算法基础 | 【02】线性回归

约定不等于承诺〃 2022-10-29 07:40 175阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *   *  线性回归的基本介绍
         *  线性回归的损失和优化
         *  梯度下降法
         *  几种梯度下降法
         *   *   *  全梯度下降法（FG）
                 *  随机梯度下降算法（SG）
                 *  小批量梯度下降法
                 *  随机平均梯度下降法（SAG）
         *  回归性能评估

### 线性回归的基本介绍 ###

***定义***

> 定义：利用回归方程对一个or多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间的关系进行建模

***特点***

*  单变量回归：只有一个自变量
 *  多元回归：多于一个自变量情况

***公式***  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
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***特征与目标的关系分析***

> 俩种模型：一种线性关系，一种非线性关系

### 线性回归的损失和优化 ###

***损失函数***

> 损失值 = (预测值-真实值)平方再 求和 `最小二乘法`

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

***优化算法(正规方程)***

> `-1为逆`利用矩阵的逆，转置进行一步求解，只适合样本和特征比较少的情况

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

> **计算过程**：涉及到[矩阵的逆、转置可查看这篇文章][Link 1]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

***优化***

> 正规方程、梯度下降法

### 梯度下降法 ###

***概念***

> 沿着下降最快方向，梯度是函数的微分  
> 单变量 – 切线  
> 多变量 – 向量

***公式***

> `a`：代表下降的步子  
> `-`：负号代表朝着梯度相反的方向前进

![>][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
***单变量函数梯度下降***

假设有一个单变量的函数J(θ)=θ的2次方
    	函数的微分：即J(θ)求导 = 2θ
    	初始化，起点：θ的0次方 = 1
    	学习率：α = 0.4
    	以下是计算过程：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
***多变量梯度下降***

假设一个目标函数：J(θ) = θ1的二次方 + θ2的二次方
    	然后我们通过梯度下降法来计算出该函数的最小值，即可看出最小值及是(0,0)。即我们一步步计算到(0，0)。假设其起始点为θ的次方(1,3)
    	初始学习率：α = 0.1
    	函数的梯度为：J(θ) = <2*θ1,2*θ2>
    	在进行以下的多次迭代

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
***与正规方程的对比***

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>梯度下降</th> 
   <th>正规方程</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>需要选择学习率</td> 
   <td>不需要</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>需要迭代求解</td> 
   <td>一次运算得出</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>特征数量较大可以使用</td> 
   <td>需要计算方程，时间复杂度高</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

### 几种梯度下降法 ###

##### 全梯度下降法（FG） #####

> 耗时长，计算较精确；  
> 需要计算所有样本的误差，对其求和再取平均值

##### 随机梯度下降算法（SG） #####

> 每次只选择一个样本迭代

##### 小批量梯度下降法 #####

> 算法第二选择； 以上俩个方法的折中

##### 随机平均梯度下降法（SAG） #####

> 算法首选； 等同于SG，但加快了速度

### 回归性能评估 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTkyNjU0Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

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[Link 1]: https://editor.csdn.net/md/?articleId=116692561
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