余弦相似度与正规化的欧氏距离的某种等价性

落日映苍穹つ 2022-05-26 12:29 175阅读 0赞

给一个集合V, V=\{x|x∈Rn\} , 和一个点u∈Rn   , 依次计算 u 与 V 中各个点的距离, 然后按照从近到远排序, 就可以得到一个 序列A=<x1,x2,...>

距离函数可以取

*  cosine similarity   
    值域\[-1,1\], 越大表示越相近.
 *  Euclidean distance   
    值域 \[0,+∞\], 越小表示越近.

在二维空间中, 余弦距离是夹角, 欧氏距离是远近. 很明显二者各自得出的序列AA 是不同的.   
但要是对uu和VV中的点作归一化呢? 得到的两个AA 是否就相同了呢? 因为在二维空间中容易得到直观的这个推测.

真是的答案是 Yes!   
cosine similarity is identical to l2-normalized euclidean distance someway.

For ![70][]\-normalized vectors x,y

![70 1][]

we have that the squared Euclidean distance is proportional to the cosine distance,

![70 2][]

从式中可以看出, 夹角越大, 欧氏距离的平方就越小, 这就是想要的证明!

# 参考 #

1.  stack-exchange, [is-cosine-similarity-identical-to-l2-normalized-euclidean-distance][]

原文地址：https://blog.csdn.net/chuchus/article/details/78213957

[70]: /images/20220526/9983eb88665e4fe5a3387d5d2e4d5fae.png
[70 1]: /images/20220526/211b4fe141084e8b95de5e6e1a40594f.png
[70 2]: /images/20220526/26c2f51bac8c45a7ad5289d941adf876.png
[is-cosine-similarity-identical-to-l2-normalized-euclidean-distance]: https://stats.stackexchange.com/questions/146221/is-cosine-similarity-identical-to-l2-normalized-euclidean-distance

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