扩展欧几里得算法
poj 1061题目，青蛙的约会。一开始想暴力求解的。但是之前提交过，tle…
今天过来查一下，说是扩展欧几里得算法。我了个去。这么复杂的名字，得是有多深奥。
查了才知道原来就是辗转相除法。
欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。
其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：
a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
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欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：
int Gcd(int a, int b)
{
if(b == 0)
return a;
return Gcd(b, a % b);
}
当然你也可以写成迭代形式：
int Gcd(int a, int b)
{
while(b != 0)
{
int r = b;
b = a % b;
a = r;
}
return a;
}
本质上都是用的上面那个原理。
补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数
论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使
用C++的实现：
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)\{x = 1;y = 0;return a;\}int r = exGcd(b, a % b, x, y);int t = x;x = y;y = t - a / b \* y;
return r;
}
把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a’ = b, b’ = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a’x + b’y = Gcd(a’, b’)
由于b’ = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a’x + b’y = Gcd(a’, b’) ===>
bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a’, b’) = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y).
求a * x + b * y = n的整数解。
1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd
(a,b)，得到新的不定方程a’ * x + b’ * y = n’，此时Gcd(a’,b’)=1;
2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' \* x + b' \* y = 1的一组整数解x0,y0，则n' \* x0,n'
* y0是方程a’ * x + b’ * y = n’的一组整数解；
3、根据数论中的相关定理，可得方程a’ * x + b’ * y = n’的所有整数解为：
x = n' \* x0 + b' \* t
y = n’ * y0 - a’ * t
(t为整数)
上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。
不念不忘少年蓝@
系统管理员
ゞ 浴缸里的玫瑰
心已赠人
我会带着你远行
今天药忘吃喽~
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