计算两向量的欧式距离，余弦相似度

￡神魔★判官ぃ 2022-06-13 12:11 223阅读 0赞

来自：http://www.mtcnn.com

>>> import numpy
    >>> vec1=[[1,1,1],[2,2,2]]
    >>> vec2=[[2,2,2],[1,1,1]]
    >>> vec1=numpy.array(vec1)
    >>> vec2=numpy.array(vec2)
    >>> vec1
    array([[1, 1, 1],
           [2, 2, 2]])
    >>> vec2
    array([[2, 2, 2],
           [1, 1, 1]])
    >>> dist = numpy.sqrt(numpy.sum(numpy.square(vec1 - vec2)))  
    >>> dist
    2.4494897427831779
    >>> numpy.linalg.norm(vec1-vec2)
    2.4494897427831779

余弦相似度：

>>> vec1
    array([[1, 1, 1],
           [2, 2, 2]])
    >>> vec2
    array([[2, 2, 2],
           [1, 1, 1]])
    >>> num=float(numpy.sum(vec1*vec2))
    >>> num
    12.0
    >>> denom=numpy.linalg.norm(vec1)*numpy.linalg.norm(vec2)
    >>> cos=num/denom
    >>> denom
    15.000000000000002
    >>> cos
    0.79999999999999993
    >>> sim=0.5+0.5*cos
    >>> sim
    0.89999999999999991

两者相同的地方，就是在机器学习中都可以用来计算相似度，但是两者的含义有很大差别，以我的理解就是：

> 前者是看成坐标系中两个 点 ，来计算两点之间的 距离 ；
> 
> 后者是看成坐标系中两个 向量 ，来计算两向量之间的 夹角 。
> 
> 前者因为是 点 ，所以一般指 位置 上的差别，即 距离 ；
> 
> 后者因为是 向量 ，所以一般指 方向 上的差别，即所成 夹角 。

如下图所示：

![Center][]

数据项A和B在坐标图中当做点时，两者相似度为距离dist(A,B)，可通过欧氏距离（也叫欧几里得距离）公式计算：

![Center 1][]

当做向量时，两者相似度为cosθ，可通过余弦公式计算：

![Center 2][]

假设||A||、||B||表示向量A、B的2范数，例如向量\[1,2,3\]的2范数为：

√(1²+2²+3²) = √14

numpy中提供了范数的计算工具： linalg.norm()

所以计算cosθ起来非常方便（假定A、B均为列向量）：

num = float(A.T * B) #若为行向量则 A * B.T
    denom = linalg.norm(A) * linalg.norm(B)
    cos = num / denom #余弦值
    sim = 0.5 + 0.5 * cos #归一化

因为有了linalg.norm()，欧氏距离公式实现起来更为方便：

dist = linalg.norm(A - B)
    sim = 1.0 / (1.0 + dist) #归一化

关于归一化：

因为余弦值的范围是 \[-1,+1\] ，相似度计算时一般需要把值归一化到 \[0,1\]，一般通过如下方式：

sim = 0.5 + 0.5 \* cosθ  
若在欧氏距离公式中，取值范围会很大，一般通过如下方式归一化：

sim = 1 / (1 + dist ( X,Y ))

说完了原理，简单扯下实际意义，举个栗子吧：

例如某T恤从100块降到了50块（A(100,50)），某西装从1000块降到了500块（B(1000,500)）

那么T恤和西装都是降价了50%，两者的价格变动趋势一致，余弦相似度为最大值，即两者有很高的 变化趋势相似度

但是从商品价格本身的角度来说，两者相差了好几百块的差距，欧氏距离较大，即两者有较低的 价格相似度

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