一 八皇后问题

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848 年提出：在 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即： 任意两个皇后都不能处于同一行 、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。答案是92种。

二 八皇后问题算法

1 第一个皇后先放第一行第一列。

2 第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否可行，如果不可行，继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一个合适。

3 继续第三个皇后，还是第一列、第二列……直到第八个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确解。

4 当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列的所有正确解，全部得到。

5 然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行 1,2,3,4 的步骤。

三 图解

四 点睛

理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘，但是实际上可以通过算法，用一个一维数组即可解决问题. arr[8] ={0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} ，其中：arr 下标表示第几行，即第几个皇后。arr[i] = val , 该表达式表示第i+1个皇后放在棋盘的第 i+1行的第 val+1 列

五 代码

package com.atguigu.recursion;
/**
* @className: Queue8
* @description: 八皇后问题
* @date: 2021/3/7
* @author: cakin
*/
public class Queue8 {
    // 表示共有多少个皇后
    int max = 8;
    // 保存皇后放置的位置,比如 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} 就是一种摆法方法
    int[] array = new int[max];
    // 解法个数
    static int count = 0;
    // 判断冲突次数
    static int judgeCount = 0;
    public static void main(String[] args) {
        Queue8 queue8 = new Queue8();
        queue8.check(0);
        System.out.printf("一共有%d解法，", count); // 92种
        System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次", judgeCount); // 15720次
    }
    /**
     * 功能描述：放置第n个皇后
     *
     * @param n 放置第几个皇后
     * @author cakin
     * @date 2021/3/7
     * @description: 特别注意： check 是 每一次递归时，进入到check中都有  for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯
     */
    private void check(int n) {
        if (n == max) {  // 当 n = 8 时, 其实8个皇后已经放好了
            print();
            return;
        }
        // 依次放入皇后，并判断是否冲突，i++表示第n个皇后的第i列已经放过了，再放第i+1个列，也就是说当前行的所有列都要探一遍
        for (int i = 0; i < max; i++) {
            // 先把当前这个皇后n, 放到该行的第1列，然后依次放到第2、3、4...列
            array[n] = i;
            // 判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突
            if (judge(n)) { // 如果不冲突，就接着放第n+1个皇后，开始递归
                check(n + 1);
            }
        }
    }
    /**
     * 功能描述：当我们放置第n个皇后时, 就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突
     *
     * @param n 表示第n个皇后
     * @return boolean：false：表示冲突 true：表示不冲突
     * @author cakin
     * @date 2021/3/7
     */
    private boolean judge(int n) {
        judgeCount++;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 1 array[i] == array[n]，用于判断第n个皇后是否和第i个皇后在同一列。
            // 2 Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i])，用于判断第n个皇后和第i皇后是否在同一斜线。原理：两个点的横坐标之差和纵坐标之差相等，则在同一斜线。
            // 3 判断是否在同一行, 没有必要，n 其实就是横坐标的位置，肯定不一样。
            if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    /**
     * 功能描述：皇后摆放的位置输出
     *
     * @author cakin
     * @date 2021/3/7
     */
    private void print() {
        count++;
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            System.out.print(array[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}

六 测试

0 4 7 5 2 6 1 3
0 5 7 2 6 3 1 4
0 6 3 5 7 1 4 2
0 6 4 7 1 3 5 2
1 3 5 7 2 0 6 4
1 4 6 0 2 7 5 3
1 4 6 3 0 7 5 2
1 5 0 6 3 7 2 4
1 5 7 2 0 3 6 4
1 6 2 5 7 4 0 3
1 6 4 7 0 3 5 2
1 7 5 0 2 4 6 3
2 0 6 4 7 1 3 5
2 4 1 7 0 6 3 5
2 4 1 7 5 3 6 0
2 4 6 0 3 1 7 5
2 4 7 3 0 6 1 5
2 5 1 4 7 0 6 3
2 5 1 6 0 3 7 4
2 5 1 6 4 0 7 3
2 5 3 0 7 4 6 1
2 5 3 1 7 4 6 0
2 5 7 0 3 6 4 1
2 5 7 0 4 6 1 3
2 5 7 1 3 0 6 4
2 6 1 7 4 0 3 5
2 6 1 7 5 3 0 4
2 7 3 6 0 5 1 4
3 0 4 7 1 6 2 5
3 0 4 7 5 2 6 1
3 1 4 7 5 0 2 6
3 1 6 2 5 7 0 4
3 1 6 2 5 7 4 0
3 1 6 4 0 7 5 2
3 1 7 4 6 0 2 5
3 1 7 5 0 2 4 6
3 5 0 4 1 7 2 6
3 5 7 1 6 0 2 4
3 5 7 2 0 6 4 1
3 6 0 7 4 1 5 2
3 6 2 7 1 4 0 5
3 6 4 1 5 0 2 7
3 6 4 2 0 5 7 1
3 7 0 2 5 1 6 4
3 7 0 4 6 1 5 2
3 7 4 2 0 6 1 5
4 0 3 5 7 1 6 2
4 0 7 3 1 6 2 5
4 0 7 5 2 6 1 3
4 1 3 5 7 2 0 6
4 1 3 6 2 7 5 0
4 1 5 0 6 3 7 2
4 1 7 0 3 6 2 5
4 2 0 5 7 1 3 6
4 2 0 6 1 7 5 3
4 2 7 3 6 0 5 1
4 6 0 2 7 5 3 1
4 6 0 3 1 7 5 2
4 6 1 3 7 0 2 5
4 6 1 5 2 0 3 7
4 6 1 5 2 0 7 3
4 6 3 0 2 7 5 1
4 7 3 0 2 5 1 6
4 7 3 0 6 1 5 2
5 0 4 1 7 2 6 3
5 1 6 0 2 4 7 3
5 1 6 0 3 7 4 2
5 2 0 6 4 7 1 3
5 2 0 7 3 1 6 4
5 2 0 7 4 1 3 6
5 2 4 6 0 3 1 7
5 2 4 7 0 3 1 6
5 2 6 1 3 7 0 4
5 2 6 1 7 4 0 3
5 2 6 3 0 7 1 4
5 3 0 4 7 1 6 2
5 3 1 7 4 6 0 2
5 3 6 0 2 4 1 7
5 3 6 0 7 1 4 2
5 7 1 3 0 6 4 2
6 0 2 7 5 3 1 4
6 1 3 0 7 4 2 5
6 1 5 2 0 3 7 4
6 2 0 5 7 4 1 3
6 2 7 1 4 0 5 3
6 3 1 4 7 0 2 5
6 3 1 7 5 0 2 4
6 4 2 0 5 7 1 3
7 1 3 0 6 4 2 5
7 1 4 2 0 6 3 5
7 2 0 5 1 4 6 3
7 3 0 2 5 1 6 4
一共有92解法，一共判断冲突的次数15720次

七 七皇后测试

将max改为7

0 2 4 6 1 3 5
0 3 6 2 5 1 4
0 4 1 5 2 6 3
0 5 3 1 6 4 2
1 3 0 6 4 2 5
1 3 5 0 2 4 6
1 4 0 3 6 2 5
1 4 2 0 6 3 5
1 4 6 3 0 2 5
1 5 2 6 3 0 4
1 6 4 2 0 5 3
2 0 5 1 4 6 3
2 0 5 3 1 6 4
2 4 6 1 3 5 0
2 5 1 4 0 3 6
2 6 1 3 5 0 4
2 6 3 0 4 1 5
3 0 2 5 1 6 4
3 0 4 1 5 2 6
3 1 6 4 2 0 5
3 5 0 2 4 6 1
3 6 2 5 1 4 0
3 6 4 1 5 0 2
4 0 3 6 2 5 1
4 0 5 3 1 6 2
4 1 5 2 6 3 0
4 2 0 5 3 1 6
4 6 1 3 5 0 2
4 6 1 5 2 0 3
5 0 2 4 6 1 3
5 1 4 0 3 6 2
5 2 0 3 6 4 1
5 2 4 6 0 3 1
5 2 6 3 0 4 1
5 3 1 6 4 2 0
5 3 6 0 2 4 1
6 1 3 5 0 2 4
6 2 5 1 4 0 3
6 3 0 4 1 5 2
6 4 2 0 5 3 1
一共有40解法，一共判断冲突的次数3584次
Process finished with exit code 0

八 九皇后测试

将max改为9

0 2 5 7 1 3 8 6 4
0 2 6 1 7 4 8 3 5
0 2 7 5 8 1 4 6 3
0 3 1 7 5 8 2 4 6
0 3 5 2 8 1 7 4 6
0 3 5 7 1 4 2 8 6
0 3 6 2 7 1 4 8 5
0 3 6 8 1 4 7 5 2
0 3 7 2 8 6 4 1 5
0 4 1 5 8 2 7 3 6
0 4 6 1 5 2 8 3 7
0 4 6 8 2 7 1 3 5
0 4 6 8 3 1 7 5 2
0 4 8 1 5 7 2 6 3
0 4 8 5 3 1 7 2 6
0 5 1 8 6 3 7 2 4
0 5 3 1 6 8 2 4 7
0 5 3 1 7 2 8 6 4
0 5 7 2 6 3 1 8 4
0 5 7 4 1 3 8 6 2
0 5 8 4 1 7 2 6 3
0 6 3 5 8 1 4 2 7
0 6 3 7 2 4 8 1 5
0 6 3 7 2 8 5 1 4
0 6 4 7 1 8 2 5 3
0 7 3 1 6 8 5 2 4
0 7 4 2 5 8 1 3 6
0 7 4 2 8 6 1 3 5
1 3 0 6 8 5 2 4 7
1 3 6 0 2 8 5 7 4
1 3 7 2 8 5 0 4 6
1 3 8 6 2 0 5 7 4
1 3 8 6 4 2 0 5 7
1 4 6 0 2 7 5 3 8
1 4 6 3 0 2 8 5 7
1 4 6 8 2 5 3 0 7
1 4 6 8 3 7 0 2 5
1 4 7 0 2 5 8 6 3
1 4 7 0 8 5 2 6 3
1 4 7 5 8 2 0 3 6
1 4 7 5 8 2 0 6 3
1 4 8 3 0 7 5 2 6
1 5 0 2 6 8 3 7 4
1 5 0 6 3 7 2 4 8
1 5 0 6 4 2 8 3 7
1 5 0 8 4 7 3 6 2
1 5 2 0 7 3 8 6 4
1 5 8 2 4 7 3 0 6
1 6 4 0 8 3 5 7 2
1 6 4 7 0 3 5 2 8
1 6 8 5 2 0 3 7 4
1 7 0 3 6 8 5 2 4
1 7 4 2 8 5 3 0 6
1 7 5 8 2 0 3 6 4
1 8 4 2 7 3 6 0 5
1 8 5 2 4 7 0 3 6
1 8 5 2 6 3 0 7 4
1 8 5 3 6 0 2 4 7
2 0 3 6 8 1 4 7 5
2 0 5 7 4 1 3 8 6
2 0 6 1 7 5 3 8 4
2 0 6 4 7 1 3 5 8
2 0 7 3 8 6 4 1 5
2 0 8 6 4 1 7 5 3
2 4 1 7 0 3 6 8 5
2 4 1 7 0 6 3 5 8
2 4 6 0 3 1 7 5 8
2 4 7 1 8 5 0 6 3
2 4 7 1 8 6 0 3 5
2 4 8 1 3 6 0 7 5
2 4 8 3 0 6 1 5 7
2 5 1 6 0 3 7 4 8
2 5 1 8 4 0 7 3 6
2 5 7 0 3 6 4 1 8
2 5 7 0 4 8 1 3 6
2 5 7 1 3 8 6 4 0
2 5 7 4 0 8 6 1 3
2 5 7 4 1 8 6 3 0
2 5 8 0 7 3 1 6 4
2 5 8 1 4 6 3 0 7
2 5 8 1 7 0 3 6 4
2 5 8 4 7 0 3 1 6
2 5 8 6 0 3 1 4 7
2 5 8 6 1 3 7 0 4
2 5 8 6 3 0 7 1 4
2 6 1 3 7 0 4 8 5
2 6 1 7 4 8 0 5 3
2 6 1 7 5 3 0 4 8
2 6 3 1 8 4 0 7 5
2 6 3 1 8 5 0 4 7
2 6 3 7 4 8 0 5 1
2 6 8 0 4 1 7 5 3
2 6 8 3 1 4 7 5 0
2 7 1 3 8 6 4 0 5
2 7 3 6 8 1 4 0 5
2 7 5 0 8 1 4 6 3
2 7 5 3 8 0 4 6 1
2 7 5 8 1 4 0 3 6
2 8 1 4 7 0 6 3 5
2 8 3 0 7 5 1 6 4
2 8 3 1 7 5 0 6 4
2 8 3 7 4 1 5 0 6
2 8 5 1 4 6 0 3 7
2 8 5 3 0 6 4 1 7
2 8 5 7 1 3 0 6 4
3 0 2 5 8 1 7 4 6
3 0 4 1 8 6 2 7 5
3 0 4 7 1 6 2 5 8
3 0 4 8 1 5 7 2 6
3 0 6 8 1 5 7 2 4
3 0 8 5 2 6 1 7 4
3 1 4 7 0 2 5 8 6
3 1 6 2 0 7 4 8 5
3 1 6 8 0 4 7 5 2
3 1 6 8 0 7 4 2 5
3 1 7 2 8 6 4 0 5
3 1 8 2 5 7 0 4 6
3 1 8 4 0 7 5 2 6
3 5 0 4 1 7 2 6 8
3 5 0 8 4 7 1 6 2
3 5 0 8 6 2 7 1 4
3 5 2 8 1 4 7 0 6
3 5 2 8 1 7 4 6 0
3 5 2 8 6 0 7 1 4
3 5 7 1 4 0 8 6 2
3 5 7 1 4 6 8 0 2
3 5 7 1 6 0 2 4 8
3 5 7 2 0 6 4 1 8
3 5 8 2 0 7 1 4 6
3 6 0 2 8 5 7 4 1
3 6 0 5 8 1 7 4 2
3 6 0 7 4 1 8 2 5
3 6 2 5 8 0 7 4 1
3 6 2 7 1 4 8 5 0
3 6 2 7 5 0 8 1 4
3 6 2 7 5 1 8 4 0
3 6 4 1 8 0 2 7 5
3 6 4 1 8 0 5 7 2
3 6 4 1 8 5 7 2 0
3 6 8 1 4 7 0 2 5
3 6 8 1 5 0 2 4 7
3 6 8 5 2 0 7 4 1
3 7 0 4 6 1 5 2 8
3 7 4 2 0 5 1 8 6
3 7 4 2 0 6 1 5 8
3 8 2 5 1 6 4 0 7
3 8 4 2 0 5 7 1 6
3 8 4 2 0 6 1 7 5
3 8 4 7 0 2 5 1 6
4 0 5 3 1 7 2 8 6
4 0 7 3 1 6 8 5 2
4 0 7 5 2 6 1 3 8
4 1 3 0 6 8 2 5 7
4 1 3 8 6 2 0 5 7
4 1 5 0 2 6 8 3 7
4 1 5 8 2 7 3 6 0
4 1 5 8 6 3 0 2 7
4 1 7 0 3 6 8 5 2
4 1 7 0 6 8 2 5 3
4 1 7 2 6 3 0 8 5
4 1 7 2 6 8 0 5 3
4 1 8 0 5 7 2 6 3
4 1 8 5 2 6 3 0 7
4 2 0 5 1 8 6 3 7
4 2 0 5 7 1 3 6 8
4 2 0 6 1 7 5 3 8
4 2 5 8 1 7 0 3 6
4 2 5 8 6 0 3 1 7
4 2 5 8 6 1 3 7 0
4 2 5 8 6 3 0 7 1
4 2 7 3 1 8 5 0 6
4 2 7 3 6 8 1 5 0
4 2 7 5 1 8 0 3 6
4 2 7 5 1 8 6 0 3
4 2 8 3 1 7 5 0 6
4 2 8 5 7 1 3 0 6
4 6 0 3 1 7 5 8 2
4 6 0 5 7 1 3 8 2
4 6 1 3 7 0 2 8 5
4 6 1 3 7 0 8 5 2
4 6 1 5 2 0 7 3 8
4 6 1 5 7 0 3 8 2
4 6 3 0 2 5 8 1 7
4 6 3 0 2 7 5 1 8
4 6 3 0 2 8 5 7 1
4 6 3 0 7 1 8 5 2
4 6 8 2 7 1 3 5 0
4 6 8 3 1 7 5 2 0
4 6 8 3 7 0 2 5 1
4 7 0 3 6 2 5 8 1
4 7 0 8 3 1 6 2 5
4 7 1 6 2 0 8 3 5
4 7 1 6 2 5 8 0 3
4 7 1 8 2 0 6 3 5
4 7 1 8 5 2 0 3 6
4 7 3 0 2 5 8 6 1
4 7 3 0 6 1 5 2 8
4 7 3 8 6 2 0 5 1
4 7 5 0 2 6 8 3 1
4 7 5 8 2 0 6 3 1
4 8 1 3 6 2 7 5 0
4 8 1 5 7 2 0 3 6
4 8 3 5 7 1 6 0 2
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8 6 1 3 0 7 4 2 5
8 6 2 7 1 4 0 5 3
8 6 3 1 7 5 0 2 4
一共有352解法，一共判断冲突的次数72378次
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