机器学习笔记02——线性回归和逻辑回归（LR）

灰太狼 2023-05-21 08:47 224阅读 0赞

### 目录 ###

*  2.1线性回归
 *   *  2.1.1线性回归目标函数
     *  2.1.2参数θ的求解
     *   *  解析式求解：
         *  梯度下降
     *  2.1.3 过拟合
     *  2.1.4 利用正则化解决过拟合问题
 *  2.2逻辑回归
 *   *  2.2.1逻辑回归的目标函数
     *  2.2.2 逻辑回归实现多分类
 *  2.3 线性回归和逻辑回归的区别:
 *  2.4 LR和SVM的区别
 *  参考文献

# 2.1线性回归 #

利用大量的样本D ，通过有监督的学习，学习到由x到y的映射f(x)，利用该映射关系对未知的数据进行预估，因为y为连续值，所以是回归问题。  
单变量情形：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70]

多变量情形：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

## 2.1.1线性回归目标函数 ##

使用极大似然估计解释最小二乘：  
![在这里插入图片描述][20200424222526340.png]  
根据中心极限定理：误差ε(i)(1≤i≤m)独立同分布的，服从均值为0，方差为某定值σ2 的高斯分布。  
所以有似然函数：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
利用似然估计有：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
因此我们的目的是使得l(θ)最大似然，也即使  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
最小。因此我们的目标函数为J(θ)。而不同的参数有不同的偏差，所以要通过最小化目标函数，也就是最小化偏差来得到最好的参数。

## 2.1.2参数θ的求解 ##

### 解析式求解： ###

我们已经有目标函数  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
因此针对一个将M个N纬样本组成的矩阵X（其中X的每一行对应一个样本，共M行；X的每一列对应样本的一个纬度，共N纬），目标函数可变为  
![在这里插入图片描述][20200424223709487.png]  
采用线性数学求导的方式求驻点：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
所以有  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
**若XTX不可逆或为了防止过拟合，可增加λ扰动：**  
![在这里插入图片描述][20200424224024143.png]

### 梯度下降 ###

目标函数二次求导得到J(θ)=XTX>=0,所以目标是一个凸函数，我们的目标是达到最低点，也就是使得损失函数最小。因此可采用梯度下降的方法  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]  
**参数更新示例：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]

## 2.1.3 过拟合 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]  
**过拟合的原因如上图所示：**  
如果我们有很多的特征或模型(高阶模型）很复杂，则假设函数曲线可以对训练样本拟合的非常好，学习能力太强了，但是丧失了一般性。同时训练样本中肯定存在噪声点，如果全都学习的话肯定会将噪声也学习进去。

## 2.1.4 利用正则化解决过拟合问题 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]  
**正则化的作用：**  
a、控制参数变化幅度，对变化大的参数惩罚  
b、限制参数搜索空间  
c、第二种正则化方式还可以做特征的选取

# 2.2逻辑回归 #

逻辑回归本质上是线性回归，只是在特征到结果的映射中加入了一层逻辑函数（激励函数）g(z)，即先把特征线性求和，然后使用g(z)作为假设函数来预测。g(z)可以将连续的值映射到0和1之间。用于分类问题g(z)为sigmod函数  
![在这里插入图片描述][20200424225655531.png]则  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]

## 2.2.1逻辑回归的目标函数 ##

逻辑回归用来分类0/1问题，也就是预测结果属于0或1的二值分类问题。这里假设二值满足伯努利分布，即  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]  
也可写成如下形式  
![在这里插入图片描述][20200424230202530.png]  
对于训练数据集，特征数据x=\{x1,x2,x3……,xm\}和对应的分类标签y=\{y1,y2,y3,……,ym\},假设m个样本是相互独立的，那么极大似然函数为：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]  
**log似然为：**  
![在这里插入图片描述][20200424230504763.png]为了使其最大，与线性回归类似，使用求导  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]  
**则Logistic参数学习规则为：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]

## 2.2.2 逻辑回归实现多分类 ##

**方式一**：修改逻辑回归的损失函数,使用softmax函数构造模型解决多分类问题,softmax分类模型会有相同于类别数的输出,输出的值为对于样本属于各个类别的概率,最后对于样本进行预测的类型为概率值最高的那个类别。  
**方式二**：根据每个类别都建立- -个二分类器,本类别的样本标签定义为0,其它分类样本标签定义为1,则有多少个类别就构造多少个逻辑回归分类器

# 2.3 线性回归和逻辑回归的区别: #

线性回归用来做预测,LR用来做分类。线性回归是来拟合函数,LR是来预测函数。线性回归用最小二乘法来计算参数,LR用最大似然估计来计算参数。线性回归更容易受到异常值的影响,而LR对异常值有较好的稳定性。

# 2.4 LR和SVM的区别 #

a、LR是参数模型，SVM是非参数模型。  
b、从目标函数来看，区别在于逻辑回归采用的是logistical loss,SVM采用的是hinge loss.这两个损失函数的目的都是增加对分类影响较大的数据点的权重，减少与分类关系较小的数据点的权重。  
c、SVM的处理方法是只考虑support vectors,也就是和分类最相关的少数点，去学习分类器。而逻辑回归通过非线性映射，大大减小了离分类平面较远的点的权重，相对提升了与分类最相关的数据点的权重。  
d、逻辑回归相对来说模型更简单，好理解，特别是大规模线性分类时比较方便。而SVM的理解和优化相对来说复杂一些， SVM转化为对偶问题后分类只需要计算与少数几个支持向量的距离,这个在进行复杂核函数计算时优势很明显,能够大大简化模型和计算。  
e、logic 能做的svm能做,但可能在准确率.上有问题，svm能做的logic有的做不了。

# 参考文献 #

[邹博机器学习][Link 1]  
[https://blog.csdn.net/jiaoyangwm/article/details/81139362][https_blog.csdn.net_jiaoyangwm_article_details_81139362]  
[https://www.jianshu.com/p/821194a77d22][https_www.jianshu.com_p_821194a77d22]

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[Link 1]: https://www.chinahadoop.cn/course/582/lesson/hflist/all
[https_blog.csdn.net_jiaoyangwm_article_details_81139362]: https://blog.csdn.net/jiaoyangwm/article/details/81139362
[https_www.jianshu.com_p_821194a77d22]: https://www.jianshu.com/p/821194a77d22