第5章基础——5.7. 进制.1

我就是我 2022-08-06 11:30 171阅读 0赞

5.7. 进制.1

我女儿读幼儿园时，我就开始关心起她的算术能力。于是我了解到，她在小班的时候，就会个位数的加法，但一晃两年，到大班要结束了，才见她拿着算盘在那里炫她的百位数以内加减。

我 提到了“个位”、“百位”，您懂吧——不懂？不会吧，我的书居然也有幼儿园的小朋友读者了。没错，平常我们用惯的数，是逢十进一，称为“十进制”数。十进 制数的最低位，称为“个位”，而后是“十位”，“百位”，“千位”。不过，今天我们学习的“二进制”数，它的最低位，称为“1位”，而后是“2位”，“8 位”，“16位”，“32位”，“64位”……

一个1，对于十进制数，在百位上，它代表100，在十位上，代表10，在个位上，才代表1。所以，一个十进数的123，它之所以是“一百二十三”，是因为……请看大屏幕：

123 = 1×100 + 2×10 + 3×1。

![laugth_icon.PNG][] 〖轻松一刻〗：二进制其实很简单

我知道性急的读者读到此处，已经直接打电话到出版社咆哮了：“我要的是一本计算机编程教材，而不是一本幼儿算术启蒙读物！”

有关“十进制”的知识，确实很简单，比“十进制”还要简单5倍的，是“二进制”。 可是，真的有很多程序员，一提到“二进制”就晕乎，所以大家就耐心一点，我们的知识，马上就会上升到初中代数的水平了。

另外，如果我们把一个数，从右到左，依次称为“第0位”、“第1位”、“第2位”……的话，那么，“十进制”各位的权值，以“10”为基数，以位为指数。请再次看大屏幕：

123 = 1×(10的2次方) + 2×(10的1次方) + 3×(10的0次方)

其中，10的0次方为1，因为初一代数告诉我们：“除0以外，任何数的0次方为1”。

这是十进制，那么，二进制呢？

5.7.1. 正整数和零

“二进制”各位的权值，则以“2”为基础。这样，二进制数123——且慢，二进制数中，是不可能出现2，3的，因为它逢2就进1了，所以只有0～1，这和十进制数中只有0～9是一个道理。那我们以二进制数“110”为例。

再啰嗦一下，既然是二进制数，那就不能把110读成“一百一十”。为了避免混淆，我们用110（2）明确表示一个二进制数。

110（2）= 1×(2的2次方) + 1×(2的1次方) + 0×（2的0次方）

= 1×4 + 1×2 + 0×1

= 4 + 2 + 0

= 6

原来，二进制的110，不过是十进制的6。如果我女儿读幼儿园时学的是二进制数的话，那么她读小班时，就可以掌握3位数的加减了。

![xczy.png][] 〖课堂作业〗：练习二进制数换算成十进制数

1、写以下二进制数的十进制值： 0000、0001、0010、0110、0011、1000、1010、0111、1111、1001。

2、请将以上二进制数从小到大排列，然后补充出同样处于0000~1111范围的其它二进制整数，并将新增的二进制数换算成十进制。

看 来，二进制挺“耗位置”的。一个小小的十进制数6，用二进制表达，就得用到3位数。之前我们在说机型，提过16位、32位、64位，没错，这里的“位 /bit”，指的是二进制数。当前大多数人用的PC机是32位机，在32位机上，一个最大的二进制整数是多大呢？拍拍脑袋就知道了：

11111111 11111111 11111111 11111111

这 就是最大的32位无符号正整数，换算成十进制是多大呢？答：4294967295，读作：“四十二亿九千四百九十六万又七千两百九十五”。如果问的是： 32位的二进制，最多可以表达几个整数？则回答：可以表达4294967296个（例如：0～4294967295）。在这么多数中，二进制和十进制来表 达一致的，只有0和1。

至此，我们在说的整数，都是0和正整数，负整数如何用二进制表达呢？比如-1？

5.7.2. 负整数(原码、反码、补码)

如果让你来设计，你认为在计算机中，二进制的负整数该如何表达呢？有丁小明同学站起来回答：

“前面加个负号就行了呗！比如，十进制的-1，还是-1(2)，十进制的6，就是-110(2)……”

![laugth_icon.PNG][] 〖轻松一刻〗：丁小明同学罚洗校厕三天

早就说过，在计算机中，一切都是用数字表达。虽然电脑键盘是有负号正号，电脑显示屏上也能打出负号正号，但这都是给人看的，一切符号对于机器来说，最终都需要用二进制数表达。倘使“负的二进制数”需要用“负号”表达，但“负号”本身又需要用二进制表达……

没辙，既然计算机中一切都是0和1，那么负号肯定也得用0或1来表达了。所以，可能除丁小明同学以外，大家最容易想到的方法，就是0表示正号，1表示负号。对于一个32位的数来说：

\+1还是：00000000 00000000 00000000 00000001

\-1则是：10000000 00000000 00000000 00000001

咦？真的很直观噢，并且感觉很有创意啊……哈哈哈哈！然而，数学家们对我们这个创意很不满意。他们说，“+1加-1 应该等于0啊。你且把那两个数加加！” 得，居然是“-2”。

我 们把目光转向计算机学家，更惨，计算机学家基本也是一位数学家，所以他们有双重的不满意：“0怎么表达啊？我们制造计算机，第一要求就是准确无二义！你搞 这样一个正负表达，请问，0是00000000 00000000 00000000 00000000好呢？还是10000000 00000000 00000000 00000000好？还是两者都可以？”

的确噢，(+1) + (-1) 应等于0，并且+0应该等于-0……这要求不算高啊，怎么办呢？当初我也曾为此抓耳挠腮，终于得出结论：干嘛呢？！我只是要来打个酱油，你凭什么让我回答这个问题！为什么不直接告诉我先哲们是如何处理的？

先哲出场了！他说：“年轻人，用二进制数中最右边的一位0表示正号，最右边的一位1表示负号，其实是完全正确的思路！只不过，如果是负数的话，我们需要用补码来表达就一切OK了……”先哲的声音越来越远，越来越远。

“等等啊，什么叫补码啊？”

“至于什么叫补码，就让《白话 C++》来告诉你吧……”

计算机中，负数是用补码表示的。什么叫补码？让我且从“原码”说起……

*  原码

前面一直在说的正整数和0的表示法，就叫做原码。例如，以32位的0和1为例：

0：00000000 00000000 00000000 00000000

1：00000000 00000000 00000000 00000001

我们仅用原码来表达正整数和0，而不用来表达负整数，因为，假设用原码表示-0和-1的话：

\-0：10000000 00000000 00000000 00000000

\-1：10000000 00000000 00000000 00000001

这就是我们刚才失败的创意。虽然失败，但却是后面变换过程的开始。

*  反码

将原码中的0变成1，1变成0，就叫做反码。因为我们已经肯定要用“原码”来表达0和正整数了，所以让我们看看反码如何表达-0和-1。

先看原码：

\-0的原码：10000000 00000000 00000000 00000000

\-1的原码：10000000 00000000 00000000 00000001

然后分别取反：

\-0的反码：11111111 11111111 11111111 11111111

\-1的反码：11111111 11111111 11111111 11111110

反码的“-0”和“+0”长得更不像了（完全相反嘛）！再试一下(+1) + (-1)，我们排一下竖式：

00000000 00000000 00000000 00000001

\+ 11111111 11111111 11111111 11111110

\---------------------------------------

11111111 11111111 11111111 11111111

结果成了那个正大的无符号整数：4294967295。看来，反码只是一个中间状态，我们既不用它表达正整数或0，也不用它表达负整数。

*  补码

将反码加1得到的数，就叫做补码。

这么简单？不过，也得注意一点小事情：溢出。

![laugth_icon.PNG][] 〖轻松一刻〗：世界上最大数是多少？

小 学一二年级时，最爱和同学抬杠的事之一，就是比谁的数大了。甲说自家养了5只鹅，乙就说他家有6只。甲一生气：10只！乙更夸张100只（他家的鹅繁殖得 可真快）！后面就更了不得了，千只，万只，十万只，最后有一方嘴累了，就来一句：“反正无论你有多少只，我就比你多1只。”

一方垂死挣扎：“我家鹅的只数，是世界上最大的数！”

另一方：“那我家的是世界上最大的数再加1那个数。”

如 果这世界是上真有一个最大数，那么，这个最大数再加1得到的数是什么呢？这听着怎么也不像是个算术问题，倒像是个哲学问题啊。还好，在计算机的世界里，我 们可以回答这个问题。32位机里，最大的数，不就是“四十二亿九千四百九十六万又七千两百九十五”，那么，这个数加上1，是什么呢？

11111111 11111111 11111111 11111111

\+ 00000000 00000000 00000000 00000001

\-----------------------------------------

00000000 00000000 00000000 00000000

哈 哈哈哈，重大发现啊，原来计算机世界里，最大数加上1以后，居然得到0。咦，不是一直进位，进到最高位那个1上哪去了——你是说第33位吗？专业一点! 32位机，哪来的33位。那1位数，就这样“机间消失”了，对了，这也有一个专业名词，叫“溢出/overflow”。

言归正传。既然，将反码加1得到的数，就叫做补码。我们来看看补码如何表达-0和-1。

先看反码：

\-0的反码：11111111 11111111 11111111 11111111

\-1的反码：11111111 11111111 11111111 11111110

然后分别取补：

\-0的补码：00000000 00000000 00000000 00000000

\-1的补码：11111111 11111111 11111111 11111111

用补码表示-0，则它正好就是用原码表示的+0。数学家们提的第一个要求满足了！

再来算一下(1) + (-1) ：

00000000 00000000 00000000 00000001

\+ 11111111 11111111 11111111 11111111

\----------------------------------------

00000000 00000000 00000000 00000000

溢出再一次发生，而结果却正是我们想要的：正1加上负1，等于0了！

![important.png][] 〖重要〗： 小结：正、负整数、及0的二进制表示

小结一下：二进制数中，最高位可以被用来做符号位，0表示正号，1表示负号。但负数还需要由此换算成补码表示。至于0，用原码表示或用补码表示，都是一致的。

5.7.3. 无符号数vs.有符号数

前面提到一件事，说32位的最大整数，是32位上全是1的二进制数：

11111111 11111111 11111111 11111111

但后来我们又说，最高位的1可以用来表示是一个负数。这样，这个最大的数，一下子变成是“-1”（补码形式）了。

显然，如果最高位拿来当符号位的话，32位整数的最大数，应该是：

01111111 11111111 11111111 11111111

换 算成十进制数，是：2147483647，读作：“二十一亿四千七四八万又三千六百四十七”。哇，一下子缩水不少啊。不过，如果问的是： 32位的二进制，最多可以表达几个整数？则还是回答：可以表达4294967296个（例如：-2147483648～2147483647）。

![hint_icon.PNG][] 〖小提示〗：16位整数的表达范围

在上个世纪我学习C++时，还时个人电脑还多数是16位的，所以一个整数的表达范围，就是区区的：-32768～32767；真是一个令人捉襟见肘的可用范围。

考虑到现实生活中，有许多数量是不需要“负数”的，比如“天上星星有几颗？”，或者“房地产商的利润是多少？”，所以C++语言决定区分“有符号”和“无符号”两种数量类型。

比如，我们一直在用的“int”，它是有符号的，即区分正负的32位数。而“unsigned int”，就是无符号的，只能表达0和正整数。常见的有：

*  int 、 unsigned int ：整数，32位；（依据编译时机型变化）
 *  short int 、 unsigned short int ：短整数，16位；
 *  char、unsigned char ：字符，8位。unsigned char也常被称为“byte”，因为它最直接地表达计算机中一个字节的状态。
 *  long、unsigned long：长整型，但其实在32位机器上，它也只是32位。

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