kmp

曾经终败给现在 2022-06-09 07:51 155阅读 0赞

#include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <string>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    int next[1000001];
    void get_next(string s)
    {
        int k=-1;
        int j=0;
        next[0]=-1;
        while(j<s.length()-1)
        {
            if(k==-1||s[j]==s[k])
            {
                j++;
                k++;
                next[j]=k;
            }
            else
                k=next[k];
        }
    }
    int KMP(string s1,string s2)
    {
        int i=0,j=0;
        int len1=s1.length();
        int len2=s2.length();
        while(i<len1&&j<len2)//一定不要直接写成i<s1.length()&&j<s2.length()这样,这样是不对的
        {
            if(j==-1||s1[i]==s2[j])
            {
                i++;
                j++;
            }
            else
            {
                j=next[j];
            }
        }
        if(j==s2.length())
            return i-j;
        return -1;
    }
    int main()
    {
        int t;
        string str1,str2;
        scanf("%d",&t);
        while(t--)
        {
            cin>>str1>>str2;
            get_next(str2);
            int index=KMP(str1,str2);
            printf("%d\n",index);
        }
        return 0;
    }

什么是KMP算法：

KMP是三位大牛：D.E.Knuth、J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现的。其中第一位就是《计算机程序设计艺术》的作者！！

KMP算法要解决的问题就是在字符串（也叫主串）中的模式（pattern）定位问题。说简单点就是我们平时常说的关键字搜索。模式串就是关键字（接下来称它为P），如果它在一个主串（接下来称为T）中出现，就返回它的具体位置，否则返回-1（常用手段）。

![17083616-9b40c67ea22e449f813fb38fcfd3a4fb.png][]

首先，对于这个问题有一个很单纯的想法：从左到右一个个匹配，如果这个过程中有某个字符不匹配，就跳回去，将模式串向右移动一位。这有什么难的？

我们可以这样初始化：

![17083647-9dfd3e4a709c40dd98d9817927651960.png][]

之后我们只需要比较i指针指向的字符和j指针指向的字符是否一致。如果一致就都向后移动，如果不一致，如下图：

![17083659-e6718026bf4f48a0be2d5d6076be4c55.png][]

A和E不相等，那就把i指针移回第1位（假设下标从0开始），j移动到模式串的第0位，然后又重新开始这个步骤：

![17083714-7de56d2c1cc84dbfa376cf410ba6f053.png][]

基于这个想法我们可以得到以下的程序：

![复制代码][copycode.gif]

1 /**
     2 
     3  * 暴力破解法
     4 
     5  * @param ts 主串
     6 
     7  * @param ps 模式串
     8 
     9  * @return 如果找到，返回在主串中第一个字符出现的下标，否则为-1
    10 
    11  */
    12 
    13 public static int bf(String ts, String ps) {
    14 
    15     char[] t = ts.toCharArray();
    16 
    17     char[] p = ps.toCharArray();
    18 
    19     int i = 0; // 主串的位置
    20 
    21     int j = 0; // 模式串的位置
    22 
    23     while (i < t.length && j < p.length) {
    24 
    25        if (t[i] == p[j]) { // 当两个字符相同，就比较下一个
    26 
    27            i++;
    28 
    29            j++;
    30 
    31        } else {
    32 
    33            i = i - j + 1; // 一旦不匹配，i后退
    34 
    35            j = 0; // j归0
    36 
    37        }
    38 
    39     }
    40 
    41     if (j == p.length) {
    42 
    43        return i - j;
    44 
    45     } else {
    46 
    47        return -1;
    48 
    49     }
    50 
    51 }

![复制代码][copycode.gif]

上面的程序是没有问题的，但不够好！（想起我高中时候数字老师的一句话：我不能说你错，只能说你不对~~~）

如果是人为来寻找的话，肯定不会再把i移动回第1位，因为主串匹配失败的位置前面除了第一个A之外再也没有A了，我们为什么能知道主串前面只有一个A？因为我们已经知道前面三个字符都是匹配的！（这很重要）。移动过去肯定也是不匹配的！有一个想法，i可以不动，我们只需要移动j即可，如下图：

![17083828-cdb207f5460f4645982171e58571a741.png][]

上面的这种情况还是比较理想的情况，我们最多也就多比较了再次。但假如是在主串“SSSSSSSSSSSSSA”中查找“SSSSB”，比较到最后一个才知道不匹配，然后i回溯，这个的效率是显然是最低的。

大牛们是无法忍受“暴力破解”这种低效的手段的，于是他们三个研究出了KMP算法。其思想就如同我们上边所看到的一样：“利用已经部分匹配这个有效信息，保持i指针不回溯，通过修改j指针，让模式串尽量地移动到有效的位置。”

所以，整个KMP的重点就在于当某一个字符与主串不匹配时，我们应该知道j指针要移动到哪？

接下来我们自己来发现j的移动规律：

![17083912-49365b7e67cd4877b2f501074dae68d2.png][]

如图：C和D不匹配了，我们要把j移动到哪？显然是第1位。为什么？因为前面有一个A相同啊：

![17083929-a9ccfb08833e4cf1a42c30f05608f8f5.png][]

如下图也是一样的情况：

![17084030-82e4b71b85a440c5a636d57503931415.png][]

可以把j指针移动到第2位，因为前面有两个字母是一样的：

![17084037-cc3c34200809414e9421c316ceba2cda.png][]

至此我们可以大概看出一点端倪，当匹配失败时，j要移动的下一个位置k。存在着这样的性质：最前面的k个字符和j之前的最后k个字符是一样的。

如果用数学公式来表示是这样的

P\[0 ~ k-1\] == P\[j-k ~ j-1\]

这个相当重要，如果觉得不好记的话，可以通过下图来理解：

![17084056-66930855432b4357bafbf8d6c76c1840.png][]

弄明白了这个就应该可能明白为什么可以直接将j移动到k位置了。

因为:

当T\[i\] != P\[j\]时

有T\[i-j ~ i-1\] == P\[0 ~ j-1\]

由P\[0 ~ k-1\] == P\[j-k ~ j-1\]

必然：T\[i-k ~ i-1\] == P\[0 ~ k-1\]

公式很无聊，能看明白就行了，不需要记住。

这一段只是为了证明我们为什么可以直接将j移动到k而无须再比较前面的k个字符。

好，接下来就是重点了，怎么求这个（这些）k呢？因为在P的每一个位置都可能发生不匹配，也就是说我们要计算每一个位置j对应的k，所以用一个数组next来保存，next\[j\] = k，表示当T\[i\] != P\[j\]时，j指针的下一个位置。

很多教材或博文在这个地方都是讲得比较含糊或是根本就一笔带过，甚至就是贴一段代码上来，为什么是这样求？怎么可以这样求？根本就没有说清楚。而这里恰恰是整个算法最关键的地方。

![复制代码][copycode.gif]

1 public static int[] getNext(String ps) {
     2 
     3     char[] p = ps.toCharArray();
     4 
     5     int[] next = new int[p.length];
     6 
     7     next[0] = -1;
     8 
     9     int j = 0;
    10 
    11     int k = -1;
    12 
    13     while (j < p.length - 1) {
    14 
    15        if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
    16 
    17            next[++j] = ++k;
    18 
    19        } else {
    20 
    21            k = next[k];
    22 
    23        }
    24 
    25     }
    26 
    27     return next;
    28 
    29 }

![复制代码][copycode.gif]

这个版本的求next数组的算法应该是流传最广泛的，代码是很简洁。可是真的很让人摸不到头脑，它这样计算的依据到底是什么？

好，先把这个放一边，我们自己来推导思路，现在要始终记住一点，next\[j\]的值（也就是k）表示，当P\[j\] != T\[i\]时，j指针的下一步移动位置。

先来看第一个：当j为0时，如果这时候不匹配，怎么办？

![17084258-efd2e95d3644427ebc0304ed3d7adefb.png][]

像上图这种情况，j已经在最左边了，不可能再移动了，这时候要应该是i指针后移。所以在代码中才会有next\[0\] = -1;这个初始化。

如果是当j为1的时候呢？

![17084310-29f9f8dbb6034151a383e7ccf6f5583e.png][]

显然，j指针一定是后移到0位置的。因为它前面也就只有这一个位置了~~~

下面这个是最重要的，请看如下图：

![17084327-8a3cdfab03094bfa9e5cace26796cae5.png][] ![17084342-616036472ab546c082aa991004bb0034.png][]

请仔细对比这两个图。

我们发现一个规律：

当P\[k\] == P\[j\]时，

有next\[j+1\] == next\[j\] + 1

其实这个是可以证明的：

因为在P\[j\]之前已经有P\[0 ~ k-1\] == p\[j-k ~ j-1\]。（next\[j\] == k）

这时候现有P\[k\] == P\[j\]，我们是不是可以得到P\[0 ~ k-1\] + P\[k\] == p\[j-k ~ j-1\] + P\[j\]。

即：P\[0 ~ k\] == P\[j-k ~ j\]，即next\[j+1\] == k + 1 == next\[j\] + 1。

这里的公式不是很好懂，还是看图会容易理解些。

那如果P\[k\] != P\[j\]呢？比如下图所示：

![17122358-fd7e52dd382c4268a8ff52b85bff465d.png][]

像这种情况，如果你从代码上看应该是这一句：k = next\[k\];为什么是这样子？你看下面应该就明白了。

![17122439-e349fed25e974e7886a27d18871ae48a.png][]

现在你应该知道为什么要k = next\[k\]了吧！像上边的例子，我们已经不可能找到\[ A，B，A，B \]这个最长的后缀串了，但我们还是可能找到\[ A，B \]、\[ B \]这样的前缀串的。所以这个过程像不像在定位\[ A，B，A，C \]这个串，当C和主串不一样了（也就是k位置不一样了），那当然是把指针移动到next\[k\]啦。

有了next数组之后就一切好办了，我们可以动手写KMP算法了：

![复制代码][copycode.gif]

1 public static int KMP(String ts, String ps) {
     2 
     3     char[] t = ts.toCharArray();
     4 
     5     char[] p = ps.toCharArray();
     6 
     7     int i = 0; // 主串的位置
     8 
     9     int j = 0; // 模式串的位置
    10 
    11     int[] next = getNext(ps);
    12 
    13     while (i < t.length && j < p.length) {
    14 
    15        if (j == -1 || t[i] == p[j]) { // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归0
    16 
    17            i++;
    18 
    19            j++;
    20 
    21        } else {
    22 
    23            // i不需要回溯了
    24 
    25            // i = i - j + 1;
    26 
    27            j = next[j]; // j回到指定位置
    28 
    29        }
    30 
    31     }
    32 
    33     if (j == p.length) {
    34 
    35        return i - j;
    36 
    37     } else {
    38 
    39        return -1;
    40 
    41     }
    42 
    43 }

![复制代码][copycode.gif]

和暴力破解相比，就改动了4个地方。其中最主要的一点就是，i不需要回溯了。

最后，来看一下上边的算法存在的缺陷。来看第一个例子：

![17084712-f0d6998938764b309f61923452a2b20f.png][]

显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是\[ -1，0，0，1 \]

所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

![17084726-790fc1b2c48c411b8011eab9de692f6d.png][]

不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。

显然，发生问题的原因在于P\[j\] == P\[next\[j\]\]。

所以我们也只需要添加一个判断条件即可：

public static int\[\] getNext(String ps) \{  
  
  
    char\[\] p = ps.toCharArray();  
  
  
    int\[\] next = new int\[p.length\];  
  
  
    next\[0\] = -1;  
  
  
    int j = 0;  
  
  
    int k = -1;  
  
  
    while (j < p.length - 1) \{  
  
  
       if (k == -1 || p\[j\] == p\[k\]) \{  
  
  
           if (p\[++j\] == p\[++k\]) \{ // 当两个字符相等时要跳过  
  
  
              next\[j\] = next\[k\];  
  
  
           \} else \{  
  
  
              next\[j\] = k;  
  
  
           \}  
  
  
       \} else \{  
  
  
           k = next\[k\];  
  
  
       \}  
  
  
    \}  
  
  
    return next;  
  
  
\}

[17083616-9b40c67ea22e449f813fb38fcfd3a4fb.png]: /images/20220609/a21e3568bc2c4e479257db5897f42d17.png
[17083647-9dfd3e4a709c40dd98d9817927651960.png]: /images/20220609/5cbf26deffc548828437c1e7e3610d0c.png
[17083659-e6718026bf4f48a0be2d5d6076be4c55.png]: /images/20220609/3e2019fca15649428ffa88dc87168cf9.png
[17083714-7de56d2c1cc84dbfa376cf410ba6f053.png]: /images/20220609/119a1396da9e4e409958c64285f202e9.png
[copycode.gif]: /images/20220609/adb6f930093449edbdc5bacff57d6fd8.png
[17083828-cdb207f5460f4645982171e58571a741.png]: /images/20220609/532cbcd31a6345c989a73f1a2949d399.png
[17083912-49365b7e67cd4877b2f501074dae68d2.png]: /images/20220609/cfc05aa216894af0990945d928ea6239.png
[17083929-a9ccfb08833e4cf1a42c30f05608f8f5.png]: /images/20220609/11f0e56d48b14ee1b744b288369938ed.png
[17084030-82e4b71b85a440c5a636d57503931415.png]: /images/20220609/9eea08869c6b42a3895c7eee5747b74b.png
[17084037-cc3c34200809414e9421c316ceba2cda.png]: /images/20220609/2c26159f615a4b958f5dc04065555b7e.png
[17084056-66930855432b4357bafbf8d6c76c1840.png]: /images/20220609/d5d38243f3fb497581dffc8a7bb162b9.png
[17084258-efd2e95d3644427ebc0304ed3d7adefb.png]: /images/20220609/de77d66b4b1a40629919646b214f3ca7.png
[17084310-29f9f8dbb6034151a383e7ccf6f5583e.png]: /images/20220609/04ec9b6e705a4e13a1a48f38d183a3c6.png
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[17122439-e349fed25e974e7886a27d18871ae48a.png]: /images/20220609/09277ccd09e84b498e4b8273476a1712.png
[17084712-f0d6998938764b309f61923452a2b20f.png]: /images/20220609/e47d7357b43e4e84abe36fa6ab07d321.png
[17084726-790fc1b2c48c411b8011eab9de692f6d.png]: /images/20220609/ed7aa5e2025f4d84bb3408c5f662a9ac.png