Python解决高等数学问题

末蓝、 2022-11-09 12:48 211阅读 0赞

使用Python中的Sympy库解决高等数学中极限、导数、偏导数、定积分、不定积分、双重积分等问题

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> Sympy是一个Python的科学计算库，它旨在成为功能齐全的计算机代数系统。 SymPy 包括从基本符号算术到微积分，代数，离散数学和量子物理学的功能。 它可以在 LaTeX 中显示结果。

[Sympy官网][Sympy]

### 文章目录 ###

*  1. 实用技巧
 *   *  1.1 符号函数
     *  1.2 展开表达式expand
     *  1.3 泰勒展开公式series
     *  1.4 符号展开
 *  2. 求极限limit
 *  3. 求导diff
 *   *  3.1 一元函数
     *  3.2 多元函数
 *  4. 积分integrate
 *   *  4.1 定积分
     *  4.2 不定积分
     *  4.3 双重积分
 *  5. 求解方程组solve
 *  6. 计算求和式summation

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> 看到这图，是不是感觉快喘不过气了呢。Python来帮你解决。

from sympy import *
    import sympy

输入“x= symbols(“x”)”命令定义一个符号

x = Symbol("x")
    y = Symbol("y")

# 1. 实用技巧 #

## 1.1 符号函数 ##

sympy提供了很多数学符号，总结如下

*  虚数单位

sympy.I

*  自然对数

sympy.E

*  无穷大

sympy.oo

*  圆周率

sympy.pi

*  求n次方根

sympy.root(8,3)

*  取对数

sympy.log(1024,2)

*  求阶乘

sympy.factorial(4)

*  三角函数

sympy.sin(sympy.pi)
    sympy.tan(sympy.pi/4)
    sympy.cos(sympy.pi/2)

## 1.2 展开表达式expand ##

f = (1+x)**3
    expand(f)

x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 \\displaystyle x^\{3\} + 3 x^\{2\} + 3 x + 1 x3\+3x2\+3x\+1

## 1.3 泰勒展开公式series ##

ln(1+x).series(x,0,4)

x − x 2 2 + x 3 3 + O ( x 4 ) \\displaystyle x - \\frac\{x^\{2\}\}\{2\} + \\frac\{x^\{3\}\}\{3\} + O\\left(x^\{4\}\\right) x−2x2\+3x3\+O(x4)

sin(x).series(x,0,8)

x − x 3 6 + x 5 120 − x 7 5040 + O ( x 8 ) \\displaystyle x - \\frac\{x^\{3\}\}\{6\} + \\frac\{x^\{5\}\}\{120\} - \\frac\{x^\{7\}\}\{5040\} + O\\left(x^\{8\}\\right) x−6x3\+120x5−5040x7\+O(x8)

cos(x).series(x,0,9)

1 − x 2 2 + x 4 24 − x 6 720 + x 8 40320 + O ( x 9 ) \\displaystyle 1 - \\frac\{x^\{2\}\}\{2\} + \\frac\{x^\{4\}\}\{24\} - \\frac\{x^\{6\}\}\{720\} + \\frac\{x^\{8\}\}\{40320\} + O\\left(x^\{9\}\\right) 1−2x2\+24x4−720x6\+40320x8\+O(x9)

(1/(1+x)).series(x,0,5)

1 − x + x 2 − x 3 + x 4 + O ( x 5 ) \\displaystyle 1 - x + x^\{2\} - x^\{3\} + x^\{4\} + O\\left(x^\{5\}\\right) 1−x\+x2−x3\+x4\+O(x5)

tan(x).series(x,0,4)

x + x 3 3 + O ( x 4 ) \\displaystyle x + \\frac\{x^\{3\}\}\{3\} + O\\left(x^\{4\}\\right) x\+3x3\+O(x4)

(1/(1-x)).series(x,0,4)

1 + x + x 2 + x 3 + O ( x 4 ) \\displaystyle 1 + x + x^\{2\} + x^\{3\} + O\\left(x^\{4\}\\right) 1\+x\+x2\+x3\+O(x4)

(1/(1+x)).series(x,0,4)

1 − x + x 2 − x 3 + O ( x 4 ) \\displaystyle 1 - x + x^\{2\} - x^\{3\} + O\\left(x^\{4\}\\right) 1−x\+x2−x3\+O(x4)

## 1.4 符号展开 ##

a = Symbol("a")
    b = Symbol("b")
    #simplify( )普通的化简
    simplify((x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1))
    #trigsimp( )三角化简
    trigsimp(sin(x)/cos(x))
    #powsimp( )指数化简
    powsimp(x**a*x**b)

x a + b \\displaystyle x^\{a + b\} xa\+b

# 2. 求极限limit #

limit(sin(x)/x,x,0)

1 \\displaystyle 1 1

f2=(1+x)**(1/x)

( x + 1 ) 1 x \\displaystyle \\left(x + 1\\right)^\{\\frac\{1\}\{x\}\} (x\+1)x1

重要极限

f1=sin(x)/x
    f2=(1+x)**(1/x)
    f3=(1+1/x)**x
    lim1=limit(f1,x,0)
    lim2=limit(f2,x,0)
    lim3=limit(f3,x,oo)
    print(lim1,lim2,lim3)

1 E E

dir可以表示极限的趋近方向

f4 = (1+exp(1/x))
    f4

e 1 x + 1 \\displaystyle e^\{\\frac\{1\}\{x\}\} + 1 ex1\+1

lim4 = limit(f4,x,0,dir="-")
    lim4

1 \\displaystyle 1 1

lim5 = limit(f4,x,0,dir="+")
    lim5

∞ \\displaystyle \\infty ∞

# 3. 求导diff #

diff(函数,自变量,求导次数)

## 3.1 一元函数 ##

求导问题

diff(sin(2*x),x)

2 cos ⁡ ( 2 x ) \\displaystyle 2 \\cos\{\\left(2 x \\right)\} 2cos(2x)

diff(ln(x),x)

1 x \\displaystyle \\frac\{1\}\{x\} x1

## 3.2 多元函数 ##

求偏导问题  
例如求解该函数对x的偏导和对y的偏导

( x 1 + x 2 + 6 ) 2 + ( − x 1 x 2 − 3 x 1 − 3 x 2 + 2 ) 2 \\displaystyle \\left(x\_\{1\} + x\_\{2\} + 6\\right)^\{2\} + \\left(- x\_\{1\} x\_\{2\} - 3 x\_\{1\} - 3 x\_\{2\} + 2\\right)^\{2\} (x1\+x2\+6)2\+(−x1x2−3x1−3x2\+2)2

> f关于x的偏导数,y是常量

f = (6+x1+x2)*(6+x1+x2)+(2-3*x1-3*x2-x1*x2)*(2-3*x1-3*x2-x1*x2)
    fx = diff(f,x1)

2 x 1 + 2 x 2 + ( − 2 x 2 − 6 ) ( − x 1 x 2 − 3 x 1 − 3 x 2 + 2 ) + 12 \\displaystyle 2 x\_\{1\} + 2 x\_\{2\} + \\left(- 2 x\_\{2\} - 6\\right) \\left(- x\_\{1\} x\_\{2\} - 3 x\_\{1\} - 3 x\_\{2\} + 2\\right) + 12 2x1\+2x2\+(−2x2−6)(−x1x2−3x1−3x2\+2)\+12

> 如果需要求特定点的值，我们可以通过`subs()`方法来填入

fx.subs({
        x1: -4, x2: 6})

− 344 \\displaystyle -344 −344

# 4. 积分integrate #

## 4.1 定积分 ##

*  函数的定积分: integrate(函数，(变量，下限，上限))
 *  函数的不定积分: integrate(函数,变量)

f = x**2 + 1
    integrate(f,(x,-1.1))

− 1.54366666666667 \\displaystyle -1.54366666666667 −1.54366666666667

integrate(exp(x),(x,-oo,0))

1 \\displaystyle 1 1

## 4.2 不定积分 ##

f = 1/(1+x*x)
    integrate(f,x)

atan ⁡ ( x ) \\displaystyle \\operatorname\{atan\}\{\\left(x \\right)\} atan(x)

举例：

from sympy import *
    x = Symbol('x'); t = Symbol('t')    # 定义两个变量
    lmt = limit(
        (integrate(t*cos(t),(t,0,x))-1+cos(x)) / (sqrt(x*tan(x)+1)-sqrt(x*sin(x)+1)), 
        x,
        0)
    print(lmt)  # -1/3

-1/3

## 4.3 双重积分 ##

f = (4/3)*x + 2*y
    integrate(f,(x,0,1),(y,-3,4))

11.6666666666667 \\displaystyle 11.6666666666667 11.6666666666667

# 5. 求解方程组solve #

#解方程组
    #定义变量
    f1=x+y-3
    f2=x-y+5
    solve([f1,f2],[x,y])

\{x: -1, y: 4\}

# 6. 计算求和式summation #

> 计算求和式可以使用sympy.summation函数，其函数原型为sympy.summation(f, \*symbols, \*\*kwargs)

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\*\*

sympy.summation(2 * n,(n,1,100))

10100

> 到这里就结束了，如果对你有帮助，欢迎点赞关注评论，你的点赞对我很重要。在此也祝愿大家可以把数学学好

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*参考:*

https://docs.sympy.org/latest/index.html

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MTc2NTQ4_size_16_color_FFFFFF_t_70]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MTc2NTQ4_size_30_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221023/6921b20e1942462ca99cee5450878d9b.png
[Sympy]: https://www.sympy.org/en/index.html
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MTc2NTQ4_size_30_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20221023/6d15c1fec0c24f148dfc86e84a9cc480.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MTc2NTQ4_size_12_color_FFFFFF_t_2]: /images/20221023/8b0db5354a9e4e068f25e7f56eeeb890.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MTc2NTQ4_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221023/dbcfb804174d49b19961f8277a5d935d.png