运用递归解决树的问题

野性酷女 2022-12-05 13:59 90阅读 0赞

# 基于递归解决树的问题 #

我们知道可以利用[递归求解树的遍历][Link 1]。 递归是解决树的相关问题最有效和最常用的方法之一。

我们知道，树可以以递归的方式定义为一个节点（根节点），它包括一个值和一个指向其他节点指针的列表。 递归是树的特性之一。 因此，许多树问题可以通过递归的方式来解决。

`对于每个递归层级，我们只能关注单个节点内的问题，并通过递归调用函数来解决其子节点问题。`

通常，我们可以通过 “自顶向下” 或 “自底向上” 的递归来解决树问题。

## 1. “自顶向下” 的解决方案 ##

“自顶向下” 意味着在每个递归层级，我们将首先访问节点来计算一些值，并在递归调用函数时将这些值传递到子节点。 所以 “自顶向下” 的解决方案可以被认为是一种**前序遍历**。 具体来说，递归函数 `top_down(root, params)` 的原理是这样的：

return specific value for null node
    update the answer if needed                      // anwer <-- params
    left_ans = top_down(root.left, left_params)		// left_params <-- root.val, params
    right_ans = top_down(root.right, right_params)	// right_params <-- root.val, params
    return the answer if needed                      // answer <-- left_ans, right_ans

例如，思考这样一个问题：给定一个二叉树，请寻找它的最大深度。

我们知道根节点的深度是`1`。 对于每个节点，如果我们知道某节点的深度，那我们将知道它子节点的深度。 因此，在调用递归函数的时候，将节点的深度传递为一个参数，那么所有的节点都知道它们自身的深度。 而对于叶节点，我们可以通过更新深度从而获取最终答案。 这里是递归函数 `maximum_depth(root, depth)` 的伪代码：

return if root is null
    if root is a leaf node:
    	answer = max(answer, depth)         // update the answer if needed
    maximum_depth(root.left, depth + 1)      // call the function recursively for left child
    maximum_depth(root.right, depth + 1)		// call the function recursively for right child

Python 3代码如下：

"""
    剑指 Offer 55 - I. 二叉树的深度
    输入一棵二叉树的根节点，求该树的深度。从根节点到叶节点依次经过的节点（含根、叶节点）形成树的一条路径，最长路径的长度为树的深度。
    
    例如：
    
    给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]，
    
        3
       / \
      9  20
        /  \
       15   7
    返回它的最大深度 3 。
    
     
    
    提示：
    
    节点总数 <= 10000
    """
    from utils import deserialize
    
    # Definition for a binary tree node.
    class TreeNode:
        def __init__(self, x):
            self.val = x
            self.left = None
            self.right = None
    
    
    class Solution:
        def __init__(self):
            self.depth = 0
            
        def maxDepth(self, root: TreeNode, depth: int) -> int:
            """
            深度优先搜索前序遍历二叉树的各个节点（DFS）来计算二叉树的深度
            自顶向下
            时间复杂度 O(N) ： N 为树的节点数量，计算树的深度需要遍历所有节点。
            空间复杂度 O(N) ： 最差情况下（当树退化为链表时），递归深度可达到 N 。
            :param root:
            :return:
            """
            if not root:
                return 0
    
            if root.left is None and root.right is None:
                self.depth = max(self.depth, depth)
    
            self.maxDepth(root.left, depth + 1)
            self.maxDepth(root.right, depth + 1)
     
     if __name__ == '__main__':
        nodes = "[3,9,20,null,null,15,7]"
        root = deserialize(nodes)  # 构造二叉树
    
        solution = Solution()
        solution.maxDepth(root, 1)
        print(solution.depth)

其中，deserialize函数的源代码：[把字符串反序列化成二叉树][Link 2]。

## 2. “自底向上” 的解决方案 ##

“自底向上” 是另一种递归方法。 在每个递归层次上，我们首先对所有子节点递归地调用函数，然后根据返回值和根节点本身的值得到答案。 这个过程可以看作是**后序遍历**的一种。 通常， “自底向上” 的递归函数 `bottom_up(root)` 为如下所示：

return specific value for null node
    left_ans = bottom_up(root.left)			// call function recursively for left child
    right_ans = bottom_up(root.right)		// call function recursively for right child
    return answers                           // answer <-- left_ans, right_ans, root.val

让我们继续讨论前面关于树的最大深度的问题，但是使用不同的思维方式：对于树的单个节点，以节点自身为根的子树的最大深度`x`是多少？

如果我们知道一个根节点，以其**左**子节点为根的最大深度为`l`和以其**右**子节点为根的最大深度为`r`，我们是否可以回答前面的问题？ 当然可以，我们可以选择它们之间的最大值，再加上1来获得根节点所在的子树的最大深度。 那就是 `x = max（l，r）+ 1`。

这意味着对于每一个节点来说，我们都可以在解决它子节点的问题之后得到答案。 因此，我们可以使用“自底向上“的方法。下面是递归函数 `maximum_depth(root)` 的伪代码：

return 0 if root is null                 // return 0 for null node
    left_depth = maximum_depth(root.left)
    right_depth = maximum_depth(root.right)
    return max(left_depth, right_depth) + 1	// return depth of the subtree rooted at root

Python 3代码如下：

"""
    剑指 Offer 55 - I. 二叉树的深度
    输入一棵二叉树的根节点，求该树的深度。从根节点到叶节点依次经过的节点（含根、叶节点）形成树的一条路径，最长路径的长度为树的深度。
    
    例如：
    
    给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]，
    
        3
       / \
      9  20
        /  \
       15   7
    返回它的最大深度 3 。
    
     
    
    提示：
    
    节点总数 <= 10000
    """
    from utils import deserialize
    
    
    # Definition for a binary tree node.
    class TreeNode:
        def __init__(self, x):
            self.val = x
            self.left = None
            self.right = None
    
    
    class Solution:
        def maxDepth(self, root: TreeNode) -> int:
            """
            深度优先搜索后序遍历二叉树的各个节点（DFS）来计算二叉树的深度
            自顶向下
            时间复杂度 O(N) ： N 为树的节点数量，计算树的深度需要遍历所有节点。
            空间复杂度 O(N) ： 最差情况下（当树退化为链表时），递归深度可达到 N 。
            :param root:
            :return:
            """
            if not root: return 0
            return max(self.maxDepth(root.left), self.maxDepth(root.right)) + 1
    
    if __name__ == '__main__':
        nodes = "[3,9,20,null,null,15,7]"
        root = deserialize(nodes)  # 构造二叉树
    
        solution = Solution()
        print(solution.maxDepth(root))

其中，deserialize函数的源代码：[把字符串反序列化成二叉树][Link 2]。

## 3. 总结 ##

了解递归并利用递归解决问题并不容易。

当遇到树问题时，请先思考一下两个问题：

1.  你能确定一些参数，从该节点自身解决出发寻找答案吗？
2.  你可以使用这些参数和节点本身的值来决定什么应该是传递给它子节点的参数吗？

如果答案都是肯定的，那么请尝试使用 “`自顶向下`” 的递归来解决此问题。

或者你可以这样思考：对于树中的任意一个节点，如果你知道它子节点的答案，你能计算出该节点的答案吗？ 如果答案是肯定的，那么 “`自底向上`” 的递归可能是一个不错的解决方法。

在接下来的章节中，我们将提供几个经典例题，以帮助你更好地理解树的结构和递归。

[Link 1]: https://blog.csdn.net/guanmaoning/article/details/108261756
[Link 2]: https://github.com/MaoningGuan/LeetCode/blob/master/%E5%89%91%E6%8C%87%20Offer%EF%BC%88%E7%AC%AC%202%20%E7%89%88%EF%BC%89/utils.py