洛谷P5282 【模板】快速阶乘算法（多项式多点求值+MTT）

布满荆棘的人生 2021-12-23 05:43 244阅读 0赞

## 题面 ##

[传送门][Link 1]

## 前置芝士 ##

[\\(MTT\\)][MTT]，[多项式多点求值][Link 2]

## 题解 ##

这题法老当初好像讲过……而且他还说这种题目如果模数已经给定可以直接分段打表艹过去

以下是题解

我们设

\\\[F(x)=\\prod\_\{i=0\}^\{s-1\}(x+i)\\\]

分治\\(FFT\\)即可求出

然后我们用多点求值求出\\(x=1,s+1,2s+1,...,s^2-s+1\\)时的答案

这样的话可以计算出\\((s^2)!\\)，剩下没计算的部分直接暴力就是了

如果我们取\\(s=\\sqrt\{n\}\\)，复杂度大概就是\\(O(s\\log^2s)\\)

以下是吐槽

啊……模数任意……没事把以前代码里都换成\\(MTT\\)就可以了

信心满满交上去发现只有\\(40\\)分

模数\\(2e9\\)？那两个数加起来都得爆\\(int\\)了啊……再改改……

交上去还是只有\\(40\\)分

突然想起来正常\\(MTT\\)的时候是取\\(2^\{15\}\\)的，然而这里值域可以达到\\(2^\{31\}\\)，还是要炸啊……那么改成\\(2^\{16\}\\)好了

还是\\(40\\)分……

最后再仔细看了看，因为我多点求值的写法中最后小的部分是直接暴力秦九韶循环展开的，然后，四个\\(p\\times p\\)级别的数加起来炸\\(long\\ long\\)了……

强制定义一个\\(\_\_int128\\)类型的\\(0\\)加上去……

终于\\(A\\)了……

ps：建议交之前测一下一下这组数据

\\(p=2^\{31\}-1,n=p-1\\)，根据威尔逊定理有\\(n!\\equiv -1\\pmod\{p\}\\)

可以看看你到底炸了没有

upd：被\\(shadowice\\)巨巨的倍增吊打了QAQ（虽然也能\\(A\\)就是了），倍增的做法看[这里][Link 3]（不知道比多点求值高到哪里去了）

//minamoto
    #include<bits/stdc++.h>
    #define R register
    #define ll long long
    #define III __int128
    #define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
    #define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
    #define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
    using namespace std;
    const int N=(1<<17)+5;const double Pi=acos(-1.0);
    int P;III zero;
    inline int add(R int x,R int y){return 1ll*x+y>=P?1ll*x+y-P:x+y;}
    inline int dec(R int x,R int y){return 1ll*x-y<0?1ll*x-y+P:x-y;}
    inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
    int ksm(R int x,R int y){
        R int res=1;
        for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))(y&1)?res=mul(res,x):0;
        return res;
    }
    struct cp{
        double x,y;
        cp(){}
        cp(R double xx,R double yy):x(xx),y(yy){}
        inline cp operator +(const cp &b)const{return cp(x+b.x,y+b.y);}
        inline cp operator -(const cp &b)const{return cp(x-b.x,y-b.y);}
        inline cp operator *(const cp &b)const{return cp(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);}
        inline cp operator *(const double &b)const{return cp(x*b,y*b);}
        inline cp operator ~()const{return cp(x,-y);}
    }w[2][N];
    int r[21][N],lg[N];double inv[21];
    void Pre(){
        fp(d,0,17){
            fp(i,1,(1<<d)-1)r[d][i]=(r[d][i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1));
            lg[1<<d]=d,inv[d]=1.0/(1<<d);
        }
        for(R int i=1,d=0;i<131072;i<<=1,++d)fp(k,0,i-1){
            w[1][i+k]=cp(cos(Pi*k*inv[d]),sin(Pi*k*inv[d])),
            w[0][i+k]=cp(cos(Pi*k*inv[d]),-sin(Pi*k*inv[d]));
        }
    }
    int lim,d;
    void FFT(cp *A,int ty){
        fp(i,0,lim-1)if(i<r[d][i])swap(A[i],A[r[d][i]]);
        cp t;
        for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
            for(R int j=0;j<lim;j+=(mid<<1))
                fp(k,0,mid-1)
                    A[j+k+mid]=A[j+k]-(t=A[j+k+mid]*w[ty][mid+k]),
                    A[j+k]=A[j+k]+t;
        if(!ty)fp(i,0,lim-1)A[i]=A[i]*inv[d];
    }
    void MTT(int *a,int *b,int len,int *c){
        static cp f[N],g[N],p[N],q[N];
        lim=(len<<1),d=lg[lim];
        fp(i,0,len-1)f[i]=cp(a[i]>>15,a[i]&32767),g[i]=cp(b[i]>>15,b[i]&32767);
        fp(i,len,lim-1)f[i]=g[i]=cp(0,0);
        FFT(f,1),FFT(g,1);
        fp(i,0,lim-1){
            cp t,f0,f1,g0,g1;
            t=~f[i?lim-i:0],f0=(f[i]-t)*cp(0,-0.5),f1=(f[i]+t)*0.5;
            t=~g[i?lim-i:0],g0=(g[i]-t)*cp(0,-0.5),g1=(g[i]+t)*0.5;
            p[i]=f1*g1,q[i]=f1*g0+f0*g1+f0*g0*cp(0,1);
        }
        FFT(p,0),FFT(q,0);
        fp(i,0,lim-1)c[i]=(((ll)(p[i].x+0.5)%P<<30)+((ll)(q[i].x+0.5)<<15)+((ll)(q[i].y+0.5)))%P;
    }
    void Inv(int *a,int *b,int len){
        if(len==1)return b[0]=ksm(a[0],P-2),void();
        Inv(a,b,len>>1);
        static int c[N],d[N];
        MTT(a,b,len,c),MTT(c,b,len,d);
        fp(i,0,len-1)b[i]=dec(add(b[i],b[i]),d[i]);
    }
    struct node{
        node *lc,*rc;vector<int>vec;int deg;
        void Mod(const int *a,int *r,int n){
            static int A[N],B[N],D[N];
            int len=1;while(len<=n-deg)len<<=1;
            fp(i,0,n)A[i]=a[n-i];fp(i,0,deg)B[i]=vec[deg-i];
            fp(i,n-deg+1,len-1)B[i]=0;
            Inv(B,D,len);
            fp(i,n-deg+1,len-1)A[i]=D[i]=0;
            MTT(A,D,len,A);
            reverse(A,A+n-deg+1);
            len=1;while(len<=max(n-deg,deg))len<<=1;
            fp(i,0,deg)B[i]=vec[i];fp(i,deg+1,len-1)B[i]=0;
            fp(i,n-deg+1,len-1)A[i]=0;
            MTT(A,B,len,A);
            fp(i,0,deg-1)r[i]=dec(a[i],A[i]);
        }
        void Mul(){
            static int A[N],B[N];deg=lc->deg+rc->deg,vec.resize(deg+1);
            int len=1;while(len<=max(lc->deg,rc->deg))len<<=1;
            fp(i,0,lc->deg)A[i]=lc->vec[i];fp(i,lc->deg+1,len-1)A[i]=0;
            fp(i,0,rc->deg)B[i]=rc->vec[i];fp(i,rc->deg+1,len-1)B[i]=0;
            MTT(A,B,len,A);
            fp(i,0,deg)vec[i]=A[i];
        }
    }pool[N<<1],*rt,*qwq,*pp=pool;
    int A[N],a[N];
    void solve(node* &p,int l,int r){
        p=pp++;
        if(l==r)return p->deg=1,p->vec.resize(2),p->vec[0]=a[l],p->vec[1]=1,void();
        int mid=(l+r)>>1;
        solve(p->lc,l,mid),solve(p->rc,mid+1,r);
        p->Mul();
    }
    int b[25],res;
    void calc(node *p,int l,int r,const int *A){
        if(r-l<=512){
            fp(i,l,r){
                int x=a[i],c1,c2,c3,c4,now=A[r-l];
                b[0]=1;fp(j,1,16)b[j]=mul(b[j-1],x);
                for(R int j=r-l-1;j-15>=0;j-=16){
                    c1=(zero+1ll*now*b[16]+1ll*A[j]*b[15]+1ll*A[j-1]*b[14]+1ll*A[j-2]*b[13])%P,
                    c2=(zero+1ll*A[j-3]*b[12]+1ll*A[j-4]*b[11]+1ll*A[j-5]*b[10]+1ll*A[j-6]*b[9])%P,
                    c3=(zero+1ll*A[j-7]*b[8]+1ll*A[j-8]*b[7]+1ll*A[j-9]*b[6]+1ll*A[j-10]*b[5])%P,
                    c4=(zero+1ll*A[j-11]*b[4]+1ll*A[j-12]*b[3]+1ll*A[j-13]*b[2]+1ll*A[j-14]*b[1])%P,
                    now=(0ll+c1+c2+c3+c4+A[j-15])%P;
                }
                fd(j,(r-l)%16-1,0)now=(1ll*now*x+A[j])%P;
                res=mul(res,now);
            }
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1,b[p->deg+1];
        p->lc->Mod(A,b,p->deg-1),calc(p->lc,l,mid,b);
        p->rc->Mod(A,b,p->deg-1),calc(p->rc,mid+1,r,b);
    }
    int n,s;
    int main(){
    //  freopen("testdata.in","r",stdin);
        scanf("%d%d",&n,&P),res=1,s=sqrt(n),Pre(),zero=0;
        fp(i,1,s)a[i]=i-1;solve(qwq,1,s);
        fp(i,1,s)a[i]=P-((i-1)*s+1);solve(rt,1,s);
        fp(i,0,s)A[i]=qwq->vec[i];
        rt->Mod(A,A,s);
        fp(i,1,s)a[i]=(i-1)*s+1;
        calc(rt,1,s,A);
        fp(i,s*s+1,n)res=mul(res,i);
        printf("%d\n",res);
        return 0;
    }

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