【线性代数（7）】矩阵概念和矩阵运算

悠悠 2022-12-19 06:14 256阅读 0赞

### 矩阵概念 ###

*  1 矩阵表示
 *  2 矩阵与行列式的区别
 *  3 矩阵运算
 *   *  3.1 矩阵加法
     *  3.2 矩阵减法
     *  3.3 矩阵数乘
 *  4 矩阵乘法
 *  5 矩阵的幂运算
 *  6 矩阵的转置运算

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# 1 矩阵表示 #

矩阵是有一些数按行按列构成的数表，比如下面就是4x5矩阵（用字符表示就是 A 4 X 5 A\_\{4X5\} A4X5），其中4代表着矩阵的行数，5代表着矩阵的列数， a i j a\_\{ij\} aij代表矩阵中的元素  
 \[ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t \] \\left\[ \\begin\{matrix\} a & b & c & d & e\\\\ f & g & h & i & j \\\\ k & l & m & n & o \\\\ p & q & r & s & t \\end\{matrix\} \\right\] ⎣⎢⎢⎡afkpbglqchmrdinsejot⎦⎥⎥⎤

行矩阵：只有一行数字组成的矩阵，比如 A 1 X 3 = ( 1 , 1 , 1 ) A\_\{1X3\} = \\left(\\begin\{matrix\} 1,1,1 \\end\{matrix\}\\right) A1X3=(1,1,1)

列矩阵：只有一列数字组成的矩阵，比如 A 3 X 1 = ( 1 1 1 ) A\_\{3X1\} = \\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\1\\\\1 \\end\{matrix\}\\right) A3X1=⎝⎛111⎠⎞

零矩阵：矩阵中所有的元素都是0，比如 A 2 X 2 = ( 0 , 0 0 , 0 ) A\_\{2X2\} = \\left(\\begin\{matrix\} 0,0\\\\0,0 \\end\{matrix\}\\right) A2X2=(0,00,0)

负矩阵：原来矩阵取负号，比如 A ⇒ − A A \\Rightarrow -A A⇒−A

方阵：矩阵的行数和列数相等，比如都是n行n列，就可以称为n阶矩阵，记作 A n X n 或 者 A n A\_\{nXn\} 或者A\_\{n\} AnXn或者An。**注意只有方阵才有主对角线和副对角线**

单位阵：矩阵主对角线元素全为1，其余的元素都为0，比如3阶单位阵 E 3 = ( 1 , 0 , 0 0 , 1 , 0 0 , 0 , 1 ) E\_\{3\}= \\left(\\begin\{matrix\} 1,0,0\\\\0,1,0\\\\0,0,1 \\end\{matrix\}\\right) E3=⎝⎛1,0,00,1,00,0,1⎠⎞

同型矩阵：两个矩阵的行数和列数是对应相等，比如 A 3 X 5 与 B 3 X 5 A\_\{3X5\}与B\_\{3X5\} A3X5与B3X5，若同型矩阵的对应位置的元素都相等，则 A = B A=B A=B。**矩阵相等的前提是同型矩阵**，比如两个0矩阵不一定相等，可能行列数不相同，不满足同型矩阵的要求

# 2 矩阵与行列式的区别 #

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th></th> 
 <th>矩阵</th> 
 <th>行列式</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>本质</td> 
 <td>数表</td> 
 <td>一个数</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>符号</td> 
 <td> [ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ] \left[ \begin{matrix} \space \space \space \space \end{matrix} \right] [&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;] ( &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ) ( \space \space \space \space ) (&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)</td> 
 <td> ∣ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ∣ \begin{vmatrix} \space \space \space \space \end{vmatrix} ∣∣&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;∣∣</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>行数</td> 
 <td>行列数可以不相等（可以不是方形）</td> 
 <td>行数一定等于列数（方形）</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>公因子</td> 
 <td>公因子针对所有元素</td> 
 <td>公因子针对单行或者单列元素</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

# 3 矩阵运算 #

## 3.1 矩阵加法 ##

前提是**只有同型矩阵才能进行**，矩阵的对应元素相加即可： ( 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 ) + ( 0 , 2 , 3 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , 3 , 4 2 , 2 , 2 ) \\left(\\begin\{matrix\} 1,1,1\\\\1,1,1 \\end\{matrix\}\\right) + \\left(\\begin\{matrix\} 0,2,3\\\\1,1,1 \\end\{matrix\}\\right) = \\left(\\begin\{matrix\} 1,3,4\\\\2,2,2 \\end\{matrix\}\\right) (1,1,11,1,1)\+(0,2,31,1,1)=(1,3,42,2,2)

## 3.2 矩阵减法 ##

前提是**只有同型矩阵才能进行**，矩阵的对应元素相减即可： ( 2 , 3 , 3 1 , 1 , 1 4 , 4 , 4 ) + ( 1 , 2 , 3 1 , 1 , 1 0 , 0 , 0 ) = ( 1 , 1 , 0 0 , 0 , 0 4 , 4 , 4 ) \\left(\\begin\{matrix\} 2,3,3\\\\1,1,1\\\\4,4,4 \\end\{matrix\}\\right) + \\left(\\begin\{matrix\} 1,2,3\\\\1,1,1\\\\0,0,0 \\end\{matrix\}\\right) = \\left(\\begin\{matrix\} 1,1,0\\\\0,0,0\\\\4,4,4 \\end\{matrix\}\\right) ⎝⎛2,3,31,1,14,4,4⎠⎞\+⎝⎛1,2,31,1,10,0,0⎠⎞=⎝⎛1,1,00,0,04,4,4⎠⎞

矩阵加减法性质：

*   A + B = B + A A+B = B+A A\+B=B\+A
 *   ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (A+B)+C = A+(B+C) (A\+B)\+C=A\+(B\+C)
 *   A + 0 = A A+0=A A\+0=A
 *   A + ( − A ) = 0 A+(-A) = 0 A\+(−A)=0
 *   A + B = C    ⟺    A = C − B A+B =C \\iff A = C-B A\+B=C⟺A=C−B

## 3.3 矩阵数乘 ##

一个数乘以一个矩阵，结果就是该数乘以矩阵中的所有元素，比如： k ( 2 , 3 , 3 1 , 1 , 1 4 , 4 , 4 ) = ( 2 k , 3 k , 3 k k , k , k 4 k , 4 k , 4 k ) k\\left(\\begin\{matrix\} 2,3,3\\\\1,1,1\\\\4,4,4 \\end\{matrix\}\\right) = \\left(\\begin\{matrix\} 2k,3k,3k\\\\k,k,k\\\\4k,4k,4k \\end\{matrix\}\\right) k⎝⎛2,3,31,1,14,4,4⎠⎞=⎝⎛2k,3k,3kk,k,k4k,4k,4k⎠⎞

因此，对应矩阵有公因子是指所有的元素都有公因子，该**公因子朝外提一次**。注意n阶行列式提公因式：一行（列）提一次，所有元素均有公因子，则外提n次

矩阵数乘的性质：

*   k ( A + B ) = k A + k B k(A+B) = kA+kB k(A\+B)=kA\+kB
 *   ( k + l ) A = k A + l A (k+l)A = kA+lA (k\+l)A=kA\+lA
 *   k ( l A ) = ( k l ) A k(lA) = (kl)A k(lA)=(kl)A

# 4 矩阵乘法 #

第一个矩阵的行分别乘以第二个矩阵对应的列元素然后相加，结果放置在对应的位置上  
 ( 2 , 1 , 0 1 , 0 , 1 ) ( 2 , 3 , 3 1 , 1 , 1 4 , 4 , 4 ) = ( 2 , 1 , 3 1 , 1 , 2 ) \\left(\\begin\{matrix\} 2,1,0\\\\1,0,1\\end\{matrix\}\\right)\\left(\\begin\{matrix\} 2,3,3\\\\1,1,1\\\\4,4,4 \\end\{matrix\}\\right) = \\left(\\begin\{matrix\} 2,1,3\\\\1,1,2 \\end\{matrix\}\\right) (2,1,01,0,1)⎝⎛2,3,31,1,14,4,4⎠⎞=(2,1,31,1,2)注意矩阵相乘的前提条件：第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的形状为第一个矩阵的行数和第二个矩阵的列数，即：**中间相等，取两头** A n X m ∗ B m X k = C n X k A\_\{nXm\}\*B\_\{mXk\} = C\_\{nXk\} AnXm∗BmXk=CnXk

例题（矩阵的乘法是和位置有关的，第一条性质）：

( − 1 , 1 , 5 4 , 3 , − 2 ) ( 1 , − 1 0 , 2 − 3 , 6 ) = ( − 16 , 33 10 , − 10 ) ⇒ A 2 X 3 ∗ B 3 X 2 = C 2 X 2 \\left(\\begin\{matrix\} -1,1,5\\\\4,3,-2\\end\{matrix\}\\right)\\left(\\begin\{matrix\} 1,-1\\\\0,2\\\\-3,6 \\end\{matrix\}\\right) = \\left(\\begin\{matrix\} -16,33\\\\10,-10 \\end\{matrix\}\\right) \\Rightarrow A\_\{2X3\}\*B\_\{3X2\}=C\_\{2X2\} (−1,1,54,3,−2)⎝⎛1,−10,2−3,6⎠⎞=(−16,3310,−10)⇒A2X3∗B3X2=C2X2

( 1 , − 1 0 , 2 − 3 , 6 ) ( − 1 , 1 , 5 4 , 3 , − 2 ) = ( − 5 , − 2 , 7 8 , 6 , − 4 27 , 15 , − 27 ) ⇒ A 3 X 2 ∗ B 2 X 3 = C 3 X 3 \\left(\\begin\{matrix\} 1,-1\\\\0,2\\\\-3,6 \\end\{matrix\}\\right)\\left(\\begin\{matrix\} -1,1,5\\\\4,3,-2\\end\{matrix\}\\right) = \\left(\\begin\{matrix\} -5,-2,7\\\\8,6,-4\\\\27,15,-27 \\end\{matrix\}\\right) \\Rightarrow A\_\{3X2\}\*B\_\{2X3\}=C\_\{3X3\} ⎝⎛1,−10,2−3,6⎠⎞(−1,1,54,3,−2)=⎝⎛−5,−2,78,6,−427,15,−27⎠⎞⇒A3X2∗B2X3=C3X3

矩阵乘法的性质：

*   A B ≠ B A AB\\not=BA AB=BA，如果  A B AB AB 有意义，但是  B A BA BA 不一定有意义，存在  **A B = B A AB=BA AB=BA，此时成  A B AB AB 是可交换的**。为了区别这种情况就出现了“左乘”和“右乘”的概念，比如  A B AB AB 可以称作： A A A左乘 B B B或者 B B B右乘 A A A
 *   A B = 0 ⇏ A = 0 AB=0 \\not \\Rightarrow A=0 AB=0⇒A=0 或者  B = 0 B=0 B=0
 *   A B = A C , A ≠ 0 ⇏ B = C AB=AC,A\\not=0 \\not \\Rightarrow B=C AB=AC,A=0⇒B=C

例题（针对性格第2和3条性质）  
 A = ( 2 , 0 − 1 , 0 ) B = ( 0 , 0 1 , 3 ) C = ( 0 , 0 2 , 4 ) A =\\left(\\begin\{matrix\} 2,0\\\\-1,0\\end\{matrix\}\\right) B= \\left(\\begin\{matrix\} 0,0\\\\1,3\\end\{matrix\}\\right) C= \\left(\\begin\{matrix\} 0,0\\\\2,4\\end\{matrix\}\\right) A=(2,0−1,0)B=(0,01,3)C=(0,02,4)

计算  A B AB AB 和  A C AC AC  
 A B = ( 0 , 0 0 , 0 ) A C = ( 0 , 0 0 , 0 ) AB = \\left(\\begin\{matrix\} 0,0\\\\0,0\\end\{matrix\}\\right) AC = \\left(\\begin\{matrix\} 0,0\\\\0,0\\end\{matrix\}\\right) AB=(0,00,0)AC=(0,00,0)

*  与零矩阵相乘，还是零矩阵，但是注意矩阵的相乘的前提和最后矩阵的形状，比如  A 4 X 3 ∗ 0 4 X 2 = 0 4 X 2 A\_\{4X3\}\*0\_\{4X2\}=0\_\{4X2\} A4X3∗04X2=04X2
 *  与单位阵 E E E相乘，结果还是其本身，比如  A E = A , E B = B AE=A,EB=B AE=A,EB=B
 *  结合律： ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C = A(BC) (AB)C=A(BC)
 *  分配率： ( A + B ) C = A C + B C , C ( A + B ) = C A + C B (A+B)C = AC + BC,C(A+B) = CA + CB (A\+B)C=AC\+BC,C(A\+B)=CA\+CB
 *   k ( A B ) = ( k A ) B = A ( k B ) k(AB)=(kA)B=A(kB) k(AB)=(kA)B=A(kB)

例题，求解与  A = ( 1 , 0 1 , 1 ) A=\\left(\\begin\{matrix\} 1,0\\\\1,1\\end\{matrix\}\\right) A=(1,01,1) 可交换的所有矩阵

解：根据前面提到的矩阵可交换的条件，也就是 A B = B A AB=BA AB=BA，假设 B = ( a , b c , d ) B=\\left(\\begin\{matrix\} a,b\\\\c,d\\end\{matrix\}\\right) B=(a,bc,d)，那么就有  
 ( 1 , 0 1 , 1 ) ( a , b c , d ) = ( a , b c , d ) ( 1 , 0 1 , 1 ) ⇒ ( a , b a + c , b + d ) ( a + b , b c + d , d ) \\left(\\begin\{matrix\} 1,0\\\\1,1\\end\{matrix\}\\right)\\left(\\begin\{matrix\} a,b\\\\c,d\\end\{matrix\}\\right) = \\left(\\begin\{matrix\} a,b\\\\c,d\\end\{matrix\}\\right)\\left(\\begin\{matrix\} 1,0\\\\1,1\\end\{matrix\}\\right) \\Rightarrow \\left(\\begin\{matrix\} a,b\\\\a+c,b+d\\end\{matrix\}\\right)\\left(\\begin\{matrix\} a+b,b\\\\c+d,d\\end\{matrix\}\\right) (1,01,1)(a,bc,d)=(a,bc,d)(1,01,1)⇒(a,ba\+c,b\+d)(a\+b,bc\+d,d)

两个矩阵相等，那么矩阵中的所有元素都是对应相等，故有  a = a + b , a + c = c + d , b + d = d a = a+b, a+c=c+d,b+d =d a=a\+b,a\+c=c\+d,b\+d=d，求解出 B = ( a , 0 c , a ) B = \\left(\\begin\{matrix\} a,0\\\\c,a\\end\{matrix\}\\right) B=(a,0c,a)，其中 a , c a,c a,c为任意常数

# 5 矩阵的幂运算 #

规定： A k = A A A . . . A A ( 一 共 k 个 A 相 乘 ) , A 0 = E ( 方 阵 的 0 次 幂 为 单 位 阵 ) A^\{k\} = AAA...AA(一共k个A相乘), A^\{0\} = E(方阵的0次幂为单位阵) Ak=AAA...AA(一共k个A相乘),A0=E(方阵的0次幂为单位阵)，幂运算的性质(A是方阵)

*   A k 1 A k 2 = A k 1 + k 2 A^\{k\_\{1\}\}A^\{k\_\{2\}\}=A^\{k\_\{1\}+k\_\{2\}\} Ak1Ak2=Ak1\+k2
 *   ( A k 1 ) k 2 = A k 1 ∗ k 2 (A^\{k\_\{1\}\})^\{k\_\{2\}\}=A^\{k\_\{1\}\*k\_\{2\}\} (Ak1)k2=Ak1∗k2
 *   ( A B ) 2 ≠ A 2 B 2 , ( A B ) k ≠ A k B k (AB)^\{2\} \\not=A^\{2\}B^\{2\},(AB)^\{k\} \\not=A^\{k\}B^\{k\} (AB)2=A2B2,(AB)k=AkBk，将式子展开后就好理解了，只有在  A B AB AB 可交换的情况下，才会相等  ( A B ) 2 = A B A B ≠ A A B B = A 2 B 2 (AB)^\{2\} = ABAB \\not= AABB = A^\{2\}B^\{2\} (AB)2=ABAB=AABB=A2B2
 *   ( A + B ) 2 ≠ A 2 + 2 A B + B 2 , ( A − B ) 2 ≠ A 2 − 2 A B + B 2 (A+B)^\{2\} \\not=A^\{2\}+2AB+B^\{2\},(A-B)^\{2\} \\not=A^\{2\}-2AB+B^\{2\} (A\+B)2=A2\+2AB\+B2,(A−B)2=A2−2AB\+B2，将式子展开后，和上一条性质一样，只有在  A B AB AB 可交换的情况下，才会相等
 *  如果 A A A或者 B B B是单位阵，那么上面的式子就是成立的， ( A + E ) 2 = A 2 + 2 A E + E 2 , ( A − E ) 2 = A 2 − 2 A E + E 2 (A+E)^\{2\} =A^\{2\}+2AE+E^\{2\},(A-E)^\{2\}=A^\{2\}-2AE+E^\{2\} (A\+E)2=A2\+2AE\+E2,(A−E)2=A2−2AE\+E2

例题，假设 A = ( 1 1 1 ) , B = ( 1 , 2 , 3 ) A =\\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\1\\\\1\\end\{matrix\}\\right), B = \\left(\\begin\{matrix\} 1,2,3\\end\{matrix\}\\right) A=⎝⎛111⎠⎞,B=(1,2,3),求 解  ( A B ) 2 (AB)^\{2\} (AB)2 和  ( A B ) 10 (AB)^\{10\} (AB)10

解：高次幂的运算绝对不是硬算的，不然出题人会被拉出去砍了，一般都是找规律或者使用中间变量进行求解 A B = ( 1 1 1 ) ( 1 , 2 , 3 ) = ( 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 ) ⇒ ( A B ) 2 = ( 6 , 12 , 18 6 , 12 , 18 6 , 12 , 18 ) AB=\\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\1\\\\1\\end\{matrix\}\\right) \\left(\\begin\{matrix\} 1,2,3\\end\{matrix\}\\right)= \\left(\\begin\{matrix\} 1,2,3\\\\1,2,3\\\\1,2,3\\end\{matrix\}\\right)\\Rightarrow (AB)^\{2\} = \\left(\\begin\{matrix\} 6,12,18\\\\6,12,18\\\\6,12,18\\end\{matrix\}\\right) AB=⎝⎛111⎠⎞(1,2,3)=⎝⎛1,2,31,2,31,2,3⎠⎞⇒(AB)2=⎝⎛6,12,186,12,186,12,18⎠⎞ ( A B ) 2 = A ( B A ) B = 6 A B      ⇒      ( A B ) 10 = A B A B . . . A B = 6 9 ( 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 ) (AB)^\{2\} = A(BA)B=6AB \\space\\space\\space\\space\\Rightarrow \\space\\space\\space\\space(AB)^\{10\} = ABAB...AB=6^\{9\}\\left(\\begin\{matrix\} 1,2,3\\\\1,2,3\\\\1,2,3\\end\{matrix\}\\right) (AB)2=A(BA)B=6AB    ⇒    (AB)10=ABAB...AB=69⎝⎛1,2,31,2,31,2,3⎠⎞

# 6 矩阵的转置运算 #

矩阵转置的性质

*   ( A T ) T = A (A^\{T\})^\{T\} = A (AT)T=A
 *   ( A + B ) T = A T + B T (A+B)^\{T\} = A^\{T\} + B^\{T\} (A\+B)T=AT\+BT
 *   ( k A ) T = k A T (kA)^\{T\} = kA^\{T\} (kA)T=kAT
 *   ( A B ) T = B T A T (AB)^\{T\} = B^\{T\}A^\{T\} (AB)T=BTAT

[Link 1]: https://blog.csdn.net/lys_828/article/details/109518585