乘积最大（动态规划经典题）

本是古典何须时尚 2022-06-11 08:16 203阅读 0赞

描述

今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：312，当N=3，K=1时会有以下两种分法：

1) 3\*12=36

2) 31\*2=62

这时，符合题目要求的结果是：31\*2=62

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入

程序的输入共有两行：  
第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）  
第二行是一个长度为N的数字串。

输出

输出所求得的最大乘积（一个自然数）。（保证最终答案不超过int范围）

样例输入

4 2
    1231

样例输出

来源

NOIP2000复赛 普及组 第三题

`1. 设状态：f[i][k];//在数字串的前i位里面插入k个乘号的最大乘积 2. 初始状态：f[i][0]=a[1][i];//不插入乘号时的结果等于a[1][i];a[j][i]表示从第j位到第i位组成的自然数 最终状态：f[n][k1]; 3. 状态转移方程：f[i][k]=max(f[i][k],f[j][k-1]*a[j+1][i]);//j表示最后一个乘号的插入位置`

/*
    4 2
    1231
    */ 
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    using namespace std;
    long long f[11][11];//f[i][k]表示前i位里面插入k个乘号后所得的最大乘积
    long long a[11][11];//a[j][i]表示第j位到第i位组成的自然数 
    int main()
    {
    	int n,k1;//数字串长度为n，乘积个数为k1个,s为数字串 
    	long long s;
    	cin>>n>>k1;
    	scanf("%lld",&s);
    	for(int i=n;i>=1;i--)
    	{
    		a[i][i]=s%10;//a[4][4]=1,a[3][3]=3;a[2][2]=2;a[1][1]=1
    		s=s/10;
    	}
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    	{
    		for(int j=i-1;j>=1;j--)
    		{
    			a[j][i]=a[j][i-1]*10+a[i][i];//a[1][3]=123;a[2][4]=231
    		}
    	}
    	for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=a[1][i];//初始状态，前i位插入0个乘号，其值等于第1到第i位组成的自然数
    	for(int k=1;k<=k1;k++)//乘号个数
    	{
    		for(int i=k+1;i<=n;i++)//i为数字串长度，数字串长度最小也比乘号个数k多一个
    		{
    			for(int j=k;j<i;j++)//j表示最后一个乘号插入的位置(k<=j<i) 
    			{
    				f[i][k]=max(f[i][k],f[j][k-1]*a[j+1][i]);
    			}
    		} 
    	} 
    	printf("%lld\n",f[n][k1]);//前n位数字串中插入k1个乘号所得的最大乘积 
    	return 0;
    }