堆与堆排序

1. 堆排序

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。首先简单了解下堆结构。

2. 堆

　　堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：
　　这里写图片描述
　　同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子

该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：
大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]
小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]
ok，了解了这些定义。接下来，我们来看看堆排序的基本思想及基本步骤：

堆排序基本思想及步骤

堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

步骤一

构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。
假设给定无序序列结构如下：
这里写图片描述
此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。

找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。
这里写图片描述
这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。

此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

步骤二

将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。
将堆顶元素9和末尾元素4进行交换。
这里写图片描述
重新调整结构，使其继续满足堆定义。

再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8。

后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序。

小结

再简单总结下堆排序的基本思路：
　　a.将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;
　　b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素”沉”到数组末端;
　　c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。

代码实现

代码共有两个类。一个是创建代码时自动生成的与文件名相同的类，另一个是自定义的HeapSort类。主函数就在其中的第一个类中。

HeapSort类

包含sort()、exchange()、buildMaxHeap()和maxHeapify()四种方法。

class HeapSort {
    private int[] array;
    private int heapsize;
    public HeapSort(int[] array) {
        this.array = array;
        this.heapsize = array.length;
    }
    void sort() {
        buildMaxHeap();
        for (int i = array.length - 1; i > 0; i--) {
            exchange(0, i);
            heapsize--;
            maxHeapify(0);
        }
    }
    void exchange(int a, int b) {
        int temp = array[a];
        array[a] = array[b];
        array[b] = temp;
    }
    void buildMaxHeap() {
        heapsize = array.length;
        for(int i = heapsize/2 - 1 ; i>=0 ;i--)
            maxHeapify(i);
    }
    void maxHeapify(int i) {
        int largest;
        int l = 2*i+1;
        int r = 2*i+2;
        if ((l < heapsize) && (array[l] > array[i]))
            largest = l;
        else largest = i;
        if ((r < heapsize) && (array[r] > array[largest]))
            largest = r;
        if (largest != i) {
            exchange(i ,largest);
            maxHeapify(largest);
        }
    }
}

主函数与测试用例

public static void main(String[] args) {
        int[] data = {
   9,8,7,6,5,4,3,2,1};
        HeapSort obj = new HeapSort(data);
        obj.sort();
        for (int i : data)
            System.out.println(i);
    }

运行结果

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

总结

堆排序是一种选择排序，整体主要由构建初始堆+交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。其中构建初始堆经推导复杂度为O(n)，在交换并重建堆的过程中，需交换n-1次，而重建堆的过程中，根据完全二叉树的性质，[log2(n-1),log2(n-2)…1]逐步递减，近似为nlogn。所以堆排序时间复杂度一般认为就是O(nlogn)级。