01背包入门学习（附带视频讲解）

小鱼儿 2022-05-04 08:57 135阅读 0赞

视频请自行腾讯视频   “01背包”，讲的特别好

0-1 背包问题：给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。

问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

分析一波，面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。

解决办法：声明一个 大小为  m\[n\]\[c\] 的二维数组，m\[ i \]\[ j \] 表示 在面对第 i 件物品，且背包容量为  j 时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 m\[i\]\[j\] 的计算方法，

（1）. j < w\[i\] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿

m\[ i \]\[ j \] = m\[ i-1 \]\[ j \]

（2）. j>=w\[i\] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

如果拿取，m\[ i \]\[ j \]=m\[ i-1 \]\[ j-w\[ i \] \] + v\[ i \]。 这里的m\[ i-1 \]\[ j-w\[ i \] \]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w\[i\]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w\[i\]的空间。

如果不拿，m\[ i \]\[ j \] = m\[ i-1 \]\[ j \] , 同（1）

究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。

由此可以得到状态转移方程：

if(j>=w\[i\])  
    m\[i\]\[j\]=max(m\[i-1\]\[j\],m\[i-1\]\[j-w\[i\]\]+v\[i\]);  
else  
    m\[i\]\[j\]=m\[i-1\]\[j\];

例：0-1背包问题。在使用动态规划算法求解0-1背包问题时，使用二维数组m\[i\]\[j\]存储背包剩余容量为j，可选物品为i、i+1、……、n时0-1背包问题的最优值。绘制  
价值数组v = \{8, 10, 6, 3, 7, 2\}，

重量数组w = \{4, 6, 2, 2, 5, 1\}，

背包容量C = 12时对应的m\[i\]\[j\]数组。

0    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10    11    12  
1    0    0    0    8    8    8    8    8    8    8    8    8  
2    0    0    0    8    8    10    10    10    10    18    18    18  
3    0    6    6    8    8    14    14    16    16    18    18    24  
4    0    6    6    9    9    14    14    17    17    19    19    24  
5    0    6    6    9    9    14    14    17    17    19    21    24  
6    2    6    8    9    11    14    16    17    19    19    21    24  
(第一行和第一列为序号，其数值为0)  
如m\[2\]\[6\],在面对第二件物品，背包容量为6时我们可以选择不拿，那么获得价值仅为第一件物品的价值8，如果拿，就要把第一件物品拿出来，放第二件物品，价值10，那我们当然是选择拿。m\[2\]\[6\]=m\[1\]\[0\]+10=0+10=10;依次类推，得到m\[6\]\[12\]就是考虑所有物品，背包容量为C时的最大价值。  
\#include <iostream>  
\#include <cstring>  
using namespace std;

const int N=15;

int main()  
\{  
    int v\[N\]=\{0,8,10,6,3,7,2\};  
    int w\[N\]=\{0,4,6,2,2,5,1\};

int m\[N\]\[N\];  
    int n=6,c=12;  
    memset(m,0,sizeof(m));  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    \{  
        for(int j=1;j<=c;j++)  
        \{  
            if(j>=w\[i\])  
                m\[i\]\[j\]=max(m\[i-1\]\[j\],m\[i-1\]\[j-w\[i\]\]+v\[i\]);

else  
                m\[i\]\[j\]=m\[i-1\]\[j\];  
        \}  
    \}

for(int i=1;i<=n;i++)  
    \{  
        for(int j=1;j<=c;j++)  
        \{  
            cout<<m\[i\]\[j\]<<' ';  
        \}  
        cout<<endl;  
    \}

return 0;  
\}

到这一步，可以确定的是可能获得的最大价值，但是我们并不清楚具体选择哪几样物品能获得最大价值。

另起一个 x\[ \] 数组，x\[i\]=0表示不拿，x\[i\]=1表示拿。

m\[n\]\[c\]为最优值，如果m\[n\]\[c\]=m\[n-1\]\[c\] ,说明有没有第n件物品都一样，则x\[n\]=0 ; 否则 x\[n\]=1。当x\[n\]=0时，由x\[n-1\]\[c\]继续构造最优解；当x\[n\]=1时，则由x\[n-1\]\[c-w\[i\]\]继续构造最优解。以此类推，可构造出所有的最优解。（这段全抄算法书，实在不知道咋解释啊。。）

void traceback()  
\{  
    for(int i=n;i>1;i--)  
    \{  
        if(m\[i\]\[c\]==m\[i-1\]\[c\])  
            x\[i\]=0;  
        else  
        \{  
            x\[i\]=1;  
            c-=w\[i\];  
        \}  
    \}  
    x\[1\]=(m\[1\]\[c\]>0)?1:0;  
\}

例：  
某工厂预计明年有A、B、C、D四个新建项目，每个项目的投资额Wk及其投资后的收益Vk如下表所示，投资总额为30万元，如何选择项目才能使总收益最大？

Project  
Wk  
Vk  
A  
15  
12  
B  
10  
8  
C  
12  
9  
D  
8  
5  
结合前面两段代码  
\#include <iostream>  
\#include <cstring>  
using namespace std;

const int N=150;

int v\[N\]=\{0,12,8,9,5\};  
int w\[N\]=\{0,15,10,12,8\};  
int x\[N\];  
int m\[N\]\[N\];  
int c=30;  
int n=4;  
void traceback()  
\{  
    for(int i=n;i>1;i--)  
    \{  
        if(m\[i\]\[c\]==m\[i-1\]\[c\])  
            x\[i\]=0;  
        else  
        \{  
            x\[i\]=1;  
            c-=w\[i\];  
        \}  
    \}  
    x\[1\]=(m\[1\]\[c\]>0)?1:0;  
\}

int main()  
\{

memset(m,0,sizeof(m));  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    \{  
        for(int j=1;j<=c;j++)  
        \{  
            if(j>=w\[i\])  
                m\[i\]\[j\]=max(m\[i-1\]\[j\],m\[i-1\]\[j-w\[i\]\]+v\[i\]);

else  
                m\[i\]\[j\]=m\[i-1\]\[j\];  
        \}  
    \}/\*  
    for(int i=1;i<=6;i++)  
    \{  
        for(int j=1;j<=c;j++)  
        \{  
            cout<<m\[i\]\[j\]<<' ';  
        \}  
        cout<<endl;  
    \}  
\*/  
    traceback();  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
        cout<<x\[i\];  
    return 0;  
\}

输出x\[i\]数组：0111，输出m\[4\]\[30\]：22。

得出结论：选择BCD三个项目总收益最大，为22万元。

不过这种算法只能得到一种最优解，并不能得出所有的最优解。  
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作者：青龙指引你   
来源：CSDN   
原文：https://blog.csdn.net/xp731574722/article/details/70766804   
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