第5章基础——5.8. 进制.2

清疚 2022-08-06 11:30 153阅读 0赞

5.８. 进制.2

5.8.1 十六进制

说 到十六进制，首先会问：总共只有10个阿拉伯数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，如何表达“逢16进1”的概念呢？方法是用英文字母（大小写 均可）：A、B、C、D、E、F表达10～15。所以，如果我告诉你：这是一个数：“17FCA0”，你肯定能猜到它是一个十六进制的数，不过如果我说的 是：“12390”，就不好区分是什么进制了。

在C++语言中，并不支持直接在代码中写一个2进制数（后面谈为什么），但倒是支持直接写一个十六进制的数，为了能和十进制数区分，C++规定十六进制数需要一个前缀：“0x”（数字0和小写字母x），比如：

int a = 0x17FCA0;

为 什么已经有十进制数了，还要再搞出个十六进制数呢？是不是现实生活中有这个需求，比如有什么东西的计数特别适合用“十六进制”呢？生活中确实不仅仅只有十 进制。比如“袜子”就很像二进制计数：没有袜子是0只袜子，1只袜子是1只袜子，2只袜子……逢二进一：成1双袜子，果然只需要0和1。

![hint_icon.PNG][] 〖小提示〗：生活中的各种进制

时间是60进制，角度也是60进制。说到“一打东西”时，用的是12进制。请各位课后可以想想还有什么进制。

其 实十六进制的存在，纯粹是为了二进制。二进制是肯定必定以及一定要存在的，因为机器用的就它。但二进制数实在太“占位置”了，虽然最直观，但读写都不方 便。如果用十进制呢——当然，编程序我们最常用还是十进制，仅当要需要表达和机器相关的数据，一些内存地址时，才会考虑二进制——十进制数和二进制转换比 较复杂，十六进制就不一样了，它和二进制的之间的转换非常简单快速。

一个数用二进制表达，实际就是由多个“2的N次方的数”相加。因为16是2的4次方，因此非常这两个进制之间的转换特别容易（想想10是2的几次方呢？）。

或 许还会问：还有很多数是2的整数次乘方啊，比如8是2的3次方，32是2的5次方，为什么偏偏是16呢？原来。一个字节（byte）是8位，但用“2的8 次方”作为进制，显然太大了。另外，我们还会有把一个字节分为“高字节（高4位）”和“低字节（低4位”的需要，所以，用16（2的4次方）来作为进制最 方便。说千道万，试一试会更清楚些：下面就让我们做一些二进制数与十六进制数的互换运算。

*  二进制数 -> 十六进制数

我们首将就以“半个字节（4位）”为例，看看4位的二进制数如何转换成十六进制。因为是刚开始，所以我们先保留转换到十进制的中间步骤，但慢慢的，我们要学会直接转换。

1000(2) => 8+0+0+0 = 8 => 0x8

1001(2) => 8+0+0+1 = 9 => 0x9

1010(2) => 8+0+2+0 = 10 => 0xA

1111(2) => 8+4+2+1 = 15 => 0xF

最后一个例子最说明问题：转换二进制数，请以4位为一组，然后从高位看到低位，各位的权值依次是：“8、4、2、1”。如果该位是1，就加上权值，否则不加，就可以得到一个十进制数，然后再快速换算成十六进制（要求你熟记A～F对应的十进制值）。

真正能体现十六进制的方便，在于位数更多时，比如当面对一个完整的一个字节时，比如（为了不引起眼花，我们每4位加一个空格）： 0101 1110。这个二进制数如何转换成十六进制呢？

第一种方法：转换成十进制数，再转换为十六进制：

先换算成十六进制：0101 1110 = 0 + (2的6次方) + 0 + (2的4次方) + (2的3次方) + (2的2次方) + (2的1次方:2) + 0 = 94。

还得把十进制的94换算成十六进制，如何算？我们还没教呢，这里先给出答案：94 = 0x5E。

![xczy.png][] 〖课堂作业〗：体验二进制数换算至10进制的“笨方法”

请拿起笔，立即用以上方法中步骤一，将以下二进制数换算成十进制数：

８位数：11011100、01110110、10010101、11011101；

16位数：1101101000110101

第二种方法：每4位直接换算成十六进制数，得到的就是结果：

高4位：0101(2) -> 4+1 -> 0x5

低4位：1110(2) -> 8+4+2 -> 0xE

结果就是：0x5E。

来一个难点的：16位的二进制数：1101101000110101，如何换算成十六进制呢？

首先，每4位拆成一组：1101 1010 0011 0101

1101 -> 13 -> 0xE

1010 -> 10 -> 0xA

0011 -> 0x3

0101 -> 0x6

结果就是：0xEA36。

*  十六进制数 -> 二进制数

十六进制数的换算成二进制数，也有两种方法，不过我们直接学习“聪明”的方法， “笨”的方法，留到后面“进制换算”时再提。

前面给出“8、4、2、1”口诀，现在只需要学会给出一个16以内的数，你能拼出它的二进制数即可，比如：

0xA -> 10 = 8 + 2 -> 1010(2)

0xD -> 13 = 8 + 4 + 1 -> 1101(2)

0xF -> 15 = 8 + 4 + 2 + 1 -> 1111(2)

再如：

0xC9D5 要换算成进二进制，类似：

0xC -> 12 = 8 + 4 -> 1100(2)

0x9 -> 8 + 1 -> 1001(2)

0xD -> 1101(2)

0x5 -> 4 + 1 -> 0101

结果是：11001001 11010101。请特别注意最后0x5的转换，不足4位，前面补0。

有关十六进制的内容，我们就一直讲它如何与二进制制互换？没错，因为在我们编程时，我们绝大多数要把十六进制就当成是二进制的一个马甲——二进制数穿上这马甲，图的就是让人类看起来舒服一些，仅此而已。

5.8.2. 八进制

八进制，二进制的另一个小尺寸的马甲。不过我们用得并不多。关于它，首先要说的就是：在C++程序中，当一个数字以0开始时，它就是八进制。这是一件不太直观的事情。

int a = 010; //对不起，这不是4，也不是10，它是8。

八进制，使用了0～7这8个阿拉伯数字。逢8则进1，所以看到八进制的“10”，你应该可以换算出它其实是一个十进制的8。八进制各位的权值，以8为基数。下面的算式演示了八进制的173如何换算成十进制的123。

173(8) -> 1×(8的2次方：64) + 7×(8的1次方：8) + 3 -> 123(10)

我 们再看看：一个二进数，如何换成八进制：“11101111” 是一个8位的二进制数。我们从低位往高位，每三位分一组（想想，为什么是每三位），得到：11、101、111，然后每仿效换成十进制（但3位的二进制 数，肯定不会超过7，所以，说是换算成八进制，或许更好理解）：

11(2)-> 3

101(2) -> 5

111(2) -> 7

结果是：357(8)。

八进制数换算成二进制数，应该是张口就来。请熟记八进制数，每个数的二进制值：

(表格 4 八进制数与二进制数速换表)

或许，你头脑里闪现出一个，八进制数与十六进制数互换的方法了，没有吗？

5.8.3. 进制换算

先说一下前小节的答案吧。八进制数与十六进制数互换的方法之一，就是用二进制做桥梁。

以下是我们已经学会的换算过程：

二进制 -> 八进制、十六进制

十六进制、八进制 -> 二进制

二进制、八进制、十六进制 -> 十进制

本节我们主要学习，十进制数，如何换算成其它进制，它们都有一个统一的方法，称为“连除法”。

*  十进制数 -> 二进制数

将十进制数除以2，得到商和余数，将商再除以2，直到商为0；然后将本过程中得到的余数（肯定不是0就是1），先得到的排后边，后得到的排前边，就是结果了。

例子：将6换算成二进制数：

表格 5 十进制数6换算成二进制过程表

将余数按得到的先后，倒序排列，得到“110”，正是6的二进制表达。

如果要应付考试，慢腾腾地画上面那张表，显然会急死人，所以通常是在草稿纸上如下图所示进行演算：

![图 5-22 连除法演算过程草图][5-22]

图 5-22 连除法演算过程草图

*  十进制数 -> 八进制数

方法类似换算成二进制数，只不过除数变成8。

例子：将289换算成八进制数：

表格 5-6 十进制转八进制示例

将余数按得到的先后，倒序排列，得到“441”，正是289的八进制表达。

*  十进制数 -> 十六进制数

方法类似换算成二进制数，只不过除数变成16。

例子：将872换算成十六进制数：

表格 5-7 十进制转十六进制示例

将余数按得到的先后，倒序排列，得到“0x36A”，正是874的十六进制表达。

5.8.4. 浮点数

在C++程序中，以“位”的形式访问一个整数（尤其是无符号整数），比较常见，比如“位移”操作（将一个二进制数中的每一位，同时向左向右移动若干位）、或者按位“与”、“或”、“异或”等。但我们很少对一个“非整数”进行此类操作。

“ 浮点数/floating point numbers”是计算机用来“近似”表达实数的一种方法。中学时学习的“科学计数法”，就有点类似。另外，并不能将“浮点数”和“N进制”二者可以是表 达同一个数的两上不同切入点，换句话说，存在十进制的浮点数，也存在二进制的浮点数。要不，我们就来看一个十进制数的浮点表示法：

9.57 × （10的2次方）

这个数是什么？其实它就是实数“957.0”的浮点表示法。

一个规范的“浮点数”表达方式，需要满足如下特征.

表达式：d.dd...d × (B 的 e 次方)。

其中，d.dd...d 称为“尾数”（更通俗的说法是：“有效数字”），B 称为“基数”，e称为“指数”。

对于不同进制，则首先表现在B的值，B是2，就是二进制，是10，就是十进制。当然，“尾数”中每一个d的取值范围，也要随进制变化而变，当为十进制数，d就是0～9，为二进制数时，d就只能是0～1。

再者，“尾数”中的整数部分（即小数点的左部），不能为0。因此，类似下面的数，它们都不是规范的浮点数：

10.123 × (10的2次方)

2.0101 × (2的3次方)

0.0134 × (10的-1次方)

![xczy.png][] 〖课堂作业〗：浮点数的规范表达

请指出三个浮点数表达式的错误，并以正确方式写出（数值大小必须保持一致）。

如果明确使用二进制表达的话，则是：d.dd...d × (2 的 e 次方)。其中每一位d都只能是0或1，同样，整数部分不能是0。

第一个规范的浮点数，都可以通过以下表达式计算得到：

±(d0 + d1×(B的-1次方) + d2×(B的-2次方) + d3×(B的-3次方) + ... + dn×（B的-n次方))×(B的e次方)

别被这个长长和式子吓倒！它不过是让我们回想起小学时光而已。我们举一个例子，假设有一个十进制的浮点数：3.456×(10的3次方)

我用“0.1”表示“10的-1次方”，则有：

则有：3.456 = 3 + 4×0.1 + 5×0.01 + 6×0.001

所以：3.456×(10的3次方) = (3 + 4×0.1 + 5×0.01 + 6×0.001)×(10的3次方)。

没错，小学时，我们都会念：“小数点之后第一位，表示0.1，第二位，表示0.01，第三位，表示0.001……”那二进制呢？假设也用最直观的方式表示一个带小数的二进制：

1111.1111

2的0次方（=0），1次方（=1），2次方（=4），3次方（=8）……

小数点往右，则是——

2的-1次方（=0.5），-2次方（=0.25），-3次方（0.125）、-4次方（=0.0625）……

![xczy.png][] 〖课堂作业〗：0.1 如何表达？

不需要写出“尾数”、“指数”，请以前述内容为例，请尝试写出十进制数0.1的小数部分，如何二进制表达：0.000\_\_\_\_\_\_。

显然，小数点后面三位，必须都为0，因为它们权值，都比0.1大，然后大概可以这样拼凑：

首先我们让2的-4次方，加上2的-5次方：

0.0625 + 0.03125 = 0.09375。

很 接近了，但后面不能再加上2的-6次方（0.015625），加上就超出0.1了，加2的-7次方（0.0078125）也不行……加上2的-8次方 （0.00390625），得到0.09765625，越发逼近，但它终究还不是0.1。没关系，这样一直拼凑下去，或许就能刚好凑出一个0.1。如果一 直凑不出来呢？也没关系嘛，让我们用上高中的数学知识，假如允许我们这样无限地——注意，是无限地——凑下去，那么什么数都可以逼近逼近，直到在数学被认 为相等。

![hint_icon.PNG][] 〖小提示〗：0.9999999…… 等于1吗？

高中在学习“极限”时，数学老师一定告诉过你了，当0.9999……后面有无穷尽个9时，那么0.9999999……就等于1。

可惜，“极限”存在于数学世界中，在现实中，计算机的内存容量不仅不是“无穷尽”的，而且是宝贵的，所以，再说一次：“浮点数是计算机用来‘近似’表达实数的一种方法”。如果以四个字节来存储，那么总共才32位。

当 然，似乎也并不是所有数字，都无法精确地用浮点表达，比如，0.5，那就是2的-1次方，非常精确。但是，这也只是说，你直接在代码里，写一个0.5时， 它是精确的，如果它是通过一个“算式”计算得到，而该算式中又存在一些个无法精确表达的浮点数，比如：0.01×10.0÷0.2，谁也不好保证，它能在 计算机中得到一个精确的0.5。这就是比较浮点数时，所需要注意的精度问题，请看下面代码：

if
     (
    0.01f
     *
     10.0f
     /
     0.2f
     ==
     0.5f
    ) { 
    
    
            cout <<
     "yes!"
     <<
     endl; }
     else
     { 
    
    
            cout <<
     "no."
     <<
     endl; }

C++ 程序用\*代表乘号，/代表除号。而“0.01f”末尾的f，表示这是一个单精度的浮点数。上面程序运行时，将输出“no.”。也就是说，此时 “0.01×10.0÷0.2”并不等于0.5。这种问题如何解决呢？我们并不急于在此处提出答案，重要的是，你必须记住这一问题，并理解它的原因。

![hint_icon.PNG][] 〖小提示〗：计算机不可信了吗？

曾经有学生问我，我一直以为，计算机计算比人类精确多 了，可是今天看起来计算机的计算也很不可信啊？连小学生都会的题，它也能算错？放心吧，尽管浮点数不精确，但它也是一种“非常精确的不精确”，问题完全可 溯可查可解决。另外，我看到一些不知其所以然的程序员，认为写一个这样的判断： “if (0.1 == 0.1) ...”，也要担心个半天，放心吧，如果这样的判断出错，那计算机真的可以扔了。

计算机通常提供两种精度的浮点数表达方法，其中一种不太精确，另一种则更不精确——噢，这样说有点消极，重来：“其中一种不太精确，另一种则比较精确。”。不太精确的，就是“单精度浮点数”，比较精确的，就是“双精度浮点数”。

*   *  单精度浮点数

C++用float类型表示单精度浮点数。它占用4个字节，合32位。其中符号、指数、尾数各自占用的位域如下图所示：

![图 5-23 单精度浮点数位域][5-23]

图 5-23 单精度浮点数位域

如果代码中写一个字面常量的浮点数，需要在数字尾部，加上字母f，比如：0.1f,或10f，默认情况下，C++将字面上的一个带小数字，当成双精度浮点数。

*   *  双精度浮点数

C++用double类型表示双精度浮点数。它占用8个字节，合64位。其中符号、指数、尾数各自占用的位域如下图所示：

![图 5-24 双精度浮点数位域][5-24]

图 5-24 双精度浮点数位域

当在代码中写一个数字，如果不带小数，则默认是整型数，比如：10，如果加上小数点，比如：10.0，并且没有尾随字母f，则C++将之当成double类型。

以上并不是有关浮点数表达的全部知识，要表达一个浮点数，还需要很多约定。考虑到编写C++程序时，我们只会（也只允许）对整数类型（包括int, long, char等）的数据进行按位操作，浮点数的基础知识，我们暂时只讲到这里。

![xczy.png][] 〖课堂作业〗：浮点数精度练习

请将前述有关“0.01×10.0÷0.2”判断是否等于0.5代码，写成一个控制台测试项目。并且分别针对float类型和double类型进行测试，看看结果是否有区别。

[hint_icon.PNG]: http://www.d2school.com/bhcpp_book/images/common/hint_icon.PNG
[xczy.png]: http://www.d2school.com/bhcpp_book/images/common/xczy.png
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[5-24]: http://www.d2school.com/bhcpp_book/images/5_8/3.jpg