最长上升子序列——动态规划

港控/mmm° 2022-06-17 03:48 158阅读 0赞

Think:  
1递推思想反向推演  
递推关系1：  
b\[i\] = 1//i == 1 || Vi, max(b\[i\], b\[j+1\]) = 0;  
b\[i\] = max(b\[i\], b\[j\]+1)//j:(i-1)->1, a\[j\] < a\[i\]  
临界条件：b\[1\] = 1;  
递推关系2：  
b\[i\] = Maxb\[j\] + 1//j < i && a\[j\] < a\[i\]

[sdut题目链接][sdut]

最长上升子序列  
Time Limit: 3000MS Memory Limit: 65536KB

Problem Description  
一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1<= i1 < i2 < … < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8)。  
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

Input  
输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

Output  
最长上升子序列的长度。

Example Input  
7  
1 7 3 5 9 4 8

Example Output  
4

Hint

Author  
Northeastern Europe 2002

以下为Wrong Answer代码——  
错误原因：递推关系边界关系错误

#include <bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    int main()
    {
        int n, i, j, a[1004], b[1004], mav;//数组b记录以当前元素作为子序列最后结点的最大长度
        scanf("%d", &n);
        for(i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        memset(b, 0, sizeof(b));
        b[1] = 1;
        for(i = 2; i <= n; i++)
        {
            for(j = i-1; j >= 1; j--)
            {
                if(a[j] < a[i])
                {
                    b[i] = max(b[i], b[j]+1);
                }
            }
        }
        mav = b[1];
        for(i = 2; i <= n; i++)
        {
            if(mav < b[i])
                mav = b[i];
        }
        printf("%d\n", mav);
        return 0;
    }
    
    /***************************************************
    User name: 
    Result: Wrong Answer
    Take time: 0ms
    Take Memory: 156KB
    Submit time: 2017-04-15 19:29:16
    ****************************************************/

以下为Accepted代码——错误修改之后AC

#include <bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    int main()
    {
        int n, i, j, a[1004], b[1004], mav;//数组b记录以当前元素作为子序列最后结点的最大长度
        scanf("%d", &n);
        for(i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        memset(b, 0, sizeof(b));
        b[1] = 1;
        for(i = 2; i <= n; i++)
        {
            int flag = 0;
            for(j = i-1; j >= 1; j--)
            {
                if(a[j] < a[i])
                {
                    flag = 1;
                    b[i] = max(b[i], b[j]+1);
                }
            }
            if(flag == 0)
                b[i] = 1;
        }
        mav = b[1];
        for(i = 2; i <= n; i++)
        {
            if(mav < b[i])
                mav = b[i];
        }
        printf("%d\n", mav);
        return 0;
    }
    
    **************************************************
    User name: 
    Result: Accepted
    Take time: 4ms
    Take Memory: 156KB
    Submit time: 2017-04-15 19:35:34
    ****************************************************/

以下为Accepted代码——判断边界关系思路2

#include <bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    int main()
    {
        int n, i, j, a[1004], b[1004], mav;//数组b记录以当前元素作为子序列最后结点的最大长度
        scanf("%d", &n);
        for(i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        memset(b, 0, sizeof(b));
        b[1] = 1;
        for(i = 2; i <= n; i++)
        {
            int m = 0;
            for(j = 1; j < i; j++)
            {
                if(a[j] < a[i] && m < b[j])
                    m = b[j];
            }
            b[i] = m + 1;
        }
        mav = b[1];
        for(i = 2; i <= n; i++)
        {
            if(mav < b[i])
                mav = b[i];
        }
        printf("%d\n", mav);
        return 0;
    }
    
    /***************************************************
    User name: jk160630徐如意
    Result: Accepted
    Take time: 4ms
    Take Memory: 156KB
    Submit time: 2017-04-15 19:39:08
    ****************************************************/

[sdut]: http://acm.sdut.edu.cn/onlinejudge2/index.php/Home/Contest/contestproblem/cid/2028/pid/1299