01背包

水深无声 2022-05-31 06:29 594阅读 0赞

## 01背包 ##

> 且说上一周的故事里，小Hi和小Ho费劲心思终于拿到了茫茫多的奖券！而现在，终于到了小Ho领取奖励的时刻了！
> 
> 小Ho现在手上有M张奖券，而奖品区有N件奖品，分别标号为1到N，其中第i件奖品需要need(i)张奖券进行兑换，同时也只能兑换一次，为了使得辛苦得到的奖券不白白浪费，小Ho给每件奖品都评了分，其中第i件奖品的评分值为value(i),表示他对这件奖品的喜好值。现在他想知道，凭借他手上的这些奖券，可以换到哪些奖品，使得这些奖品的喜好值之和能够最大。
> 
> 提示一：合理抽象问题、定义状态是动态规划最关键的一步
> 
> 提示二：说过了减少时间消耗，我们再来看看如何减少空间消耗

#### Input ####

> 每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。
> 
> 每组测试数据的第一行为两个正整数N和M,表示奖品的个数，以及小Ho手中的奖券数。
> 
> 接下来的n行描述每一行描述一个奖品，其中第i行为两个整数need(i)和value(i)，意义如前文所述。
> 
> 测试数据保证
> 
> 对于100%的数据，N的值不超过500，M的值不超过10^5
> 
> 对于100%的数据，need(i)不超过2\*10^5, value(i)不超过10^3

#### Output ####

> 对于每组测试数据，输出一个整数Ans，表示小Ho可以获得的总喜好值。  
> ×Close  
> 提示二：说过了减少时间消耗，我们再来看看如何减少空间消耗
> 
> 且说小Ho搞清楚了计算方法，正在埋头苦写代码，在一旁看他写代码的小Hi是在看不下去了，决定再指点指点小Ho：“小Ho啊！”
> 
> “怎么了？”小Ho眼睛盯着屏幕，望都没望小Hi一眼。
> 
> “你现在是不是需要开一个N \* M大小的二维数组best，来记录求解出的best值呀？”
> 
> 小Ho终于有了点反应，抬起头来说道：“是啊，怎么了？“
> 
> “我有办法不用开这么大空间哦~”小Hi笑嘻嘻道：”可我就是不告诉你！”
> 
> “诶，别这样，我请你吃雪糕！”小Ho一听就急了，连忙许下了报酬。
> 
> “开玩笑啦~”小Hi也是随便逗了逗乐子就没继续：“你想想，在i已经是10以上的时候，best(5, j)这样的值还有用么？”
> 
> “没有用了……你是说，我并不需要在内存中存下来所有的best(i, j)，没有用了的值都可以不进行保存……也就是说，实际上只要开一个2\*M大小的数组就可以了，然后像这样的方式进行来回的计算，是不是就可以了？”
> 
> 伪代码二.png  
> “是的呢！但是还可以更少哦~让我来写这个程序的话，我只需要开一个M大小的一维数组就可以了”小Hi自信的说道：“你想想，如果我按照j从M到1的顺序，也就是跟之前相反的顺序来进行计算的话。另外根据我们的状态转移方程，可以显然得出如果状态(iA, jA)依赖于状态(iB, jB)，那么肯定有iA = iB+1, jA>=jB。所以不难得出一个结论：我在计算best(i, j)的时候，因为best(i, j+1..M)这些状态已经被计算过了，所以意味着best(i - 1, k)，k=j..M这些值都没有用了——所有依赖于他们的值都已经计算完了。于是它们原有的存储空间都可以用来存储别的东西，所以我不仿直接就将best(i, j)的值存在best(i-1, j)原有的位置上，就像这样。”
> 
> 码三.png  
> “原来还可以这样！这样一处理，不仅空间复杂度小了很多，代码也很好看了呢！”小Ho开心道。

“那>你还不去写？”

> Close

#### Sample Input ####

> 5 1000  
> 144 990  
> 487 436  
> 210 673  
> 567 58  
> 1056 897

#### Sample Output ####

> 2099

#### 解题分析： ####

一道简单的01背包模板题。

#### AC代码： ####

#include<stdio.h>
    #include<string.h>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    
    #define N 100005
    
    int main()
    {
        int dp[N], v[N], w[N];
        int i, j, n, m;
        while(~scanf("%d%d", &n, &m)){
                memset(dp, 0, sizeof(dp));
            for(i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
            for(i = 1; i <= n; i++){
                for(j = m; j >= w[i]; j--)
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]);
            }
            printf("%d\n", dp[m]);
        }
        return 0;
    }