程序员必知算法----KMP算法系列（2）

逃离我推掉我的手 2022-01-10 17:19 154阅读 0赞

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在介绍KMP算法之前，先介绍一下BF算法。

一.BF算法

BF算法是普通的模式匹配算法，BF算法的思想就是将目标串S的第一个字符与模式串P的第一个字符进行匹配，若相等，则继续比较S的第二个字符和P的第二个字符；若不相等，则比较S的第二个字符和P的第一个字符，依次比较下去，直到得出最后的匹配结果。

举例说明：

S:  ababcababa

P:  ababa

BF算法匹配的步骤如下

i=0                                   i=1                             i=2                         i=3                          i=4

第一趟:ababcababa         第二趟:ababcababa      第三趟:ababcababa    第四趟:ababcababa    第五趟:ababcababa

ababa                            ababa                          ababa                        ababa                       ababa

j=0                                   j=1                            j=2                         j=3                         j=4(i和j回溯)

i=1                                 i=2                           i=3                            i=4                        i=3

第六趟:ababcababa         第七趟:ababcababa       第八趟:ababcababa     第九趟:ababcababa   第十趟:ababcababa

ababa                              ababa                           ababa                        ababa                        ababa

j=0                                  j=0                           j=1                           j=2(i和j回溯)            j=0

i=4                                    i=5                          i=6                           i=7                          i=8

第十一趟:ababcababa       第十二趟:ababcababa    第十三趟:ababcababa   第十四趟:ababcababa   第十五趟:ababcababa

ababa                               ababa                           ababa                          ababa                          ababa

j=0                                    j=0                         j=1                            j=2                         j=3

i=9

第十六趟:ababcababa

ababa

j=4(匹配成功)

代码实现:

[![复制代码][copycode.gif]][copycode.gif 1]

int BFMatch(char *s,char *p)
    {
        int i,j;
        i=0;
        while(i<strlen(s))
        {
            j=0;
            while(s[i]==p[j]&&j<strlen(p))
            {
                i++;
                j++;
            }
            if(j==strlen(p))
                return i-strlen(p);
            i=i-j+1;                //指针i回溯
        }
        return -1;    
    }

[![复制代码][copycode.gif]][copycode.gif 1]

其实在上面的匹配过程中，有很多比较是多余的。在第五趟匹配失败的时候，在第六趟，i可以保持不变，j值为2。因为在前面匹配的过程中，对于串S，已知s0s1s2s3=p0p1p2p3，又因为p0!=p1!，所以第六趟的匹配是多余的。又由于p0==p2,p1==p3，所以第七趟和第八趟的匹配也是多余的。在KMP算法中就省略了这些多余的匹配。

二.KMP算法

KMP算法之所以叫做KMP算法是因为这个算法是由三个人共同提出来的，就取三个人名字的首字母作为该算法的名字。其实KMP算法与BF算法的区别就在于KMP算法巧妙的消除了指针i的回溯问题，只需确定下次匹配j的位置即可，使得问题的复杂度由O(mn)下降到O(m+n)。

在KMP算法中，为了确定在匹配不成功时，下次匹配时j的位置，引入了next\[\]数组，next\[j\]的值表示P\[0...j-1\]中最长后缀的长度等于相同字符序列的前缀。

对于next\[\]数组的定义如下：

1) next\[j\] = -1  j = 0

2) next\[j\] = max(k): 0<k<j   P\[0...k-1\]=P\[j-k,j-1\]

3) next\[j\] = 0  其他

如：

P      a    b   a    b   a

j      0    1   2    3   4

next    -1   0   0    1   2

即next\[j\]=k>0时，表示P\[0...k-1\]=P\[j-k,j-1\]

因此KMP算法的思想就是：在匹配过程称，若发生不匹配的情况，如果next\[j\]>=0，则目标串的指针i不变，将模式串的指针j移动到next\[j\]的位置继续进行匹配；若next\[j\]=-1，则将i右移1位，并将j置0，继续进行比较。

代码实现如下：

[![复制代码][copycode.gif]][copycode.gif 1]

int KMPMatch(char *s,char *p)
    {
        int next[100];
        int i,j;
        i=0;
        j=0;
        getNext(p,next);
        while(i<strlen(s))
        {
            if(j==-1||s[i]==p[j])
            {
                i++;
                j++;
            }
            else
            {
                j=next[j];       //消除了指针i的回溯
            }
            if(j==strlen(p))
                return i-strlen(p);
        }
        return -1;
    }

[![复制代码][copycode.gif]][copycode.gif 1]

因此KMP算法的关键在于求算next\[\]数组的值，即求算模式串每个位置处的最长后缀与前缀相同的长度， 而求算next\[\]数组的值有两种思路，第一种思路是用递推的思想去求算，还有一种就是直接去求解。

1.按照递推的思想：

根据定义next\[0\]=-1，假设next\[j\]=k, 即P\[0...k-1\]==P\[j-k,j-1\]

1)若P\[j\]==P\[k\]，则有P\[0..k\]==P\[j-k,j\]，很显然，next\[j+1\]=next\[j\]+1=k+1;

2)若P\[j\]!=P\[k\]，则可以把其看做模式匹配的问题，即匹配失败的时候，k值如何移动，显然k=next\[k\]。

因此可以这样去实现：

[![复制代码][copycode.gif]][copycode.gif 1]

void getNext(char *p,int *next)
    {
        int j,k;
        next[0]=-1;
        j=0;
        k=-1;
        while(j<strlen(p)-1)
        {
            if(k==-1||p[j]==p[k])    //匹配的情况下,p[j]==p[k]
            {
                j++;
                k++;
                next[j]=k;
            }
            else                   //p[j]!=p[k]
                k=next[k];
        }
    }

[![复制代码][copycode.gif]][copycode.gif 1]

2.直接求解方法

[![复制代码][copycode.gif]][copycode.gif 1]

void getNext(char *p,int *next)
    {
        int i,j,temp;
        for(i=0;i<strlen(p);i++)
        {
            if(i==0)
            {
                next[i]=-1;     //next[0]=-1
            }
            else if(i==1) 
            {
                next[i]=0;      //next[1]=0
            }
            else
            {
                temp=i-1;
                for(j=temp;j>0;j--)
                {
                    if(equals(p,i,j))
                    {
                        next[i]=j;   //找到最大的k值
                        break;
                    }
                }
                if(j==0)
                    next[i]=0;
            }
        }
    }
    
    bool equals(char *p,int i,int j)     //判断p[0...j-1]与p[i-j...i-1]是否相等  
    {
        int k=0;
        int s=i-j;
        for(;k<=j-1&&s<=i-1;k++,s++)
        {
            if(p[k]!=p[s])
                return false;
        }
        return true;
    }

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[copycode.gif 1]: /images/20220110/8a6fca41f5154b798478cfb3fcd6cbff.png