青蛙的约会POJ1061——同余定理+逆元

àì夳堔傛蜴生んèń 2022-05-18 00:05 178阅读 0赞

青蛙的约会  
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Total Submissions: 127146 Accepted: 27528  
**Description**

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。  
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。  
**Input**

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L  x ， y ， m ， n ， L ，其中x≠y<2000000000，0<m、n<2000000000，0<L<2100000000  x ≠ y < 2000000000 ， 0 < m 、 n < 2000000000 ， 0 < L < 2100000000 。  
**Output**

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible”  
**Sample Input**

1 2 3 4 5  
**Sample Output**

--------------------

假设青蛙A，B能跳跃t  t 次能够碰面，那么这两只青蛙走的路程可以写成

(x\+mt)modL=(y\+nt)modL  ( x + m t ) m o d L = ( y + n t ) m o d L

即

x\+mt=y\+nt\+kL  x + m t = y + n t + k L

化成

ax\+by=c  a x + b y = c

的形式

(m−n)t\+kL=y−x  ( m − n ) t + k L = y − x

其中

⎧⎩⎨a=m−nb=Lc=gcd(m−n,L)  \{ a = m − n b = L c = g c d ( m − n , L )

所以，如果  y−x  y − x  是  c  c  的倍数的话，那么方程  x\+mt=y\+nt\+kL x \+ m t = y \+ n t \+ k L 有解，即两只青蛙能碰面，否则输出  Impossible  I m p o s s i b l e

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code…  c o d e …

#include<iostream> 
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
    {
        if(b==0)
        {
            x=1;
            y=0;
            return a;
        }
        ll r=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
        return r;
    }
    
    int main()
    {
        ll x,y,m,n,l;
        while(cin>>x>>y>>m>>n>>l)
        {
            ll X,Y;
            ll d=exgcd(n-m,l,X,Y);
            ll r=l/d;
            if((x-y)%d) printf("Impossible\n");
            else        printf("%lld\n",((x-y)/d*X%r+r)%r);
        }
        return 0;
    }