动态规划——62. 不同路径

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2023-10-08 16:16 35阅读 0赞

## 1 题目描述 ##

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

来源：力扣（LeetCode）  
链接：https://leetcode.cn/problems/unique-paths

## 2 题目示例 ##

![在这里插入图片描述][bca5bf89a86d40daa17776f853ba3647.png]  
示例 2：  
输入：m = 3, n = 2  
输出：3  
解释：  
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1.  向右 -> 向下 -> 向下
2.  向下 -> 向下 -> 向右
3.  向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：  
输入：m = 7, n = 3  
输出：28

示例 4：  
输入：m = 3, n = 3  
输出：6

## 3 题目提示 ##

1 <= m, n <= 100  
题目数据保证答案小于等于 2 \* 109

## 4 思路 ##

我们用f(i,j)表示从左上角走到(i,j)的路径数量，其中i和j的范围分别是\[0, m)和\[0, n)。  
由于我们每一步只能从向下或者向右移动—步，因此要想走到(i,j)，如果向下走一步，那么会从(i-1,j)走过来;如果向右走一步，那么会从(i,j-1)走过来。因此我们可以写出动态规划转移方程:  
![在这里插入图片描述][a9fa43a1bdf64264a264876529cc5f9a.png]  
需要注意的是，如果i=0，那么f(i - 1,j)并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这―项;同理，如果j=0，那么f(i,j-1)并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这—项。初始条件为f(0,0)= 1，即从左上角走到左上角有—种方法。最终的答案即为f(m - 1,n - 1)。

细节:  
为了方便代码编写，我们可以将所有的f(0,j)以及f(i,0)都设置为边界条件，它们的值均为1。

复杂度分析  
时间复杂度:O(mn)。  
空间复杂度:O(mn)，即为存储所有状态需要的空间。注意到f(i,j)仅与第i行和第i-1行的状态有关，因此我们可以使用滚动数组代替代码中的二维数组，使空间复杂度降低为O(n)。此外，由于我们交换行列的值并不会对答案产生影响，因此我们总可以通过交换m和n使得m≤ n，这样空间复杂度降低至O(min(m, rn))。

## 5 我的答案 ##

class Solution {
        
        public int uniquePaths(int m, int n) {
        
            int[][] f = new int[m][n];
            for (int i = 0; i < m; ++i) {
        
                f[i][0] = 1;
            }
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
        
                f[0][j] = 1;
            }
            for (int i = 1; i < m; ++i) {
        
                for (int j = 1; j < n; ++j) {
        
                    f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
                }
            }
            return f[m - 1][n - 1];
        }
    }

[bca5bf89a86d40daa17776f853ba3647.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/bca5bf89a86d40daa17776f853ba3647.png
[a9fa43a1bdf64264a264876529cc5f9a.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/a9fa43a1bdf64264a264876529cc5f9a.png