线性代数第二章矩阵及其运算

逃离我推掉我的手 2023-08-17 15:30 130阅读 0赞

# $1.矩阵 #

**定义1**  
 由 m ∗ n 个 数 a i j ( i = 1 , 2 , 3... , n ) 排 成 的 m 行 n 列 的 数 表 由m\*n个数a\_\{ij\}(i=1,2,3...,n)排成的m行n列的数表 由m∗n个数aij(i=1,2,3...,n)排成的m行n列的数表  
![在这里插入图片描述][20190926161037752.png]  
称为m行n列矩阵，简称m*n矩阵。为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示，记作  
![在这里插入图片描述][20190926161142177.png]  
这m*n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数 a i j a\{ij\} aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的（i,j）元。以数 a i , j 元 的 矩 阵 可 简 记 作 ( a i j ) 或 ( a i j ) m ∗ n . m ∗ n 矩 阵 A 也 记 作 A m ∗ n a\_\{i,j\}元的矩阵可简记作(a\_\{ij\})或(a\_\{ij\})m\*n. m\*n矩阵A也记作A\_\{m\*n\} ai,j元的矩阵可简记作(aij)或(aij)m∗n.m∗n矩阵A也记作Am∗n.  
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。  
行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。n阶矩阵A也记作An。  
只有一行的矩阵  
 A = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) A=(a\_1,a\_2,...,a\_n) A=(a1,a2,...,an).  
只有一列的矩阵  
![在这里插入图片描述][20190926161739926.png]  
称为列矩阵，又称列向量。  
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。如果 A = ( a i j ) 与 B = ( b i j ) 是 同 型 矩 阵 ， 并 且 它 们 的 对 应 元 素 相 等 ， 即 A=(a\_\{ij\})与B=(b\_\{ij\})是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即 A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即  
![在这里插入图片描述][20190926161946538.png]  
那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作  
A=B  
元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作O。注意不同型的零矩阵是不同的。  
矩阵的应用非常广泛，下面仅举几例。

##### 例1 #####

某工厂三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵  
![在这里插入图片描述][201909261622183.png]  
其中 a i j 为 工 厂 向 第 i 店 发 送 第 j 种 产 品 的 数 量 。 a\_\{ij\}为工厂向第i店发送第j种产品的数量。 aij为工厂向第i店发送第j种产品的数量。  
这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵  
![在这里插入图片描述][2019092616231213.png]  
其中 b i 1 为 第 i 种 产 品 的 单 价 ， b i 2 为 第 i 种 产 品 的 单 件 重 量 b\_\{i1\}为第i种产品的单价，b\_\{i2\}为第i种产品的单件重量 bi1为第i种产品的单价，bi2为第i种产品的单件重量。

##### 例2 #####

四个城市间的单向航线如图2.1所示：  
![在这里插入图片描述][20190926163211574.png]  
若令  
 a i j = \{ 1 , 从 i 市 到 j 市 有 1 条 单 向 航 线 ， 0 ， 从 i 市 到 j 市 没 有 单 向 航 线 . a\_\{ij\}=\\begin\{cases\} 1,从i市到j市有1条单向航线，\\\\ 0，从i市到j市没有单向航线. \\end\{cases\} aij=\{ 1,从i市到j市有1条单向航线，0，从i市到j市没有单向航线.  
则图2.1可用矩阵表示为  
![在这里插入图片描述][20190926163234481.png]  
一般的，若干个点之间的单向通道都可以用这样的矩阵表示。

##### 例3 #####

n 个 变 量 x 1 , x 2 , . . . , x n 与 m 个 变 量 y 1 , y 2 , . . . , y m 之 间 的 关 系 式 n个变量x\_1,x\_2,...,x\_n与m个变量y\_1,y\_2,...,y\_m之间的关系式 n个变量x1,x2,...,xn与m个变量y1,y2,...,ym之间的关系式  
![在这里插入图片描述][20190926163413105.png]  
表示一个从变量 x 1 , x 2 , . . . , x n 到 变 量 y 1 , y 2 , . . . , y m 的 线 性 变 换 ， 其 中 a i j 为 常 数 。 线 性 变 换 （ 2 ） 的 系 数 a i j 构 成 矩 阵 A = ( a i j ) m ∗ n x\_1,x\_2,...,x\_n到变量y\_1,y\_2,...,y\_m的线性变换，其中a\_\{ij\}为常数。线性变换（2）的系数a\_\{ij\}构成矩阵A=(a\_\{ij\})\_\{m\*n\} x1,x2,...,xn到变量y1,y2,...,ym的线性变换，其中aij为常数。线性变换（2）的系数aij构成矩阵A=(aij)m∗n  
给定了线性变换（2），它的系数所构成的矩阵（称为系数矩阵）也就确定。反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定。在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系。  
例如线性变换  
![在这里插入图片描述][20190926164239884.png]  
叫做恒等变换，它对应的一个n阶方阵  
![在这里插入图片描述][20190926164303598.png]  
叫做n阶单位矩阵，简称单位阵。这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线（叫做（主）对角线上的元素都是1，其他元素都是0.即单位阵E的（i,j）元为）  
![在这里插入图片描述][20190926171430922.png]  
又如线性变换  
![在这里插入图片描述][20190926171445347.png]  
对应n阶方阵  
![在这里插入图片描述][20190926171500321.png]  
这个方阵的特点是：不在对角线上的元素都是0.这种方阵为对角矩阵，简称对角阵。对角阵也记作  
![在这里插入图片描述][20190926171553334.png]  
由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换，也可以利用线性变换来解释矩阵的含义。  
例如矩阵  
 ( 1 0 0 0 ) \\begin\{pmatrix\} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end\{pmatrix\}\\quad (1000)  
所对应的线性变换  
 \{ x 1 = x , y 1 = 0 \\begin\{cases\} x\_1=x, \\\\ y\_1=0 \\end\{cases\} \{ x1=x,y1=0  
可看作是xOy平面上把向量OP= ( x 1 y 1 ) = ( x 0 ) \\begin\{pmatrix\}x\_1 \\\\ y\_1 \\end\{pmatrix\}=\\begin\{pmatrix\}x \\\\ 0 \\end\{pmatrix\} (x1y1)=(x0)的变换（或看作把点P变为点P1的变换，参看图2.2），由于向量OP1是向量OP在x轴上的投影向量（即点P1是点P在x轴上的投影），因此这是一个投影变换。  
![在这里插入图片描述][20190927093633286.png]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI4Mjg2MDI3_size_16_color_FFFFFF_t_70]

# $2.矩阵的运算 #

##### 一、矩阵的加法 #####

###### 定义2  设 有 两 个 m ∗ n 矩 阵 A = ( a i j ) 和 B = b i j , 那 么 矩 阵 A 和 B 的 和 记 作 A + B ， 规 定 为 设有两个m\*n矩阵A=(a\_\{ij\})和B=\{b\_\{ij\}\},那么矩阵A和B的和记作A+B，规定为 设有两个m∗n矩阵A=(aij)和B=bij,那么矩阵A和B的和记作A\+B，规定为 ######

![在这里插入图片描述][20190927094449327.png]  
应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。  
矩阵加法满足下列运算规律（设A,B,C都是m\*n矩阵）  
 ( 1 ) A + B = B + A (1)A+B=B+A (1)A\+B=B\+A  
 ( 2 ) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (2)(A+B)+C=A+(B+C) (2)(A\+B)\+C=A\+(B\+C).  
 设 矩 阵 A = ( a i j ) , 记 设矩阵A=(a\_\{ij\}),记 设矩阵A=(aij),记  
 − A = ( − a i j ) -A=(-a\_\{ij\}) −A=(−aij)  
\-A称为矩阵A的负矩阵，显然有  
A+(-A)=O,  
由此规定矩阵的减法为  
A-B=A+(-B).

##### 二、数与矩阵相乘 #####

###### 定义3  数 λ 与 矩 阵 A 的 乘 积 记 作 λ A 或 A λ , 规 定 为 数\\lambda 与矩阵A的乘积记作\\lambda A或A \\lambda,规定为 数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ,规定为 ######

![在这里插入图片描述][20190927095345881.png]  
 数 乘 矩 阵 满 足 下 列 运 算 规 律 （ 设 A , B 为 m ∗ n 矩 阵 ， λ , μ 为 数 ） ： 数乘矩阵满足下列运算规律（设A,B为m\*n矩阵，\\lambda,\\mu 为数）： 数乘矩阵满足下列运算规律（设A,B为m∗n矩阵，λ,μ为数）：  
 ( 1 ) ( λ μ ) A = λ ( μ A ) ; (1)(\\lambda \\mu)A=\\lambda(\\mu A); (1)(λμ)A=λ(μA);  
 ( 2 ) ( λ + μ ) A = λ A + μ A ; (2)(\\lambda+\\mu)A=\\lambda A+\\mu A; (2)(λ\+μ)A=λA\+μA;  
 ( 3 ) λ ( A + B ) = λ A + λ B . (3)\\lambda(A+B)=\\lambda A+\\lambda B. (3)λ(A\+B)=λA\+λB.  
矩阵相加与数乘矩阵结合起来，统称为矩阵的线性运算。

##### 三、矩阵与矩阵相乘 #####

设有两个线性变换  
![在这里插入图片描述][20190927095935833.png]  
若想求出从 t 1 , t 2 到 y 1 , y 2 的 线 性 变 换 ， 可 将 （ 4 ） 代 入 （ 3 ） ， 便 得 t\_1,t\_2到y\_1,y\_2的线性变换，可将（4）代入（3），便得 t1,t2到y1,y2的线性变换，可将（4）代入（3），便得  
![在这里插入图片描述][20190927100038585.png]  
线性变换（5）可看作是先作线性变换（4）再作线性变换（3）的结果。我们把线性变换（5）叫做线性变换（3）与（4）的乘积，相应的把（5）所对应的矩阵定义为（3）与（4）所对应的的矩阵的乘积，即  
![在这里插入图片描述][20190927100215982.png]  
一般的，我们有

###### 定义4  设 A = （ a i j ） 是 一 个 m ∗ s 矩 阵 ， B = （ b i j ） 是 一 个 s ∗ n 矩 阵 ， 那 么 规 定 矩 阵 A 与 矩 阵 B 的 乘 积 是 一 个 m ∗ n 矩 阵 C = （ c i j ） , 其 中 设A=（a\_\{ij\}）是一个m\*s矩阵，B=（b\_\{ij\}）是一个s\*n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m\*n矩阵C=（c\_\{ij\}）,其中 设A=（aij）是一个m∗s矩阵，B=（bij）是一个s∗n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m∗n矩阵C=（cij）,其中 ######

![在这里插入图片描述][20190927100455656.png]  
并把此乘积记作  
C=AB.  
按此定义，一个1*s行矩阵与一个s*1列矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数。  
![在这里插入图片描述][20190927100752326.png]  
= ∑ k = 1 t a i k b k j = c i j \\sum^t\_\{k=1\}a\_\{ik\}b\_\{kj\}=c\_\{ij\} ∑k=1taikbkj=cij,  
由此表明乘积矩阵AB=C的(i,j)元cij就是A的第i行与B的第j列的乘积。  
必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。

##### 例4 #####

求矩阵  
![在这里插入图片描述][20190927101208451.png]  
的乘积AB  
**解** 因为A是2*4矩阵，B是4*3矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘，其乘积AB=C是一个2\*3矩阵。按公式（6）有  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI4Mjg2MDI3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

##### 例5 #####

求矩阵  
![在这里插入图片描述][20190927101426425.png]  
的乘积AB及BA。  
解 按公式（6）有  
![在这里插入图片描述][20190927101505888.png]  
在例4中，A是2*4矩阵，B是4*3矩阵，乘积AB有意义而BA却没有意义。由此可知：  
1.在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序  
AB是A左乘B（B被A左乘）的乘积，BA是A右乘B的乘积，AB有意义时，BA可以没有意义。  
2.若A是m*n矩阵，B是n*m矩阵，则AB与BA都有意义，但AB是m阶方阵，BA是n阶方阵，当 m ≠ n 时 ， A B ≠ B A . 即 使 m = n ， 即 A , B 是 同 阶 方 阵 ， m\\not=n时，AB\\not=BA.即使m=n，即A,B是同阶方阵， m=n时，AB=BA.即使m=n，即A,B是同阶方阵，如例5，A与B都是2阶方阵，从而AB与BA也都是2阶方阵，但AB与BA仍然可以不相等。总之，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情形下， A B ≠ B A AB\\not=BA AB=BA.  
对于两个n阶方阵A,B，若AB=BA，则称方阵A与B是可交换的。  
例5还表明  
1.矩阵A ≠ O , B ≠ O , 但 却 有 B A = O 。 \\not=O,B\\not=O,但却有BA=O。 =O,B=O,但却有BA=O。这就提醒读者要特别注意：若有两个矩阵A,B满足AB=O，不能得出A=O或B=O的结论；  
2.若 A ≠ O 而 A ( X − Y ) = O , 也 不 能 得 出 X = Y 的 结 论 。 A\\not=O而A(X-Y)=O,也不能得出X=Y的结论。 A=O而A(X−Y)=O,也不能得出X=Y的结论。  
矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配率（假设运算都是可行的）：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI4Mjg2MDI3_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
对于单位矩阵E，容易验证  
![在这里插入图片描述][20190927103714292.png]  
可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1.  
矩阵  
![在这里插入图片描述][20190927103753644.png]  
称为**纯量阵**。由 ( λ E ) A = λ A , A ( λ E ) = λ A ， (\\lambda E)A=\\lambda A,A(\\lambda E)=\\lambda A， (λE)A=λA,A(λE)=λA，可知纯量阵 λ E 与 矩 阵 A 的 乘 积 等 于 数 λ 与 A 的 乘 积 。 \\lambda E与矩阵A的乘积等于数\\lambda与A的乘积。 λE与矩阵A的乘积等于数λ与A的乘积。并且当A为n阶方阵时，有  
 ( λ E n ) A n = λ A n = A n ( λ E n ) , (\\lambda E\_n)A\_n=\\lambda A\_n=A\_n(\\lambda E\_n), (λEn)An=λAn=An(λEn),  
表明纯量阵 λ E \\lambda E λE与任何同阶方阵都是可交换的。  
有了矩阵的乘法，就可以定义矩阵的幂。设A是n阶方阵，定义  
 A 1 = A , A 2 = A 1 ∗ A 1 , . . . , A k + 1 = A k A 1 , A^1=A,A^2=A^1\*A^1,...,A^\{k+1\}=A^kA^1, A1=A,A2=A1∗A1,...,Ak\+1=AkA1,  
其中k为正整数，这就是说 A k 就 是 k 个 A 连 乘 。 显 然 只 有 方 阵 ， 它 的 幂 才 有 意 义 。 A^k就是k个A连乘。显然只有方阵，它的幂才有意义。 Ak就是k个A连乘。显然只有方阵，它的幂才有意义。  
由于矩阵乘法适合结合律，所以矩阵的幂满足以下运算规律：  
 A k A l = A k + l , ( A k ) l = A k l , A^kA^l=A^\{k+l\},(A^k)^l=A^\{kl\}, AkAl=Ak\+l,(Ak)l=Akl,  
其中k,l为正整数，又因矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个n阶矩阵A与B，一般说来 ( A B ) k ≠ A k B k , 只 有 当 A 与 B 可 交 换 时 ， 才 有 ( A B ) k = A k B k . (AB)^k\\not=A^kB^k,只有当A与B可交换时，才有(AB)^k=A^kB^k. (AB)k=AkBk,只有当A与B可交换时，才有(AB)k=AkBk.  
类似可知，例如 ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 , ( A − B ) ( A + B ) = A 2 − B 2 (A+B)^2=A^2+2AB+B^2,(A-B)(A+B)=A^2-B^2 (A\+B)2=A2\+2AB\+B2,(A−B)(A\+B)=A2−B2等公式，也只有当A与B可交换时才成立。  
上节例1中有一个向三个商店发送四种产品的数量所构成的矩阵A、一个四种产品的单价与单价重量所构成的矩阵B，按矩阵相乘的定义，可知A与B的乘积矩阵AB=C= ( c i j ) 3 ∗ 2 (c\_\{ij\})\_\{3\*2\} (cij)3∗2为三个商店所发产品的总值及总重量所构成的矩阵，即 c i 1 为 向 第 i 店 所 发 产 品 的 总 值 ， c i 2 c\_\{i1\}为向第i店所发产品的总值，c\_\{i2\} ci1为向第i店所发产品的总值，ci2为向第i店所发产品的总重量。  
上节例2中有一个四城市间的单向航线矩阵A，由  
![在这里插入图片描述][20190927134644395.png]  
记 A 2 = ( b i j ) , 则 b i j 为 从 i 市 一 次 中 转 到 j 市 的 单 向 航 线 条 数 。 A^2=(b\_\{ij\}),则b\_\{ij\}为从i市一次中转到j市的单向航线条数。 A2=(bij),则bij为从i市一次中转到j市的单向航线条数。  
例如  
 b 23 = 1 b\_\{23\}=1 b23=1，显示从2市经一次中转到3市的单向航线有1条（2-1-3,参看图2.1）；  
 b 42 = 2 b\_\{42\}=2 b42=2，显示从4市经一次中转到2市的单向航线有2条（4-1-2,4-3-2）；  
 b 11 = 2 b\_\{11\}=2 b11=2,显示过1市的双向航线有2条（1-2-1,1-4-1）；  
 b 33 = 0 b\_\{33\}=0 b33=0，显示3市没有双向航线。  
上节例3中的线性变换  
![在这里插入图片描述][20190929142532674.png]  
利用矩阵的乘法，可记作

###### Y+AX, ######

其中  
![在这里插入图片描述][20190929142622790.png]  
这里，列向量（列矩阵）X表示n个变量 x 1 , x 2 , . . . , x n ， 列 向 量 Y x\_1,x\_2,...,x\_n，列向量Y x1,x2,...,xn，列向量Y表示m个  
变量 y 1 , y 2 , . . . , y n y\_1,y\_2,...,y\_n y1,y2,...,yn.线性变换（2）把X变成Y，相当于用矩阵A去左乘X得到Y。  
用矩阵A= ( 1 0 0 0 ) \\begin\{pmatrix\} 1 & 0 \\\\ 0&0 \\end\{pmatrix\} (1000)去左乘向量OP= ( x y ) \\begin\{pmatrix\} x\\\\ y \\end\{pmatrix\} (xy),相当于把向量OP投影到X轴上。（参看图2.2）  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI4Mjg2MDI3_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

###### 例6 ######

证明  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI4Mjg2MDI3_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

# 四、矩阵的转置 #

###### 定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作 A T A^T AT。例如矩阵 ######

![在这里插入图片描述][20190929144605396.png]  
矩阵转置也是一种运算，满足下述运算规律（假设运算都是可行的）：  
![在这里插入图片描述][20190929144646146.png]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI4Mjg2MDI3_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

###### 例7 ######

已知  
![在这里插入图片描述][20190929144907370.png]  
求 ( A B ) T (AB)^T (AB)T.  
解法1  
![在这里插入图片描述][20190929145001663.png]  
![在这里插入图片描述][20190929145017609.png]  
解法2  
![在这里插入图片描述][2019092914503765.png]  
设A为n阶方阵，如果满足 A T = A , A^T=A, AT=A,即  
![在这里插入图片描述][20190929145136352.png]  
那么A称为对称矩阵，简称对称阵。对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。

###### 例8 ######

设 列 矩 阵 X = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T 满 足 X T X = 1 , E 为 n 阶 单 位 阵 ， H = E − 2 X X T , 证 明 X X T 设列矩阵X=(x\_1,x\_2,...,x\_n)^T满足X^TX=1,E为n阶单位阵，H=E-2XX^T,证明XX^T 设列矩阵X=(x1,x2,...,xn)T满足XTX=1,E为n阶单位阵，H=E−2XXT,证明XXT是n阶方阵。  
证明前先提醒读者注意： X T X = x 1 2 + x 2 2 + . . . + x n 2 X^TX=x\_1^2+x\_2^2+...+x\_n^2 XTX=x12\+x22\+...\+xn2是一阶方阵，也就是一个数，而 X X T 是 n 阶 方 阵 。 XX^T是n阶方阵。 XXT是n阶方阵。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI4Mjg2MDI3_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

##### 五、方阵的行列式 #####

**定义6** 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或detA  
应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是 n 2 n^2 n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数（也就是数表A）按一定的运算法则所确定的一个数。  
由A确定|A|的这个运算满足下述运算规律（设A,B为n阶方阵， λ \\lambda λ为数）：  
![在这里插入图片描述][20190929170142448.png]  
我们仅证明(iii). 设 A = ( a i j ) , B = ( b i j ) . 记 2 n 阶 行 列 式 设A=(a\_\{ij\}),B=(b\_\{ij\}).记2n阶行列式 设A=(aij),B=(bij).记2n阶行列式  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI4Mjg2MDI3_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
由第一章例10可知 D = ∣ A ∣ ∣ B ∣ , 而 在 D 中 以 b 1 j 乘 以 第 1 列 ， b 2 j 乘 以 第 2 列 . . . , b n j 乘 第 n 列 ， 都 加 到 第 n + j 列 上 （ j = 1 , 2.. , n ） D=|A||B|,而在D中以b\_\{1j\}乘以第1列，b\_\{2j\}乘以第2列...,b\_\{nj\}乘第n列，都加到第n+j列上（j=1,2..,n） D=∣A∣∣B∣,而在D中以b1j乘以第1列，b2j乘以第2列...,bnj乘第n列，都加到第n\+j列上（j=1,2..,n）,有  
![在这里插入图片描述][20191005180934896.png]  
其中  
![在这里插入图片描述][20191005181011706.png]  
故 C=AB  
再对D的行作  
![在这里插入图片描述][20191005181131858.png]  
有  
![在这里插入图片描述][20191005181145628.png]  
从而按第一章例10有  
![在这里插入图片描述][20191005181214132.png]  
于是  
![在这里插入图片描述][20191005181231192.png]  
由（iii）可知，对于n阶矩阵A，B，一般来说 A B ≠ B A , 但 总 有 AB\\not=BA,但总有 AB=BA,但总有  
 ∣ A B ∣ = ∣ A B ∣ ⋅ ∣ B A ∣ |AB|=|AB|\\cdot|BA| ∣AB∣=∣AB∣⋅∣BA∣

###### 例9 ######

行列式|A|的各个元素的代数余子式 A i j 所 构 成 的 如 下 的 矩 阵 A\_\{ij\}所构成的如下的矩阵 Aij所构成的如下的矩阵  
![在这里插入图片描述][20190929172421573.png]  
称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵，试证  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI4Mjg2MDI3_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

##### 六、共轭矩阵 #####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI4Mjg2MDI3_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]

# $3.逆矩阵 #

设给定一个线性变换  
![在这里插入图片描述][20190929182917423.png]  
它的系数矩阵是一个n阶矩阵A，若记  
![在这里插入图片描述][20190929182941842.png]  
则线性变换（7）可记作

### Y=AX. (8) ###

以A的伴随阵A\*左乘上式两端，并利用例9的结果，可得  
![在这里插入图片描述][20190929183120869.png]  
 当 ∣ A ∣ ≠ 0 时 ， 可 解 出 当|A| \\not= 0时，可解出 当∣A∣=0时，可解出  
![在这里插入图片描述][20190929184151799.png]  
 记 B = 1 ∣ A ∣ A ∗ 记B=\\frac\{1\}\{|A|\}A\* 记B=∣A∣1A∗,上式可记作  
![在这里插入图片描述][20190929184332907.png]  
（9）式表示一个从Y到X的线性变换，称为线性变换（8）的逆变换。  
我们从（8）（9）两式分析变换所对应的方阵A与逆变换所对应的方阵B之间的关系。用（9）代入（8），可得  
Y=A(BY)=(AB)Y.  
可见AB为恒等变换所对应的矩阵，故AB=E。用（8）式代入（9）得  
X=B(AX)=(BA)X.  
因此，BA=E，于是有  
AB=BA=E。  
由此我么引入逆矩阵的定义。

###### 定义7 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使 ######

AB=BA=E,  
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。  
如果矩阵A是可逆的，那么A的逆阵是唯一的。这是因为：设B，C都是A的逆阵，则有  
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,  
所以A的逆阵是惟一的。  
A的逆阵记作 A − 1 A^\{-1\} A−1,即若AB=BA=E，则B= A − 1 A^\{-1\} A−1.

###### 定理1 若矩阵A可逆，则|A| ≠ 0 \\not= 0 =0. ######

**证**  
 A 可 逆 ， 即 有 A − 1 , 使 A A − 1 = E . 故 ∣ A ∣ . ∣ A − 1 ∣ = ∣ E ∣ = 1 , 所 以 ∣ A ∣ ≠ 0. A可逆，即有A^-1,使AA^-1=E.故|A|.|A^-1|=|E|=1,所以|A|\\not=0. A可逆，即有A−1,使AA−1=E.故∣A∣.∣A−1∣=∣E∣=1,所以∣A∣=0.

###### 定理2 若 ∣ A ∣ ≠ 0 , 则 矩 阵 A 可 逆 ， 且 |A|\\not=0,则矩阵A可逆，且 ∣A∣=0,则矩阵A可逆，且 ######

![在这里插入图片描述][20191002173355925.png]  
其中A*为矩阵A的伴随阵。  
证：  
由例9知  
AA*=A\*A=|A|E,  
 因 ∣ A ∣ ≠ 0 , 故 有 因|A|\\not=0,故有 因∣A∣=0,故有  
 A 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 ∣ A ∣ A ∗ A = E , A\\frac\{1\}\{|A|\}A^\*=\\frac\{1\}\{|A|\}A^\*A=E, A∣A∣1A∗=∣A∣1A∗A=E,  
所以，按逆阵的定义，即知A可逆，且有  
 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^-1=\\frac\{1\}\{|A|\}A^\* A−1=∣A∣1A∗  
当|A|=0时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。由上面两定理可知：A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|不等于0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。  
由定理2，可得下述推论  
![在这里插入图片描述][20191002174613619.png]  
**证**  
 ∣ A ∣ ∗ ∣ B ∣ = ∣ E ∣ = 1 , 故 ∣ A ∣ ≠ 0 , 因 而 A − 1 存 在 ， 于 是 |A|\*|B|=|E|=1,故|A|\\not=0,因而A^-1存在，于是 ∣A∣∗∣B∣=∣E∣=1,故∣A∣=0,因而A−1存在，于是  
 B = E B = ( A − 1 A ) B = A − 1 ( A B ) = A − 1 E = A − 1. B=EB=(A^-1A)B=A^-1(AB)=A^-1E=A^-1. B=EB=(A−1A)B=A−1(AB)=A−1E=A−1.

###### 方阵的逆满足下述运算规律： ######

![在这里插入图片描述][20191002175017968.png]  
**证**  
 ( A B ) ( B − 1 A − 1 ) = A ( B B − 1 ) A − 1 = A E A − 1 = E , (AB)(B^\{-1\}A^\{-1\})=A(BB^\{-1\})A^\{-1\}=AEA^\{-1\}=E, (AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AEA−1=E,由推论，即有  
 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^\{-1\}=B^\{-1\}A^\{-1\} (AB)−1=B−1A−1  
![在这里插入图片描述][20191002181107919.png]  
**证**  
 A T ( A − 1 ) T = ( A − 1 A ) T = E T = E , A^T(A^\{-1\})^T=(A^\{-1\}A)^T=E^T=E, AT(A−1)T=(A−1A)T=ET=E,  
所以  
![在这里插入图片描述][20191002181849918.png]  
当A可逆时，还可定义  
![在这里插入图片描述][20191002182126786.png]

###### 例10 ######

求二阶矩阵A=  
 ( a b c d ) 的 逆 阵 \\begin\{pmatrix\} a & b \\\\ c &d\\end\{pmatrix\}的逆阵 (acbd)的逆阵  
解：  
 ∣ A ∣ = a d − b c , A ∗ = ( d − b − c a ) |A|=ad-bc,A^\*=\\begin\{pmatrix\} d & -b \\\\ -c &a\\end\{pmatrix\} ∣A∣=ad−bc,A∗=(d−c−ba)，  
利用逆阵公式（10），当|A|不等于0时，有  
 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 a d − b c ( d − b − c a ) A^\{-1\}=\\frac\{1\}\{|A|\}A^\*=\\frac\{1\}\{ad-bc\}\\begin\{pmatrix\} d & -b \\\\ -c &a\\end\{pmatrix\} A−1=∣A∣1A∗=ad−bc1(d−c−ba)

###### 例11 ######

求方阵  
![在这里插入图片描述][20191002184040704.png]  
的逆阵  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI4Mjg2MDI3_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]  
![在这里插入图片描述][20191002184104727.png]

###### 例12 ######

设  
![在这里插入图片描述][2019100218413121.png]  
求矩阵X使其满足  
AXB=C  
解  
 若 A − 1 , B − 1 存 在 ， 则 用 A − 1 左 乘 上 式 ， B − 1 右 乘 上 式 ， 有 若A^\{-1\},B^\{-1\}存在，则用A^\{-1\}左乘上式，B^\{-1\}右乘上式，有 若A−1,B−1存在，则用A−1左乘上式，B−1右乘上式，有  
 A − 1 A X B B − 1 = A − 1 C B − 1 A^\{-1\}AXBB^\{-1\}=A^\{-1\}CB^\{-1\} A−1AXBB−1=A−1CB−1,  
即  
 X = A − 1 C B − 1 X=A^\{-1\}CB^\{-1\} X=A−1CB−1  
由上例知|A|不等于0，而|B|=1，故知A，B都可逆，且  
![在这里插入图片描述][20191002184848579.png]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI4Mjg2MDI3_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]

##### 例13 #####

设 P = ( 1 2 1 4 ) ， Λ = ( 1 0 0 2 ) , A P = P Λ ， 求 A n P=\\begin\{pmatrix\} 1&2 \\\\1&4 \\end\{pmatrix\}，Λ=\\begin\{pmatrix\} 1&0 \\\\0&2 \\end\{pmatrix\},AP=PΛ，求A^n P=(1124)，Λ=(1002),AP=PΛ，求An.  
解  
 A = P Λ P − 1 , A 2 = P Λ P − 1 P Λ P − 1 = P Λ 2 P − 1 , A n = P Λ n P − 1 , A=PΛP^\{-1\},A^2=PΛP^\{-1\}PΛP^\{-1\}=PΛ^2P^\{-1,A^n=PΛ^nP^\{-1\}\}, A=PΛP−1,A2=PΛP−1PΛP−1=PΛ2P−1,An=PΛnP−1,  
而  
 Λ = ( 1 0 0 2 ) , Λ 2 = ( 1 0 0 2 ) ( 1 0 0 2 ) = ( 1 0 0 2 2 ) , A n = ( 1 0 0 2 n ) , Λ=\\begin\{pmatrix\} 1&0 \\\\0&2 \\end\{pmatrix\},Λ^2=\\begin\{pmatrix\} 1&0 \\\\0&2 \\end\{pmatrix\}\\begin\{pmatrix\} 1&0 \\\\0&2 \\end\{pmatrix\}=\\begin\{pmatrix\} 1&0 \\\\0&2^2 \\end\{pmatrix\},A^n=\\begin\{pmatrix\} 1&0 \\\\0&2^n \\end\{pmatrix\}, Λ=(1002),Λ2=(1002)(1002)=(10022),An=(1002n),  
 ∣ P ∣ = 2 , P − 1 = 1 2 ( 4 − 2 − 1 1 ) |P|=2,P^\{-1\}=\\frac\{1\}\{2\}\\begin\{pmatrix\} 4&-2 \\\\-1&1 \\end\{pmatrix\} ∣P∣=2,P−1=21(4−1−21)  
 故 A n = ( 1 2 1 4 ) ( 1 0 0 2 n ) 1 2 ( 4 − 2 − 1 1 ) = 故A^n=\\begin\{pmatrix\} 1&2 \\\\1&4 \\end\{pmatrix\}\\begin\{pmatrix\} 1&0 \\\\0&2^n \\end\{pmatrix\}\\frac\{1\}\{2\}\\begin\{pmatrix\} 4&-2 \\\\-1&1 \\end\{pmatrix\}= 故An=(1124)(1002n)21(4−1−21)=  
 1 2 ( 1 2 n + 1 1 2 n + 2 ) ( 4 − 2 − 1 1 ) = 1 2 ( 4 − 2 n + 1 2 n − 1 2 − 2 n + 1 2 n + 1 − 1 ) \\frac\{1\}\{2\}\\begin\{pmatrix\} 1&2^\{n+1\} \\\\1&2^\{n+2\} \\end\{pmatrix\}\\begin\{pmatrix\} 4&-2 \\\\-1&1 \\end\{pmatrix\}=\\frac\{1\}\{2\}\\begin\{pmatrix\} 4-2^\{n+1\}&2^\{n\}-1 \\\\2-2^\{n+1\}&2^\{n+1\}-1 \\end\{pmatrix\} 21(112n\+12n\+2)(4−1−21)=21(4−2n\+12−2n\+12n−12n\+1−1).

**设** φ ( x ) = a 0 + a 1 x + . . . + a m x m \\varphi(x)=a\_\{0\}+a\_\{1\}x+...+a\_\{m\}x^m φ(x)=a0\+a1x\+...\+amxm  
为 x 的 m 次 多 项 式 ， A 为 n 阶 矩 阵 ， 记 x的m次多项式，A为n阶矩阵，记 x的m次多项式，A为n阶矩阵，记  
 φ ( A ) = a 0 E + a 1 A + . . . + a m A m \\varphi(A)=a\_0E+a\_\{1\}A+...+a\_\{m\}A^m φ(A)=a0E\+a1A\+...\+amAm,\\varphi(A)称为**矩阵A的m次多项式**  
因为矩阵 A k ， A l 和 E 都 是 可 交 换 的 ， 所 以 矩 阵 A 的 两 个 多 项 式 φ ( A ) 和 f ( A ) 总 是 可 交 换 的 ， 即 总 有 ： A^k，A^l和E都是可交换的，所以矩阵A的两个多项式\\varphi(A)和f(A)总是可交换的，即总有： Ak，Al和E都是可交换的，所以矩阵A的两个多项式φ(A)和f(A)总是可交换的，即总有：  
 φ ( A ) f ( A ) = f ( A ) = φ ( A ) , \\varphi(A)f(A)=f(A)=\\varphi(A), φ(A)f(A)=f(A)=φ(A),  
从而A的几个多项式可以像数x的多项式一样相乘或分解因式。例如  
 ( E + A ) ( 2 E − A ) = 2 E + A − A 2 ， (E+A)(2E-A)=2E+A-A^2， (E\+A)(2E−A)=2E\+A−A2，  
 ( E − A ) 3 = E − 3 A + 3 A 2 − A 3 . (E-A)^3=E-3A+3A^2-A^3. (E−A)3=E−3A\+3A2−A3.  
我们常用例13中计算 A k 的 方 法 来 计 算 A 的 多 项 式 φ ( A ) , 这 就 是 ： A^k的方法来计算A的多项式\\varphi(A),这就是： Ak的方法来计算A的多项式φ(A),这就是：  
 ( i ) 如 果 A = P Λ P − 1 , 则 A k = P Λ k P − 1 , 从 而 (i)如果A=P\\Lambda P^\{-1\},则A^k=PΛ^kP^\{-1\},从而 (i)如果A=PΛP−1,则Ak=PΛkP−1,从而  
 φ ( A ) = a 0 E + a 1 A + . . . + a m A m \\varphi(A)=a\_0E+a\_1A+...+a\_mA^m φ(A)=a0E\+a1A\+...\+amAm  
 = a 0 E A 0 + a 1 A + . . . + a m A m =a\_0EA^0+a\_1A+...+a\_mA^m =a0EA0\+a1A\+...\+amAm  
 = a 0 E P P − 1 + a 1 P Λ P − 1 + . . . + a m P Λ m P − 1 =a\_0EPP^\{-1\}+a\_\{1\}PΛP^\{-1\}+...+a\_\{m\}PΛ^mP^\{-1\} =a0EPP−1\+a1PΛP−1\+...\+amPΛmP−1  
 = P a 0 E P − 1 + P a 1 Λ P − 1 + . . . + P a m Λ m P − 1 =Pa\_0EP^\{-1\}+Pa\_\{1\}ΛP^\{-1\}+...+Pa\_\{m\}Λ^mP^\{-1\} =Pa0EP−1\+Pa1ΛP−1\+...\+PamΛmP−1  
 = P φ ( Λ ) P − 1 =P\\varphi(Λ)P^\{-1\} =Pφ(Λ)P−1  
(ii)如果 Λ = d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . λ n ) 为 对 角 阵 ， 则 Λ k = d i a g ( λ 1 k , λ 2 k , λ 3 k , . . . , λ n k ) \\Lambda=diag(\\lambda\_\{1\},\\lambda\_\{2\},...\\lambda\_\{n\})为对角阵，则\\Lambda^\{k\}=diag(λ\_1^k,λ\_2^k,λ\_3^k,...,λ\_n^k) Λ=diag(λ1,λ2,...λn)为对角阵，则Λk=diag(λ1k,λ2k,λ3k,...,λnk),从而  
 φ ( Λ ) = a 0 E + a 1 A + . . . + a m A m \\varphi(Λ)=a\_0E+a\_\{1\}A+...+a\_\{m\}A^m φ(Λ)=a0E\+a1A\+...\+amAm

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