判断质数/素数——我知道的最快的方法

川长思鸟来 2022-06-04 02:25 178阅读 0赞

标准版：大部分人都知道的比较快的方法：判断从2到sqrt(n)是否存在其约数，时间复杂度O(sqrt(n))

高配版：判断2之后，就可以判断从3到sqrt(n)之间的奇数了，无需再判断之间的偶数，时间复杂度O(sqrt(n)/2)

尊享版：

首先看一个关于质数分布的规律：大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7，11和13,17和19等等；

证明：令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下：

··· 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ···

可以看到，不和6的倍数相邻的数为6x+2，6x+3，6x+4，由于2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它们一定不是素数，再除去6x本身，显然，素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。因此在5到sqrt(n)中每6个数只判断2个，时间复杂度O(sqrt(n)/3)。

在高配版和尊享版中，都是一个剪枝的思想，高配版中裁剪了不必要的偶数，尊享版中裁剪了不和6的倍数相邻的数，虽然都没有降低时间复杂度的阶数，但都一定程度上加快了判断的速度。

在此给出尊享版C++代码：

#include <iostream>
    #include <math.h>
    using namespace std;
    int isPrime(int n)
    {	//返回1表示判断为质数，0为非质数，在此没有进行输入异常检测
    	float n_sqrt;
    	if(n==2 || n==3) return 1;
    	if(n%6!=1 && n%6!=5) return 0;
    	n_sqrt=floor(sqrt((float)n));
    	for(int i=5;i<=n_sqrt;i+=6)
    	{
    	    if(n%(i)==0 | n%(i+2)==0) return 0;
    	}
            return 1;
    } 
    int main()
    {
    	int flag;
    	flag=isPrime(37);
    	cout<<flag<<endl;
    	return 0;
    }

python 版代码参考：[https://github.com/hichenway/UsefulCode/blob/master/isPrimeFunction.py][https_github.com_hichenway_UsefulCode_blob_master_isPrimeFunction.py]

[https_github.com_hichenway_UsefulCode_blob_master_isPrimeFunction.py]: https://github.com/hichenway/UsefulCode/blob/master/isPrimeFunction.py