序列型动态规划——俄罗斯套娃信封问题

悠悠 2022-10-27 06:29 143阅读 0赞

给定一些标记了宽度和高度的信封，宽度和高度以整数对形式 (w, h) 出现。当另一个信封的宽度和高度都比这个信封大的时候，这个信封就可以放进另一个信封里，如同俄罗斯套娃一样。

请计算最多能有多少个信封能组成一组“俄罗斯套娃”信封（即可以把一个信封放到另一个信封里面）。

说明:  
不允许旋转信封。

示例:

输入: envelopes = [[5,4],[6,4],[6,7],[2,3]]
    输出: 3 
    解释: 最多信封的个数为 3, 组合为: [2,3] => [5,4] => [6,7]。

### 1、题目分析 ###

从题目的提问方式，也能很明显的看出，该问题属于典型的最值型动态规划问题。

但是在解决问题的过程中，可能会出现一个信封A能放入信封B和信封C，但是信封B和信封C互相不能放入。

所以在开始之前我们需要将所有信封按照长度一维进行排序：E0，E1……，En-1

排序之后，如果一个信封Ei是最外层的信封，那么它的里面的第一层信封Ej一定满足j<i

### 2、确定状态 ###

最后一步：设最优策略中最后一个信封即最外层的信封是Ei。考虑次外层信封是哪个。这个问题有点像最长递增子序列的考虑方式。

因此我们可以设f\[i\]表示以Ei为最外层信封时最多的嵌套层数

### 3、转移方程 ###

f\[i\]表示以Ei为最外层信封时最多的嵌套层数  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70]

### 4、初始条件和边界情况 ###

不需要初始条件。

### 5、计算顺序 ###

从小到大的顺序

时间复杂度O(n\*n)，空间复杂度O(N )

### 6、代码实现 ###

#这个题目的方法就和最长递增子序列是一样的，但是这个题目要求的时间复杂度更为严格，需要用贪心算法
    import numpy as np
    class Solution:
        def maxEnvelopes(self, envelopes: List[List[int]]) -> int:
            if len(envelopes)==0:
                return 0
            dp = [0 for i in range(len(envelopes))]
            envelopes = np.array(envelopes)
            envelopes=envelopes[np.lexsort(envelopes[:,::-1].T)]
            dp[0]=1
            max1=1
            for i in range(1,envelopes.shape[0]):
                dp[i]=1
                for j in range(i):
                    if envelopes[i][0]>envelopes[j][0] and envelopes[i][1]>envelopes[j][1]:
                        dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)
                max1=max(max1,dp[i])
            return max1

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