Toeplitz 矩阵对角化

一时失言乱红尘 2022-08-03 18:28 278阅读 0赞

Toeplitz 矩阵是一种比较特殊的矩阵：其中任何一条对角线的元素取相同的值，即

*A**n*=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢*a*0*a*1*a*2⋮*a**n**a*−1*a*0*a*1⋮*a**n*−1*a*−2*a*−1*a*0⋱⋯⋯⋯⋱⋱*a*1*a*−*n**a*−*n*\+1⋮*a*−1*a*0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

这里不再展开证明。  
Toeplitz 矩阵可以被Fourier矩阵对角化，即有

*A**n*=*F**H**n*Λ*F**n*

*F* 的元素为

\[*F**n*\]*i**j*=1*n*√*e**j*2*π**i**k*/*n*,0<=*i*,*j*<=*n*−1

Λ 是n阶对角矩阵。

#### 生成一个循环矩阵 ####

T = toeplitz([2 1 0 0 1]);

*A**n*=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢2100112100012100012110012⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

#### 生成Fourier矩阵 ####

F = dftmtx(5)

*F*=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢1.00001.00001.00001.00001.00001.00000.3090−0.9511*i*−0.8090−0.5878*i*−0.8090\+0.5878*i*0.3090\+0.9511*i*1.0000−0.8090−0.5878*i*0.3090\+0.9511*i*0.3090−0.9511*i*−0.8090\+0.5878*i*1.0000−0.8090\+0.5878*i*0.3090−0.9511*i*0.3090\+0.9511*i*−0.8090−0.5878*i*1.00000.3090\+0.9511*i*−0.8090\+0.5878*i*−0.8090−0.5878*i*0.3090−0.9511*i*⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

#### 对角化 ####

Λ=*F*∗*T*∗*c**o**n**j*(*F*)/5;

Λ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢4.000000000−0.0000*i*2.6180\+0.0000*i*−0.0000\+0.0000*i*−0.0000−0.0000*i*0.0000−0.0000*i*00.00000.38200.0000−0.00000−0.00000.00000.38200.00000\+0.0000*i*0.0000\+0.0000*i*−0.0000\+0.0000*i*−0.0000−0.0000*i*2.6180−0.0000*i*⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

对角线上的元素便是 `Toeplitz` 矩阵的特征值。  
其实也可以用矩阵  *A**n* 的第一列变换得到

fft([2 1 0 0 1])

*a**n**s*=\[4.00002.61800.38200.38202.6180\]

又或者这样得到

F*[2 1 0 0 1]'

*a**n**s*=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢4.00002.61800.38200.38202.6180⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

## 另一个角度去理解频率域 ##

空间域，两个序列的*x*,*y*卷积，等于其中一个序列排成的Toeplitz矩阵乘以另一个序列，即Toep(*x*)⋅*y*。  
空间域卷积的结果，等于两个序列各自的傅里叶变换*X*，*Y*之积，即

Toep(*x*)⋅*y*=*F*−1⋅Diag(*F*⋅*x*)⋅*F*⋅*y*

Toep(*x*)=*F*−1⋅Diag(*X*)⋅*F*

*F*⋅Toep(*x*)⋅*F*−1=Diag(*X*)

这里用  Diag(*X*) 表示以向量  *X* 的元素为对角元的对角矩阵，  Toep(*x*) 表示用向量x的元素排成的Toeplitz矩阵。即Fourier矩阵将Toeplitz矩阵对角化了。