值之和：|A|**

**A的特征值为![\\lambda][lambda]，![kA+mI][kA_mI]的特征值为![k\\lambda +m][k_lambda _m]**

**f（A）=0对应的根为A可能的特征值**

**n阶矩阵有n个特征值（包括重根），而且对应特征向量有无数个。并且不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.**

代数重数：方程的根的重数

几何重数：该矩阵有特征值是重根，则该特征值所对应的特征向量所构成空间，也是方程组(λ**I**\-**A**)**x**=**0**）的维数

向量组：N维向量所组成的集合  
向量组线性相关：向量组通过系数组合得到0  
向量组的秩：最大线性无关向量组的向量个数  
线性方程组解和解的性质  
向量空间：N维向量集合，集合内的向量对于加、乘运算在集合类封闭，则称集合为向量空间

## 五、相似矩阵和二次型 ##

内积：对应项相乘再相加

长度：每项的平方和后开根号

正交：内积为0

正交向量组：没有0向量，任意两个向量相互正交，线性无关

标准（规范）正交向量组：每个向量都是单位向量，没有0向量，任意两个向量相互正交，线性无关，![\\alpha \_\{i\}\\alpha \_\{i\}^T=1][alpha _i_alpha _i_T_1]     ![\\alpha \_\{i\}\\alpha \_\{j\}^T=0][alpha _i_alpha _j_T_0]

标准正交基：向量个数=向量维数，没有0向量，任意两个向量相互正交，线性无关；向量个数=向量维数的向量组经过施密特正交化，单位化之后为标准正交基

施密特正交化方法：β和阿尔法转换

单位化，标准化：除以向量长度  
**正交矩阵：**![AA^T=I][AA_T_I]或![A^TA=I][A_TA_I]；![A^-^1=A^T][A_-_1_A_T]；|A|=+-1；A正交B正交，AB正交；充要条件：构成的向量组为正交向量组

实矩阵：矩阵元素没有虚数

**对称矩阵：![A^T=A][A_T_A]**

**对角矩阵**：一个方阵除了主对角线上的元素（![\\lambda][lambda]）外，其余元素都等于零

**对称矩阵：矩阵元素没有虚数，![A^T=A][A_T_A]；存在正交矩阵C    使得![C^TAC=C^-^1AC][C_TAC_C_-_1AC]为对角矩阵；求C：求特征值->求基础解系->施密特->单位化->C**

**对称矩阵：1.n阶有n个特征值   2.f（A）=0对应的根为A可能的特征值   3.特征值的乘积为|A|**

等价：PAQ=B，P与Q为可逆矩阵

tr(A)：对角元之和

**相似**：![P^-^1AP=B][P_-_1AP_B]，A和B相似，A和B特征值相同（因为特征方程相同），一定等价，相似矩阵的秩相等

**相似性质:1.tr（A）=tr（B）2.|A|=|B| 3.均可逆（或不可逆）4.![A^-^1][A_-_1]和![B^-^1][B_-_1]相似  5.![A^m][A_m]和![B^m][B_m]相似 6.特值相同  7.r（A）=r（B）**

**正交相似**：![P^-^1AP=B][P_-_1AP_B]  (P为正交矩阵)，一定相似，等价，合同

**相似对角化：即存在可逆矩阵P 使得![P^-^1AP=\\Lambda][P_-_1AP_Lambda]；对称矩阵必能相似对角化**  
特征值和特征向量：方阵\*其特征向量=其特征值\*特征向量

特征方程：![|\\lambda \*I-A|=0][lambda _I-A_0]  
相似矩阵：设A  B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使![P^-^1AP=B][P_-_1AP_B]  ，则称B是A的相似矩阵，或说A和B相似。  
对称矩阵的对角化

二次型：未知数的次数只能为2次，不能有常数项

二次型矩阵：A为实对称矩阵，![f(X)=X^TAX][f_X_X_TAX]

二次型矩阵的秩：A的秩

线性变换：左乘系数矩阵，X=CY

逆线性变换：左乘系数矩阵的系数矩阵可逆，不改变秩

**合同：C可逆，![B=C^TAC][B_C_TAC]，A与B合同，一定等价，←→相同的正负惯性指数 ←→相同的正负特征值的个数**  
二元齐次函数的二次型  
矩阵<->二次型：![X^2][X_2]为主对角线，其余对称  
由二次型求矩阵特征值

标准型：![y\_\{1\}^2+y\_\{2\}^2+...+y\_\{n\}^2][y_1_2_y_2_2_..._y_n_2]  
**配方法化二次型为标准型：一 一处理![x\_\{1\}][x_1]![x\_\{2\}][x_2]...，用y表示，用x反解**

**配方法化二次型为标准型（只有交叉项）：![x\_\{1\}=y\_\{1\}-y\_\{2\}][x_1_y_1_-y_2]    ![x\_\{2\}=y\_\{1\}+y\_\{2\}][x_2_y_1_y_2]  ... ![x\_\{n\}=y\_\{n\}][x_n_y_n]**

规范型![y\_\{1\}^2+y\_\{2\}^2+...-y\_\{n\}^2][y_1_2_y_2_2_...-y_n_2]

**正惯性系数：系数为正的项数，正特征值的个数**

**负惯性系数：系数为负的项数，负特征值的个数**

**二次型矩阵的秩等于正负惯性指数的和**

符号差：正惯性系数-负惯性系数

**正交矩阵**：![AA^T=I][AA_T_I]或![A^TA=I][A_TA_I]；![A^-^1=A^T][A_-_1_A_T]，列(行)向量两两正交,且长度为1

半正定矩阵：对称矩阵![A^T=A][A_T_A]

**正交变换**：x=Py，矩阵P是正交矩阵

**正交变换化二次型为标准型：**求系数矩阵A的特征值，基础解系，基础解系施密特单位化构成C，X=CY   ![f(x\_\{1\},x\_\{2\},x\_\{3\})=\\lambda \_\{1\}y\_\{1\}^2+\\lambda \_\{2\}y\_\{2\}^2+\\lambda \_\{3\}y\_\{3\}^2][f_x_1_x_2_x_3_lambda _1_y_1_2_lambda _2_y_2_2_lambda _3_y_3_2]  
**惯性定理**：规范形是唯一的，同一个二次型的不同标准型，不同标准型的  系数为正的项数  和  系数为负的项数  相同  
**正定二次型：X非零，![f(x)>0][f_x_0]；系数矩阵A的所有顺序主子式>0；特征值>0；标准型系数>0；对称矩阵和I合同**

判断二次型的正定性：系数矩阵A的所有顺序主子式>0

## 六、空间解析几何 ##

过渡矩阵：右乘

分量：坐标

方向角：与xyz轴的夹角

方向余弦：cos方向角

内积：点乘

正交：垂直，内积=0

柯西不等式：||a+b||<=||a||+||b||

外积：|a||b|sin夹角，表示面积

混合积：是一个数，先外积后内积；混合积=0，共面

平面方程：点法式![A(x-x\_\{0\})+B(y-y\_\{0\})+C(z-z\_\{0\})=0][A_x-x_0_B_y-y_0_C_z-z_0_0]；一般式![Ax+By+Cz+D=0][Ax_By_Cz_D_0]；截距式![x/A+y/B+z/C=0][x_A_y_B_z_C_0]

直线方程：原始方程![(x-x\_\{0\},y-y\_\{0\},z-z\_\{0\})=\\lambda (m,n,p)][x-x_0_y-y_0_z-z_0_lambda _m_n_p]；点向式；参数式；一般式

单叶旋转双曲面：![20210115113912864.png][]

双叶旋转双曲面：![20210115114020826.png][]

旋转抛物面：![z=k(x^2+y^2)][z_k_x_2_y_2]

旋转锥面：![z^2=k(x^2+y^2)][z_2_k_x_2_y_2]

椭球面：![20210115114305661.png][]![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FpcXExMzY_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

**曲面的抽象空间直角坐标系方程：**![2021011509500386.png][]

**柱面抽象直角坐标系方程：**![2021011509504675.png][]

**投影抽象直角坐标系方程：**![20210115095032913.png][]

[Link 1]: https://www.cnblogs.com/dhcn/p/7592768.html
[kI]: https://private.codecogs.com/gif.latex?kI
[P_-_1AP_Lambda]: https://private.codecogs.com/gif.latex?P%5E-%5E1AP%3D%5CLambda
[A_n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%5En
[A_T_A]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%5ET%3DA
[A_T_ - A]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%5ET%3D%20-%20A
[B_n_B]: https://private.codecogs.com/gif.latex?B%5En%3DB
[AA_-_1_I]: https://private.codecogs.com/gif.latex?AA%5E-%5E1%3DI
[A_-_1A_I]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%5E-%5E1A%3DI
[AA_T]: https://private.codecogs.com/gif.latex?AA%5ET%3D
[a_ij_A_ij]: https://private.codecogs.com/gif.latex?a_%7Bij%7D%3DA_%7Bij%7D
[A_A_T]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%5E*%3DA%5ET
[a_ij_-A_ij]: https://private.codecogs.com/gif.latex?a_%7Bij%7D%3D-A_%7Bij%7D
[A_-A_T]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%5E*%3D-A%5ET
[n-r_A]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%3Dn-r%28A%29
[R_A_R_A_T_R_AA_T_R_A_TA]: https://private.codecogs.com/gif.latex?R%28A%29%3DR%28A%5ET%29%3DR%28AA%5ET%29%3DR%28A%5ETA%29
[R_A_B_leq R_A_R_B]: https://private.codecogs.com/gif.latex?R%28A&plus;B%29%5Cleq%20R%28A%29&plus;R%28B%29
[R_A_R_B_-n_leq R_AB_leq min_R_A_R_B]: https://private.codecogs.com/gif.latex?R%28A%29&plus;R%28B%29-n%5Cleq%20R%28AB%29%5Cleq%20min%28R%28A%29%2CR%28B%29%29
[R_A_R_B_leq n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?R%28A%29&plus;R%28B%29%5Cleq%20n
[leq R_A_R_B]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cleq%20R%28A%29&plus;R%28B%29
[lambda]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda
[kA_mI]: https://private.codecogs.com/gif.latex?kA&plus;mI
[k_lambda _m]: https://private.codecogs.com/gif.latex?k%5Clambda%20&plus;m
[alpha _i_alpha _i_T_1]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha%20_%7Bi%7D%5Calpha%20_%7Bi%7D%5ET%3D1
[alpha _i_alpha _j_T_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha%20_%7Bi%7D%5Calpha%20_%7Bj%7D%5ET%3D0
[AA_T_I]: https://private.codecogs.com/gif.latex?AA%5ET%3DI
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[A_-_1]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%5E-%5E1
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[A_m]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%5Em
[B_m]: https://private.codecogs.com/gif.latex?B%5Em
[lambda _I-A_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%7C%5Clambda%20*I-A%7C%3D0
[f_X_X_TAX]: https://private.codecogs.com/gif.latex?f%28X%29%3DX%5ETAX
[B_C_TAC]: https://private.codecogs.com/gif.latex?B%3DC%5ETAC
[X_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?X%5E2
[y_1_2_y_2_2_..._y_n_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?y_%7B1%7D%5E2&plus;y_%7B2%7D%5E2&plus;...&plus;y_%7Bn%7D%5E2
[x_1]: https://private.codecogs.com/gif.latex?x_%7B1%7D
[x_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?x_%7B2%7D
[x_1_y_1_-y_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?x_%7B1%7D%3Dy_%7B1%7D-y_%7B2%7D
[x_2_y_1_y_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?x_%7B2%7D%3Dy_%7B1%7D&plus;y_%7B2%7D
[x_n_y_n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?x_%7Bn%7D%3Dy_%7Bn%7D
[y_1_2_y_2_2_...-y_n_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?y_%7B1%7D%5E2&plus;y_%7B2%7D%5E2&plus;...-y_%7Bn%7D%5E2
[f_x_1_x_2_x_3_lambda _1_y_1_2_lambda _2_y_2_2_lambda _3_y_3_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?f%28x_%7B1%7D%2Cx_%7B2%7D%2Cx_%7B3%7D%29%3D%5Clambda%20_%7B1%7Dy_%7B1%7D%5E2&plus;%5Clambda%20_%7B2%7Dy_%7B2%7D%5E2&plus;%5Clambda%20_%7B3%7Dy_%7B3%7D%5E2
[f_x_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?f%28x%29%3E0
[A_x-x_0_B_y-y_0_C_z-z_0_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%28x-x_%7B0%7D%29&plus;B%28y-y_%7B0%7D%29&plus;C%28z-z_%7B0%7D%29%3D0
[Ax_By_Cz_D_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?Ax&plus;By&plus;Cz&plus;D%3D0
[x_A_y_B_z_C_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?x/A&plus;y/B&plus;z/C%3D0
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