方格取数（动态规划经典题）

墨蓝 2022-06-10 05:18 195阅读 0赞

描述

设有N\*N的方格图(N<=10),我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。如下图所示（见样例）：< p="">

![1444824807.png][]

某人从图的左上角的A 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。 此人从A点到B 点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入

输入的第一行为一个整数N（表示N\*N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。

输出

只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。

样例输入

8
    2 3 13
    2 6 6
    3 5 7
    4 4 14
    5 2 21 
    5 6 4
    6 3 15
    7 2 14
    0 0 0

样例输出

来源

NOIP2000复赛 提高组 第四题

![20170810210823678][]

1. 设状态：f\[i\]\[j\]\[h\]\[k\];//表示两条路同时走，第一条路径走到(i,j)时，第二条走到（h,k）时的最大数字和；

2. 初始状态：f\[0\]\[0\]\[0\]\[0\]=0;

最终状态：f\[n\]\[n\]\[n\]\[n\];

3. 状态转移方程：当i==h&&j==k时，f\[i\]\[j\]\[h\]\[k\]=max\{f\[i-1\]\[j\]\[h-1\]\[k\],f\[i\]\[j-1\]\[h\]\[k-1\],f\[i-1\]\[j\]\[h\]\[k-1\],f\[i\]\[j-1\]\[h-1\]\[k\])+a\[i\]\[j\];//取上上，左左，上左，左上四个方向的最大值加上当前的值；

当i!=h&&j!=k时，f\[i\]\[j\]\[h\]\[k\]=max\{f\[i-1\]\[j\]\[h-1\]\[k\],f\[i\]\[j-1\]\[h\]\[k-1\],f\[i-1\]\[j\]\[h\]\[k-1\],f\[i\]\[j-1\]\[h-1\]\[k\])+a\[i\]\[j\]+a\[h\]\[k\];//取上上，左左，上左，左上四个方向的最大值加上两条路径当前的值；

/*
    8
    2 3 13
    2 6 6
    3 5 7
    4 4 14
    5 2 21
    5 6 4
    6 3 15
    7 2 14
    0 0 0
    */
    #include<iostream>
    using namespace std;
    int f[51][51][51][51];//f[i][j][h][k]表示第一条路径走到第（i，j）点，第二条路径走到第(h,k)点时最大数字和
    int a[51][51];//存储方格中的数，例如2 3 13,表示a[2][3]=13; 
    int n,i,j,h,k,x,y,z;
    int main()
    {
    	cin>>n;
    	while(cin>>x>>y>>z)//输入数据 
    	{
    		if(x==0&&y==0&&z==0) break;
    		a[x][y]=z;
    	} 
    	for(i=1;i<=n;i++)
    	{
    		for(j=1;j<=n;j++)
    		{
    			for(h=1;h<=n;h++)
    			{
    				for(k=1;k<=n;k++)
    				{
    					int tmp1=max(f[i-1][j][h-1][k],f[i][j-1][h][k-1]);//上上、左左两个方向
    					int tmp2=max(f[i][j-1][h-1][k],f[i-1][j][h][k-1]);//左上、上左两个方向 
    					f[i][j][h][k]=max(tmp1,tmp2)+a[i][j];
    					if(i!=h&&j!=k) f[i][j][h][k]+=a[h][k];
    				}
    			}
    		}
    	}
    	cout<<f[n][n][n][n]<<endl;
    	return 0;
    }

[1444824807.png]: /images/20220610/83826015e79948879ec829f9150b2bec.png
[20170810210823678]: /images/20220610/a99a76b10068479f80ef9c2eeb05dff6.png