OpenGL基本概念：齐次坐标（homogenouse coordinate）

╰半夏微凉° 2022-05-17 00:55 212阅读 0赞

## 问题的由来 ##

在处理透视图的时候，我们经常需要用到齐次坐标。

回想一下我们初中和高中学习的坐标系，往往被称为迪卡尔坐标，也叫欧几里德坐标，这也是几何学中最基本的坐标。在该坐标系的诸多定律中，有一条就是：两条平行的直线永不相交。

然而在图像处理中，我们通常用到的透视坐标系却不是这样的，在最远处，所有的（相互平行的)直线都会汇集到一点，如下图的铁轨那样相交，在透视学术语中，这个点常常称为灭点（vanishing point)。

![70][]

## 表示方法 ##

齐次坐标系是用N+1个数字来表示N维坐标。比如在二维迪卡尔坐标系中的（X，Y)，在齐次坐标中要写成（x, y, w)。其中，w是一个与透视距离有关的系数。换算法则是

X=x/w,  Y = y/w

例如，在迪卡尔坐标系中的一个点（2，3）在齐次坐标系中就是(2,3,1)，如果这个点不断地向无穷远处沿透视线移动，在理认上的无穷远点就是（2，3，0），因为 ![\\infty][infty] == x/0 , ![\\infty][infty] == y/0。

## 齐次坐标是比例不变的，它满足透视学中无穷远处相交于一点的需要 ##

齐次坐标是为了辅助我们处理透视图而设计的。考虑坐标上这几个点，

(2,3,1)

(4,6,2)

(8,12,4)

转换到迪卡尔坐标系上时，其结果都是(2,3)，这也是为什么该坐标系被称为齐次坐标（homogeneous coordinate)的原因。

因此，你可以看到，在迪卡尔坐标系中永不相交的两条直线，如

AX + BY+C = 0;

AX + BY +D = 0;

转换到齐次坐标中时，就是

Ax + By+Cw = 0;

Ax + By +Dw = 0;

当w=0（也就是在透视图中的无穷远点）时，这两条线相交了，正好是我们在处理透视图时所需要的。

参考

【1】[http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html][http_www.songho.ca_math_homogeneous_homogeneous.html]

[70]: /images/20220517/b78fea1c91764319b74c4b249d315e44.png
[infty]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cinfty
[http_www.songho.ca_math_homogeneous_homogeneous.html]: http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html

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