011.线性回归算法推导

Dear 丶 2021-10-06 15:22 340阅读 0赞

### 预备知识 ###

*  [**高斯分布**][Link 1]  
    **一维正态分布**  
    ![20180927_13_58_07.png][]

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*  [**似然函数**][Link 2]  
    ![20180927_14_33_41.png][]  
    ![20180927_14_34_40.png][]

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*  [**最大似然估计**][Link 3]  
    ![20180927_14_37_11.png][]

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*  **PS:**
    
     *  之前一直比较纠结，最大似然估计的定义为什么是概率密度函数（或概率质量函数）的累积，看了上面的**似然函数**中的**计算实例**才逐渐明白。**似然函数取得最大值表示相应的参数能够使得统计模型最为合理。**

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### **线性模型** ###

![20180927_14_57_48.png][]  
  **线性回归**是依据样本数据上抽取的特征，预测连续值结果。简单的例子如依据身高去预测体重，如实验室中根据有色物质浓度得到吸光度曲线，再根据未知浓度有色物质吸光度得到其浓度，如上图所示。稍复杂点的如已知房子的很多特征，房子面积、卧室数目、房子所在街道、小区等，去预测房价。  
  假设有份房价预测数据，我们有n个特征（房子面积，卧室数量…），m个样本（房子1，房子2…），θ1为房子面积系数，θ2为卧室数量系数…，hθ(x)表示最后的房价，通过线性回归，我们可以得到以下公式：  
 h θ ( x ) = θ 0 x 0 + θ 1 x 1 + . . . + θ n x x = θ T X h\_\{\\theta\}(x)=\\theta\_0x\_0+\\theta\_1x\_1+...+\\theta\_nx\_x=\\boldsymbol\{\\theta\}^T\\boldsymbol\{X\} hθ(x)=θ0x0\+θ1x1\+...\+θnxx=θTX  
   x 0 x\_0 x0为1， θ 0 θ\_0 θ0即代表常数项， θ θ θ和 X X X默认为列向量，所以 θ θ θ需要转置乘以 X X X再加，使用矩阵是因为矩阵运算高效。

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### **误差项分析** ###

真实值和预测值之间肯定是存在差异的（用ε来表示误差）。对于每个样本：  
 y ( i ) = θ T x ( i ) + ε ( i ) y^\{(i)\}=\\boldsymbol\{\\theta \}^Tx^\{(i)\}+\\varepsilon^\{(i)\} y(i)=θTx(i)\+ε(i)  
  统计学家对误差项做了符合普遍规律的假设，即**误差项ε是独立且具有相同的分布，服从均值为0方差为ε的高斯分布**。

**独立：** 如果是预测房价：房屋1的价格和房屋2的价格是没有关系的，样本之间互相不会影响。

**同分布：** 如果是预测房价：每个房子的背景以及自身的价格变量必须相同，不能房子1是上海的，房子2是新疆的。

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### **推导** ###

(1) 预测值与误差： y ( i ) = θ T x ( i ) + ε ( i ) y^\{(i)\}=\\boldsymbol\{\\theta \}^Tx^\{(i)\}+\\varepsilon^\{(i)\} y(i)=θTx(i)\+ε(i)

(2) 由于误差服从高斯分布： p ( ε ( i ) ) = 1 2 π σ exp ⁡ ( − ( ε ( i ) ) 2 2 σ 2 ) p\\left( \\varepsilon ^\{(i)\} \\right) =\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\}\\exp \\left( \\frac\{-\\left( \\varepsilon ^\{(i)\} \\right) ^2\}\{2\\sigma ^2\} \\right) p(ε(i))=2πσ1exp(2σ2−(ε(i))2)

将（1）代入（2）： p ( y ( i ) ∣ x ( i ) , θ ) = 1 2 π σ exp ⁡ ( − ( y ( i ) − x ( i ) ) 2 2 σ 2 ) p\\left( y^\{(i)\}|x^\{(i)\},\\theta \\right) =\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\}\\exp \\left( \\frac\{-\\left( y^\{(i)\}-x^\{(i)\} \\right) ^2\}\{2\\sigma ^2\} \\right) p(y(i)∣x(i),θ)=2πσ1exp(2σ2−(y(i)−x(i))2)

似然函数：  
 L ( θ ) = Π m i = 1 p ( y ( i ) ∣ x ( i ) ; θ ) = Π m i = 1 1 2 π σ exp ⁡ ( − ( y ( i ) − θ T x ( i ) ) 2 2 σ 2 )    L\\left( \\theta \\right) =\\underset\{i=1\}\{\\overset\{m\}\{\\Pi\}\}p\\left( y^\{(i)\}|x^\{(i)\};\\theta \\right) =\\underset\{i=1\}\{\\overset\{m\}\{\\Pi\}\}\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\}\\exp \\left( -\\frac\{\\left( y^\{(i)\}-\\boldsymbol\{\\theta \}^Tx^\{(i)\} \\right) ^2\}\{2\\sigma ^2\} \\right) \\ \\ L(θ)=i=1Πmp(y(i)∣x(i);θ)=i=1Πm2πσ1exp⎝⎜⎛−2σ2(y(i)−θTx(i))2⎠⎟⎞

**累乘难求最大值，于是引入对数**

对数似然函数：  
 l ( θ ) = log ⁡ ( L ( θ ) ) = log ⁡ ( Π m i = 1 1 2 π σ exp ⁡ ( − ( y ( i ) − θ T x ( i ) ) 2 2 σ 2 ) ) l\\left( \\theta \\right) =\\log \\left( L\\left( \\theta \\right) \\right) =\\log \\left( \\underset\{i=1\}\{\\overset\{m\}\{\\Pi\}\}\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\}\\exp \\left( -\\frac\{\\left( y^\{(i)\}-\\boldsymbol\{\\theta \}^Tx^\{(i)\} \\right) ^2\}\{2\\sigma ^2\} \\right) \\right) l(θ)=log(L(θ))=log⎝⎜⎛i=1Πm2πσ1exp⎝⎜⎛−2σ2(y(i)−θTx(i))2⎠⎟⎞⎠⎟⎞  
 l ( θ ) = ∑ i = 1 m log ⁡ ( 1 2 π σ ) − ∑ i = 1 m ( y ( i ) − θ T x ( i ) ) 2 2 σ 2 l\\left( \\theta \\right) =\\sum\\limits\_\{i=1\}^m\{\\log \\left( \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\} \\right)\}-\\sum\\limits\_\{i=1\}^m\{\\frac\{\\left( y^\{(i)\}-\\boldsymbol\{\\theta \}^Tx^\{(i)\} \\right) ^2\}\{2\\sigma ^2\}\} l(θ)=i=1∑mlog(2πσ1)−i=1∑m2σ2(y(i)−θTx(i))2  
 l ( θ ) = ∑ i = 1 m log ⁡ ( 1 2 π σ ) − 1 σ 2 ⋅ 1 2 ⋅ ∑ i = 1 m ( y ( i ) − θ T x ( i ) ) 2 l\\left( \\theta \\right) =\\sum\\limits\_\{i=1\}^m\{\\log \\left( \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\} \\right)\}-\\frac\{1\}\{\\sigma ^2\}\\cdot \\frac\{1\}\{2\}\\cdot \\sum\\limits\_\{i=1\}^m\{\\left( y^\{(i)\}-\\boldsymbol\{\\theta \}^Tx^\{(i)\} \\right) ^2\} l(θ)=i=1∑mlog(2πσ1)−σ21⋅21⋅i=1∑m(y(i)−θTx(i))2  
   因为  ∑ i = 1 m log ⁡ ( 1 2 π σ ) \\sum\\limits\_\{i=1\}^m\{\\log \\left( \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\} \\right)\} i=1∑mlog(2πσ1)是常数，所以只要求 1 σ 2 ⋅ 1 2 ⋅ ∑ i = 1 m ( y ( i ) − θ T x ( i ) ) 2 \\frac\{1\}\{\\sigma ^2\}\\cdot \\frac\{1\}\{2\}\\cdot \\sum\\limits\_\{i=1\}^m\{\\left( y^\{(i)\}-\\boldsymbol\{\\theta \}^Tx^\{(i)\} \\right) ^2\} σ21⋅21⋅i=1∑m(y(i)−θTx(i))2最小就好了。

所以，我们定义损失函数： 损失函数： J ( θ ) = 1 2 ∑ i = 1 m ( y i − θ T x i ) 2 \\text\{损失函数：\}J\\left( \\theta \\right) =\\frac\{1\}\{2\}\\sum\\limits\_\{i=1\}^m\{\\left( y^i-\\boldsymbol\{\\theta \}^Tx^i \\right) ^2\} 损失函数：J(θ)=21i=1∑m(yi−θTxi)2 ，   1 2 \\frac\{1\}\{2\} 21保留是为了后续求导系数约分

其中：  
    x ( i ) x^\{(i)\} x(i)表示向量x中的第i个元素  
    y ( i ) y^\{(i)\} y(i)表示向量y中的第i个元素

下面使用矩阵计算，因为使用矩阵的效率更高。  
 J ( θ ) = 1 2 ( Y − θ X ) T ( Y − θ X ) J\\left( \\theta \\right) =\\frac\{1\}\{2\}\\left( \\boldsymbol\{Y\}-\\boldsymbol\{\\theta X\} \\right) ^T\\left( \\boldsymbol\{Y\}-\\boldsymbol\{\\theta X\} \\right) J(θ)=21(Y−θX)T(Y−θX)  
 = 1 2 ( Y T − X T θ T ) ( Y − θ X ) =\\frac\{1\}\{2\}\\left( \\boldsymbol\{Y\}^T-\\boldsymbol\{X\}^T\\boldsymbol\{\\theta \}^T \\right) \\left( \\boldsymbol\{Y\}-\\boldsymbol\{\\theta X\} \\right) =21(YT−XTθT)(Y−θX)  
 = 1 2 ( Y T Y − X T θ T Y − Y T θ X + X T θ T θ X ) =\\frac\{1\}\{2\}\\left( \\boldsymbol\{Y\}^T\\boldsymbol\{Y\}-\\boldsymbol\{X\}^T\\boldsymbol\{\\theta \}^T\\boldsymbol\{Y\}-\\boldsymbol\{Y\}^T\\boldsymbol\{\\theta X\}+\\boldsymbol\{X\}^T\\boldsymbol\{\\theta \}^T\\boldsymbol\{\\theta X\} \\right) =21(YTY−XTθTY−YTθX\+XTθTθX)  
 对 θ T 求偏导，令其为零： ∇ J ( θ ) = 1 2 ( − X T Y − X T Y + 2 θ X T X ) = 0 \\text\{对\}\\boldsymbol\{\\theta \}^T\\text\{求偏导，令其为零：\}\\nabla J\\left( \\theta \\right) =\\frac\{1\}\{2\}\\left( -\\boldsymbol\{X\}^T\\boldsymbol\{Y\}-\\boldsymbol\{X\}^T\\boldsymbol\{Y\}+2\\boldsymbol\{\\theta X\}^T\\boldsymbol\{X\} \\right) =0 对θT求偏导，令其为零：∇J(θ)=21(−XTY−XTY\+2θXTX)=0  
 θ = ( X T X ) − 1 X T Y \\boldsymbol\{\\theta \}=\\left( \\boldsymbol\{X\}^T\\boldsymbol\{X\} \\right) ^\{-1\}\\boldsymbol\{X\}^T\\boldsymbol\{Y\} θ=(XTX)−1XTY

### **评估方法** ###

最常用的评估项  
  ![20180927_16_49_51.png][]

R 2 R^2 R2 的取值越接近于1我们认为模型拟合的越好

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### **梯度下降** ###

![20180927_17_54_09.png][]

y y y轴是我们要优化的损失函数， x x x轴是自变量 θ θ θ，此处以 θ θ θ为例，整个图像就像一个山谷，梯度代表 y y y值增大的方向，我们希望 θ θ θ逐渐往y减小的方法走，即与梯度相反的方向去走，最后走到山谷。所以首先，我们要找到梯度方向，即为导数方向，描述多元变量时即为偏导方向，对应着数学中的求导。这个方向也是变化最快的方向，对应导数的值。每次走多远呢？如果步子太大，直接走到对面山上，显然不行，即会出现持续震荡，无法走到最低点。步子走得太小，迭代次数就会很大，即影响了整个的计算效率，这个参数对应的就是**学习率** α α α。实际过程中，学习率一般选为0.01或0.001等，视情况调整。

在越接近这个曲线最低点位置的时候，它的斜率会越小，这意味着说学习率乘以斜率的值的大小会越小，也就是行动会越来越缓慢，越来越谨慎，所以迭代了一定的轮次之后，我们会发现 θ θ θ的变化率已经非常非常小了， 那我就可以认为 θ θ θ基本在最低点的位置，然后停止，所以我们通过这样的方式可以找到这个凸函数的全局的最低点。当然，停止策略除了 θ θ θ变化，也可以是迭代次数或是损失函数的变化值小于某个范围。

**梯度下降目标函数：**  
 梯度下降，目标函数： J ( θ ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x i ) − y i ) 2 ( 比之前多除以 m 是表示均值 ) \\text\{梯度下降，目标函数：\}J\\left( \\theta \\right) =\\frac\{1\}\{2m\}\\sum\\limits\_\{i=1\}^m\{\\left( h\_\{\\theta\}\\left( x^i \\right) -y^i \\right)\}^2\\left( \\text\{比之前多除以\}m\\text\{是表示均值\} \\right) 梯度下降，目标函数：J(θ)=2m1i=1∑m(hθ(xi)−yi)2(比之前多除以m是表示均值)  
 θ j = θ j − α d d θ J ( θ ) = θ j − 1 m ( h θ ( x i ) − y i ) x j i \\theta \_j=\\theta \_j-\\alpha \\frac\{d\}\{d\_\{\\theta\}\}J\\left( \\theta \\right) =\\theta \_j-\\frac\{1\}\{m\}\\left( h\_\{\\theta\}\\left( x^i \\right) -y^i \\right) x\_\{j\}^\{i\} θj=θj−αdθdJ(θ)=θj−m1(hθ(xi)−yi)xji

**批量梯度下降：** ∂ J ( θ ) ∂ θ j = − 1 m ∑ i = 1 m ( y i − h θ ( x i ) ) x j i \\frac\{\\partial\{J\\left(\\theta\\right)\}\}\{\\partial\{\\theta\_j\}\}=-\\frac\{1\}\{m\}\\sum\\limits\_\{i=1\}^m\{\\left(y^i-h\_\\theta\{\\left(x^i\\right)\}\\right)\}\{x\_j\}^i ∂θj∂J(θ)=−m1i=1∑m(yi−hθ(xi))xji    θ j = θ j + 1 m ∑ i = 1 m ( y i − h θ ( x i ) ) x j i \\theta\_j=\\theta\_j+\\frac\{1\}\{m\}\\sum\\limits\_\{i=1\}^m\{\\left(y^i-h\_\\theta\\left(x^i\\right)\\right)\{x\_j\}^i\} θj=θj\+m1i=1∑m(yi−hθ(xi))xji  
  (容易得到最优解，但是由于每次考虑所有样本，速度很慢)

**随机梯度下降：** θ j = θ j + ( y i − h θ ( x i ) ) x j i \\theta\_j=\\theta\_j+\\left(y^i-h\_\\theta\\left(x^i\\right)\\right)\{x\_j\}^i θj=θj\+(yi−hθ(xi))xji  
  (每次找一个样本,迭代速度快,但不一定每次都朝着收敛的方向)

**小批量梯度下降：** θ j : = θ j − α 1 10 ∑ i = 1 i + 9 ( h θ ( x ( k ) − y ( k ) ) ) x j ( k ) \\theta\_j:=\\theta\_j-\\alpha\\frac\{1\}\{10\}\\sum\\limits\_\{i=1\}^\{i+9\}\\left(h\_\\theta\\left(x^\{\\left(k\\right)\}-y^\{\\left(k\\right)\}\\right)\\right)\{x\_j\}^\{\\left(k\\right)\} θj:=θj−α101i=1∑i\+9(hθ(x(k)−y(k)))xj(k)  
  (每次更新选择一小部分数据来算,实用!)

[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83
[20180927_13_58_07.png]: http://upyun.qubianzhong.cn/picture/20180927_13:58:07.png
[Link 2]: https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%BC%E7%84%B6%E5%87%BD%E6%95%B0
[20180927_14_33_41.png]: http://upyun.qubianzhong.cn/picture/20180927_14:33:41.png
[20180927_14_34_40.png]: http://upyun.qubianzhong.cn/picture/20180927_14:34:40.png
[Link 3]: https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BC%BC%E7%84%B6%E4%BC%B0%E8%AE%A1
[20180927_14_37_11.png]: http://upyun.qubianzhong.cn/picture/20180927_14:37:11.png
[20180927_14_57_48.png]: http://upyun.qubianzhong.cn/picture/20180927_14:57:48.png
[20180927_16_49_51.png]: http://upyun.qubianzhong.cn/picture/20180927_16:49:51.png
[20180927_17_54_09.png]: http://upyun.qubianzhong.cn/picture/20180927_17:54:09.png