62. 不同路径

男娘i 2024-03-26 16:47 15阅读 0赞

### 62. 不同路径 ###

一个机器人位于一个  m ∗ n m \* n m∗n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

##### 实例 1： #####

![在这里插入图片描述][275fac8323c6428dbcab1b441f0e172b.png]

输入：m = 3, n = 7
    输出：28

##### 示例 2： #####

输入：m = 3, n = 2
    输出：3
    解释：
    从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
    1. 向右 -> 向下 -> 向下
    2. 向下 -> 向下 -> 向右
    3. 向下 -> 向右 -> 向下

##### 示例 3： #####

输入：m = 7, n = 3
    输出：28

##### 示例 4： #####

输入：m = 3, n = 3
    输出：6

##### 提示： #####

*  1 <= m, n <= 100
 *  题目数据保证答案小于等于  2 ∗ 1 0 9 2 \* 10^9 2∗109

#### 思路：(动态规划) ####

由于每次只能向下或者向右移动，所以到达任意一个位置，不是从上面到达就是从左边到达，从而到达该位置的路径就是这两个方向之和：

*  定义一个 m\*n 矩阵dp，用于存放到达当前位置的所有路径；
 *  第一列和第一行比较特殊，分别只能从上方到达，从左面到达，因此只用一条路，赋值为1；
 *  其余位置要比较从左面，从上面到达，所以动态方程为：dp\[i\]\[j\] = dp\[i-1\]\[j\] + dp\[i\]\[j-1\]

#### 代码：(Java) ####

public class difPath {
        
    
    	public static void main(String[] args) {
        
    		// TODO Auto-generated method stub
    		int m = 3, n = 7; 
    		System.out.println(uniquePaths(m, n));
    		
    	}
    	public static int uniquePaths(int m, int n) {
        
    		int [][] dp = new int[m][n];
    		for(int i = 0; i < m; i++) {
        
    			dp[i][0] = 1;
    		}
    		for(int j = 0; j < n; j++) {
        
    			dp[0][j] = 1;
    		}
    		for(int i = 1; i < m; i++) {
        
    			for (int j = 1; j < n; j++) {
        
    				dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
    			}
    		}
    		return dp[m-1][n-1];
    	}
    }

##### 运行结果： #####

![在这里插入图片描述][82ede498881b4055bb7c456be1f7ec19.png]

#### 复杂度分析： ####

**时间复杂度**：O(m∗n) 。  
**空间复杂度**：O(m∗n) 。（优化：因为我们每次只需要 dp\[i-1\]\[j\],dp\[i\]\[j-1\]，所以我们只要记录这两个数，所以空间复杂度可以为 ：O(1) . ）

##### 注：仅供学习参考！ #####

题目来源：[力扣。][Link 1]

[275fac8323c6428dbcab1b441f0e172b.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/26/9d63e62011e34c77bad28b7272995f01.png
[82ede498881b4055bb7c456be1f7ec19.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/26/ae773e7ce850450f8bcf7349cee29f12.png
[Link 1]: https://leetcode.cn/problems/unique-paths/description/