弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）

￡神魔★判官ぃ 2022-07-15 10:24 323阅读 0赞

### 弗罗贝尼乌斯范数 ###

### 对 *p* = 2，这称为弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）或[希尔伯特-施密特范数][-]（ Hilbert–Schmidt norm），不过后面这个术语通常只用于[希尔伯特空间][Link 1]。这个范数可用不同的方式定义：A表示m\*n的矩阵 ###

![\\|A\\|\_F=\\sqrt\{\\sum\_\{i=1\}^m\\sum\_\{j=1\}^n |a\_\{ij\}|^2\}=\\sqrt\{\\operatorname\{trace\}(A^\{\{\}^\*\} A)\}=\\sqrt\{\\sum\_\{i=1\}^\{\\min\\\{m,\\,n\\\}\} \\sigma\_\{i\}^2\}][A_F_sqrt_sum_i_1_m_sum_j_1_n _a_ij_2_sqrt_operatorname_trace_A_ A_sqrt_sum_i_1_min_m_n_ _sigma_i_2]

这里 *A*\* 表示 *A* 的[共轭转置][Link 2]，*σi* 是 *A* 的[奇异值][Link 3]，并使用了[迹函数][Link 4]。弗罗贝尼乌斯范数与 *K**n* 上欧几里得范数非常类似，来自所有矩阵的空间上一个[内积][Link 5]。

弗罗贝尼乌斯范范数是服从乘法的且在[数值线性代数][Link 6]中非常有用。这个范数通常比诱导范数容易计算。

[-]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9-%E6%96%BD%E5%AF%86%E7%89%B9%E7%AE%97%E5%AD%90
[Link 1]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%A9%BA%E9%97%B4
[A_F_sqrt_sum_i_1_m_sum_j_1_n _a_ij_2_sqrt_operatorname_trace_A_ A_sqrt_sum_i_1_min_m_n_ _sigma_i_2]: /images/20220715/a6ffa3b5b9e048ea8f5422ff06dec7b6.png
[Link 2]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E8%BD%AD%E8%BD%AC%E7%BD%AE
[Link 3]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A5%87%E5%BC%82%E5%80%BC%E5%88%86%E8%A7%A3
[Link 4]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%B9
[Link 5]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%A7%AF
[Link 6]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%80%BC%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0