力扣刷题笔记：62.不同路径（动态规划经典题，直接套模板）

傷城~ 2022-10-23 08:28 153阅读 0赞

## 题目： ##

62、不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：  
![在这里插入图片描述][20210309212134893.png]

> 输入：m = 3, n = 7  
> 输出：28

示例 2：

> 输入：m = 3, n = 2  
> 输出：3  
> 解释：  
> 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
> 
> 1.  向右 -> 向下 -> 向下
> 2.  向下 -> 向下 -> 向右
> 3.  向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

> 输入：m = 7, n = 3  
> 输出：28

示例 4：

> 输入：m = 3, n = 3  
> 输出：6

提示：

> 1 <= m, n <= 100  
> 题目数据保证答案小于等于 2 \* 10^9

## 题解思路： ##

**思路与算法**

我们用 f(i, j) 表示从左上角走到 (i, j) 的路径数量，其中 i 和 j 的范围分别是 \[0, m) 和 \[0, n)。

由于我们每一步只能从向下或者向右移动一步，因此要想走到 (i, j)，如果向下走一步，那么会从 (i-1, j) 走过来；如果向右走一步，那么会从 (i, j-1) 走过来。因此我们可以写出动态规划转移方程：

> f(i, j) = f(i-1, j) + f(i, j-1)

需要注意的是，如果 i=0，那么 f(i-1,j) 并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项；同理，如果 j=0，那么 f(i,j-1) 并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项。

初始条件为 f(0,0)=1，即从左上角走到左上角有一种方法。

最终的答案即为 f(m-1,n-1)。

**细节**

为了方便代码编写，我们可以将所有的 f(0, j) 以及 f(i,0) 都设置为边界条件，它们的值均为 1。

## 题解python代码： ##

class Solution:
        def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
            f = [[1] * n] + [[1] + [0] * (n - 1) for _ in range(m - 1)]
            print(f)
            for i in range(1, m):
                for j in range(1, n):
                    f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1]
            return f[m - 1][n - 1]

> 作者：LeetCode-Solution  
> 链接：[https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/solution/bu-tong-lu-jing-by-leetcode-solution-hzjf/][https_leetcode-cn.com_problems_unique-paths_solution_bu-tong-lu-jing-by-leetcode-solution-hzjf]  
> 来源：力扣（LeetCode）[https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/][https_leetcode-cn.com_problems_unique-paths]

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[https_leetcode-cn.com_problems_unique-paths_solution_bu-tong-lu-jing-by-leetcode-solution-hzjf]: https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/solution/bu-tong-lu-jing-by-leetcode-solution-hzjf/
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