【数据结构-堆排序】堆排序 Heap Sort

浅浅的花香味﹌ 2022-06-16 04:41 192阅读 0赞

**　　堆排序是一种选择排序，其时间复杂度为O(nlogn)。**

**堆的定义**

n个元素的序列\{k1，k2，…,kn\}当且仅当满足下列关系之一时，称之为堆。

情形1：ki <= k2i 且ki <= k2i+1 （**最小化堆**或**小顶堆**）

情形2：ki >= k2i 且ki >= k2i+1 （**最大化堆**或**大顶堆**）

其中i=1,2,…,n/2向下取整;

![2012113021303715.png][]

若将和此序列对应的一维数组（即以一维数组作此序列的存储结构）看成是一个**完全二叉树**，则堆的含义表明，完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于（或不小于）其左、右孩子结点的值。

由此，若序列\{k1，k2，…,kn\}是堆，**则堆顶元素（或完全二叉树的根）必为序列中n个元素的最小值（或最大值）。**

例如，下列两个序列为堆，对应的完全二叉树如图：

![2012113021315094.png][]

若在输出堆顶的最小值之后，使得剩余n-1个元素的序列重又建成一个堆，则得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列，这个过程称之为**堆排序**。

堆排序（Heap Sort）只需要一个记录元素大小的辅助空间（供交换用），每个待排序的记录仅占有一个存储空间。

## 堆的存储 ##

一般用数组来表示堆，若根结点存在序号0处， i结点的父结点下标就为(i-1)/2。i结点的左右子结点下标分别为2\*i+1和2\*i+2。

（注：如果根结点是从1开始，则左右孩子结点分别是2i和2i+1。）

如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

如最大化堆如下：

![2012113021383415.png][]

左图为其存储结构，右图为其逻辑结构。

## 堆排序的实现 ##

实现堆排序需要解决两个问题：

1.如何由一个无序序列建成一个堆？

2.如何在输出堆顶元素之后，调整剩余元素成为一个新的堆？

先考虑第二个问题，一般在输出堆顶元素之后，视为将这个元素排除，然后用表中最后一个元素填补它的位置，自上向下进行调整：首先将堆顶元素和它的左右子树的根结点进行比较，把最小的元素交换到堆顶；然后顺着被破坏的路径一路调整下去，直至叶子结点，就得到新的堆。

我们称这个自堆顶至叶子的调整过程为“筛选”。

从无序序列建立堆的过程就是一个反复“筛选”的过程。

### 构造初始堆 ###

初始化堆的时候是对所有的非叶子结点进行筛选。

最后一个非终端元素的下标是\[n/2\]向下取整，所以筛选只需要从第\[n/2\]向下取整个元素开始，从后往前进行调整。

比如，给定一个数组，首先根据该数组元素构造一个完全二叉树。

然后从最后一个非叶子结点开始，每次都是从父结点、左孩子、右孩子中进行比较交换，交换可能会引起孩子结点不满足堆的性质，所以每次交换之后需要重新对被交换的孩子结点进行调整。

### 进行堆排序 ###

有了初始堆之后就可以进行排序了。

堆排序是一种选择排序。建立的初始堆为初始的无序区。

排序开始，首先输出堆顶元素（因为它是最值），将堆顶元素和最后一个元素交换，这样，第n个位置（即最后一个位置）作为有序区，前n-1个位置仍是无序区，对无序区进行调整，得到堆之后，再交换堆顶和最后一个元素，这样有序区长度变为2。。。

不断进行此操作，将剩下的元素重新调整为堆，然后输出堆顶元素到有序区。每次交换都导致无序区-1，有序区+1。不断重复此过程直到有序区长度增长为n-1，排序完成。

### 堆排序实例 ###

首先，建立初始的堆结构如图：

![2012113021435914.png][]

然后，交换堆顶的元素和最后一个元素，此时最后一个位置作为有序区（有序区显示为黄色），然后进行其他无序区的堆调整，重新得到大顶堆后，交换堆顶和倒数第二个元素的位置……

![2012113021455372.png][]

重复此过程：

![2012113021474819.png][]

最后，有序区扩展完成即排序完成：

![2012113021482583.png][]

由排序过程可见，**若想得到升序，则建立大顶堆，若想得到降序，则建立小顶堆**。

### 代码 ###

假设排列的元素为整型，且元素的关键字为其本身。

因为要进行升序排列，所以用大顶堆。

根结点从0开始，所以i结点的左右孩子结点的下标为2i+1和2i+2。

![ExpandedBlockStart.gif][]

![复制代码][copycode.gif]

//堆筛选函数
    //已知H[start~end]中除了start之外均满足堆的定义
    //本函数进行调整，使H[start~end]成为一个大顶堆
    typedef int ElemType;
    void HeapAdjust(ElemType H[], int start, int end)
    {
    
        ElemType temp = H[start];
    
        for(int i = 2*start + 1; i<=end; i*=2)
        {
            //因为假设根结点的序号为0而不是1，所以i结点左孩子和右孩子分别为2i+1和2i+2
            if(i<end && H[i]<H[i+1])//左右孩子的比较
            {
                ++i;//i为较大的记录的下标
            }
    
            if(temp > H[i])//左右孩子中获胜者与父亲的比较
            {
                break;
            }
    
            //将孩子结点上位，则以孩子结点的位置进行下一轮的筛选
            H[start]= H[i];
            start = i;
            
        }
    
        H[start]= temp; //插入最开始不和谐的元素
    }
    
    void HeapSort(ElemType A[], int n)
    {
        //先建立大顶堆
        for(int i=n/2; i>=0; --i)
        {
            HeapAdjust(A,i,n);
        }
        //进行排序
        for(int i=n-1; i>0; --i)
        {
            //最后一个元素和第一元素进行交换
            ElemType temp=A[i];
            A[i] = A[0];
            A[0] = temp;
    
            //然后将剩下的无序元素继续调整为大顶堆
            HeapAdjust(A,0,i-1);
        }
    
    }

![复制代码][copycode.gif]

# #

## 堆排序分析 ##

堆排序方法对记录数较少的文件并不值得提倡，但对n较大的文件还是很有效的。因为其运行时间主要耗费在建初始堆和调整建新堆时进行的反复“筛选”上。

堆排序在最坏的情况下，其时间复杂度也为O(nlogn)。相对于快速排序来说，这是堆排序的最大优点。此外，堆排序仅需一个记录大小的供交换用的辅助存储空间。

参考资料：

严蔚敏《数据结构》

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[2012113021383415.png]: /images/20220616/1754fb77152c475ba0d13bf377a529c0.png
[2012113021435914.png]: /images/20220616/734887ce2b4641a4b4f5e9b60a5c464f.png
[2012113021455372.png]: /images/20220616/267ee7c0d5b247aa9a0a8afac56a6f1d.png
[2012113021474819.png]: /images/20220616/9c11cb8ecb804a36903766753b2c9b75.png
[2012113021482583.png]: /images/20220616/4bef17cd4cbf40abb5855c7dd3fe90ac.png
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[copycode.gif]: /images/20220616/b32a24605a8b49248481fc8cc3f21f6b.png