动态规划算法

一：动态规划算法

1：动态规划算法介绍

1) 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解 的处理算法 
2) 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这 些子问题的解得到原问题的解。 
3) 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子 阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 ) 
4) 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

2：应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅，现有如下物品

watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM3NDY5MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70

要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
要求装入的物品不能重复

思路分析和图解

背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分 01 背包和 完全背包 ( 完全背包指的是：每种物品都有无限件可用 )
这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i] 和 v[i] 来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的 n 个物品，设 v[i] 、 w[i] 分别为第 i 个物品的价值和重量， C 为背包的容量。再令 v[i][j]表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是 0 
(2) 当 w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个 单元格的装入策略 
(3) 当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} 
// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量, 
// 装入的方式: 
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值 
v[i]: 表示当前商品的价值 
v[i-1][j-w[i]]： 装入 i-1 商品，到剩余空间 j-w[i]的最大值 
当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}:

图解的分析

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3：代码实现

package com.dynamic;
/**
 * @author lizhangyu
 * @date 2021/3/27 23:16
 */
public class KnapsackProblem {
    public static void main(String[] args) {
        //物品的重量
        int[] w = {1, 4, 3};
        //物品的价值
        int[] val = {1500, 3000, 2000};
        //背包的容量
        int m = 4;
        //物品的个数
        int n = val.length;
        //创建二维数组，v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包的最大价值
        int[][] v = new int[n+1][m+1];
        //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
        int[][] path = new int[n+1][m+1];
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            //将第一列设置为0
            v[i][0] = 0;
        }
        for (int j = 0; j < v[0].length; j++) {
            //将第一行设置为0
            v[0][j] = 0;
        }
        //不处理第一行
        for (int i = 1; i < v.length; i++) {
            //不处理第一列
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
                if (w[i-1] > j) {
                    v[i][j] = v[i-1][j];
                }else {
//                    v[i][j] = Math.max(v[i-1][j], val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]]);
                    if (v[i-1][j] < val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]]) {
                        v[i][j] = val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]];
                        //把当前的情况记录到path
                        path[i][j] = 1;
                    }else {
                        v[i][j] = v[i-1][j];
                    }
                }
            }
        }
        //输出下v看看目前的情况
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
                System.out.print(v[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("=========================");
        for (int i = 0; i < path.length; i++) {
            for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {
                if (path[i][j] == 1) {
                    System.out.printf("第%d 个商品放入到背包\n", i);
                }
            }
        }
        System.out.println("装入背包最大价值的物品：=>");
        //行的最大下标
        int i = path.length - 1;
        //列的最大下标
        int j = path[0].length - 1;
        while (i > 0 && j > 0) {
            if (path[i][j] == 1) {
                System.out.printf("第%d 个商品放入到背包\n", i);
                j-=w[i-1];
            }
            i--;
        }
    }
}

运行结果如下：

0 0 0 0 0 
0 1500 1500 1500 1500 
0 1500 1500 1500 3000 
0 1500 1500 2000 3500 
=========================
第1 个商品放入到背包
第1 个商品放入到背包
第1 个商品放入到背包
第1 个商品放入到背包
第2 个商品放入到背包
第3 个商品放入到背包
第3 个商品放入到背包
装入背包最大价值的物品：=>
第3 个商品放入到背包
第1 个商品放入到背包